江苏版2020年中考数学热点专题冲刺2规律探究问题20200325212

热点专题2   规律探究问题

规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

考向1  图形设计规律探究

1．(2019 江苏省徐州市)阅读理解

用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：

尝试操作

如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．

归纳发现

观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．

【答案】如图，5，

【解析】如图：根据作图可知时，所有图案个数5个；

时，所有图案个数8个；

时，所有图案个数13个；

故答案为5，8，13；

考向2  图形性质规律探究

1. (2019 江苏省扬州市)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝　   　．

【答案】40380

【解析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，

∴，即，

∵AB＝5，BC＝4，

∴4D1E1+5D1F1＝20，

同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，

∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；

故答案为40380．

2. (2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．

【解析】解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，

过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：

∴四边形MBFN为平行四边形，

∴NF＝MB，

∴BF⊥AE，

∴∠BGE＝90°，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠CBF＝∠BAE，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE＝CF，

∵DN+NF+CF＝BE+EC，

∴DN+MB＝EC；

问题探究：

解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABIH为矩形，

∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠BDA＝45°，

∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，

∵MN是AE的垂直平分线，

∴AQ＝QE，

在Rt△AHQ和Rt△QIE中，，

∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），

∴∠AQH＝∠QEI，

∴∠AQH+∠EQI＝90°，

∴∠AQE＝90°，

∴△AQE是等腰直角三角形，

∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；

（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：

则△APN的直角顶点P在OB上运动，

设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，

∵AO＝OD，∠AOD＝90°，

∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，

当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，

∵点P在BD上，

∴AP＝PC，

在△APB和△CPB中，，

∴△APB≌△CPB（SSS），

∴∠BAP＝∠BCP，

∵∠BCD＝∠MPA＝90°，

∴∠PCN＝∠AMP，

∵AB∥CD，

∴∠AMP＝∠PNC，

∴∠PCN＝∠PNC，

∴PC＝PN，

∴AP＝PN，

∴∠PNA＝45°，

∴∠PNP′＝90°，

∴∠P′NH+PNG＝90°，

∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，

∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，

由翻折性质得：PN＝P′N，

在△PGN和△NHP'中，，

∴△PGN≌△NHP'（ASA），

∴PG＝NH，GN＝P'H，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠PDG＝45°，

易得PG＝GD，

∴GN＝DH，

∴DH＝P'H，

∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，

∴点P'在线段DO'上运动；

过点S作SK⊥DO'，垂足为K，

∵点S为AD的中点，

∴DS＝2，则P'S的最小值为；

问题拓展：

解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：

则EG＝AG＝，PH＝FH，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，BE＝＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝1，

∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，

∴△ABE∽△QCE，

∴＝＝3，

∴QE＝AE＝，

∴AQ＝AE+QE＝，

∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，

∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，

∴＝，即＝，

解得：AM＝，

由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，

∴B'M＝＝，AC'＝1，

∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，

∴△AFC'∽△MAB'，∴＝＝，解得：AF＝，

∴DF＝4﹣＝，

∵AG⊥MN，FH⊥MN，

∴AG∥FH，∴AQ∥FP，

∴△DFP∽△DAQ，

∴＝，即＝，

解得：FP＝，

∴FH＝FP＝．

考向3  与坐标有关规律探究

1．(2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为　   　．

【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．

【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），

故答案为：（2，4，2）．

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．

2．(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　）

A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）

【答案】C

【解析】分析根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．

A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，

2019÷4＝504…3，

所以A2019的坐标为（504×2＋1，0），

则A2019的坐标是（1009，0）．

故选：C．

2．(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为　　

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【解析】点运动一个弧AB用时为秒．

如图，作于，与弧AB交于点．

在中，，，

，

，

，

第1秒时点运动到点，纵坐标为1；

第2秒时点运动到点，纵坐标为0；

第3秒时点运动到点，纵坐标为；

第4秒时点运动到点，纵坐标为0；

第5秒时点运动到点，纵坐标为1；

，

点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，

，

第2019秒时点的纵坐标为是．故选：．

3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　）

A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）

【答案】A

【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，

∴A（0，1），

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，

发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，

∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．

4．(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为　   　．（n为正整数）

【答案】A

【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：

在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，

∴A1P1＝＝＝，

同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，

∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，

…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）

故答案为：（n，）．

考向4 与函数有关的规律

1．(2019 山东省淄博市)如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上．则的值为　　

A． B．6 C． D．

【答案】A

【解析】过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、

其斜边的中点在反比例函数，即，

，

设，则 此时，代入得：，

解得：，即：，

同理：，

，

，

故选：．

2．(2019 山东省德州市)如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为　　．（用含的式子表示）

【答案】A

【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1，），
∴k＝，
∴y＝和y＝－，
过A2作A2D2⊥x轴于D2，
∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，
设A2（x，－），则A2D2＝，
Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，
∴ED2＝，
∵OD2＝2＋＝x，
解得：x1＝1－（舍），x2＝1＋，
∴EF＝＝＝＝2（－1）＝2－2，
A2D2＝＝＝，
即A2的纵坐标为－；
过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，
设A3（x，），则A3D3＝，
Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，
∴FD3＝，
∵OD3＝2＋2－2＋＝x，
解得：x1＝（舍），x2＝＋；
∴GF＝＝＝2（－）＝2－2，
A3D3＝＝＝（－），
即A3的纵坐标为（－）；
…
∴An（n为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋1（）；
故答案为：（－1）n＋1（）；

3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　   　．

【答案】﹣31009

【解析】由题意可得，

A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，

可得A2n＋1的横坐标为（﹣3）n

∵2019＝2×1009＋1，

∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，

故答案为：﹣31009．

4．(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是　   　．

【答案】（2n﹣1）

【解析】由题意可得，

点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，

∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，

∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn﹣1An）＝（1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1），

设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n，

则2S﹣S＝2n﹣1，

∴S＝2n﹣1，

∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1，

∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），

故答案为：（2n﹣1），