江苏版2020年中考数学热点专题冲刺9函数综合问题20200325219

热点专题9   函数综合问题

有关函数的综合题是每年中考数学的压轴大戏，几乎全国各大城市的压轴题都与函数有关．所以函数综合问题既是每年的热点，也是重点，更是难点．导致几乎所有学生见到函数综合题就害怕，函数综合题对学生的知识掌握程度及分析问题的综合能力的要求都非常高，再加上这种题目多与动点或最值相关，这就使得难度又升级了．所以要想处理好这种类型的问题，关键是对几种函数的性质和图象要熟悉，基础知识要牢固，另外平时多做练习，多总结处理这种问题的一些常见策略和方法，熟能生巧．

考向1  函数图象共存问题

1. (2019 山东省德州市)若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为　　

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，
∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．

2． (2019 山东省青岛市)已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；

∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，

∴ab＞0，即a、b同号，

当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；

当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．

故选：C．

考向2 函数与不等式问题

1. (2019 山东省德州市)在下列函数图象上任取不同两点，、，，一定能使成立的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】A、∵k=3＞0
∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2
∴当x＜0时，＞0，
故A选项不符合；
B、∵对称轴为直线x=1，
∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2
此时＞0，
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x1＞x2时，必有y1＞y2
此时＞0，
故C选项不符合；
D、∵对称轴为直线x=2，
∴当x＜0时y随x的增大而减小，
即当x1＞x2时，必有y1＜y2
此时＜0，
故D选项符合；故选：D．

2. (2019 山东省潍坊市)抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6

【答案】D

【解析】∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，

∴b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x+3，

∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，

∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，

当x＝﹣1时，y＝6；

当x＝4时，y＝11；

函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；

∴2≤t＜6；

故选：D．

3. (2019 山东省济宁市)如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　   　．

【答案】x＜﹣3或x＞1

【解析】∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，

∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，

∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，

观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，

∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．

故答案为：x＜﹣3或x＞1．

考向3  函数与方程问题

1. (2019 山东省泰安市)若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为　   　．

【答案】x1＝2，x2＝4

【解析】∵二次函数y＝x2＋bx﹣5的对称轴为直线x＝2，

∴，

得b＝﹣4，

则x2＋bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，

解得，x1＝2，x2＝4．

故意答案为：x1＝2，x2＝4．

考向4 二次函数与动点最值问题

1. (2019 山东省滨州市)如图①，抛物线y＝﹣x2＋x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．

（1）求直线AD的函数解析式；

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；

②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

【解析】（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），

当y＝0时，0＝﹣x2＋x＋4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），

∴OA＝OB＝4，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，

∴∠BAD＝90°，

∴OAD＝45°，

∴∠ODA＝45°，

∴OA＝OD，

∴点D的坐标为（4，0），

设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；

（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，

设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），

∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，

∴PN⊥x轴，

∴PN∥y轴，

∴∠OAD＝∠PNH＝45°，

作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，

∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，

∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），

即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；

②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，

则t＝，

解得，t1＝2，t2＝10，

则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），

当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，

∴sin∠P1AD＝＝；

当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，

∴sin∠P2AD＝＝；

由上可得，sin∠PAD的值是或．

2. (2019 山东省东营市)已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，

由题意得C（0，﹣4），

∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，

＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16．

∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，

∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，

此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．

因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．

如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），

∴，

∴直线AM的解析式为y＝﹣3．

在Rt△AOC中，＝2．

∵D为AC的中点，

∴，

∵△ADE∽△AOC，

∴，

∴，

∴AE＝5，

∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，

∴E（﹣3，0），

由图可知D（1，﹣2）

设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，

∴，

解得：，

∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．

∴，解得：，

∴G（）．

3. (2019 山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

【解析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，

∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，

此时，即：，

∴AE＝4PE，

设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k﹣2，

将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：

k＝0或（舍去0），

则点P（，）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，

∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，

∴，

∴S△PDF＝•S△BOC，

而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，

∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，

即当PD取得最大值时，S△PDF最大，

将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，

设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），

则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，

当m＝2时，PD的最大值为4，

故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．