江苏版2020年中考数学热点专题冲刺5三角形四边形问题20200325215

热点专题5   三角形四边形问题

三角形四边形是平面几何中的基本图形，自然也是中考中的重要内容，它是中考数学中必考内容之一．中考中对三角形和特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形）的考查选择题、填空题、解答题各种题型都会出现，所占的比重也是很大的，主要的问题形式有证明，计算线段长度，求角度，计算某个角的三角函数值等形式．

考向1  三角形的性质

1. (2019 江苏省淮安市)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm 

C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm

【解析】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；

B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；

C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；

D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．

故选：B．

2. (2019 江苏省泰州市)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）

A．点D B．点E C．点F D．点G

【解析】 根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，

∴点D是△ABC重心．

故选：A．

3. (2019 江苏省徐州市)下列长度的三条线段，能组成三角形的是　　

A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10

【解析】，，2，4不能组成三角形，故选项错误，

，，6，12不能组成三角形，故选项错误，

，，7，2不能组成三角形，故选项错误，

，，8，10能组成三角形，故选项正确，

故选：．

4. (2019 江苏省盐城市)如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．

【解析】∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝AC＝1.5．

故选：D．

5. (2019 江苏省南京市)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　   　．

【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，

∴CD＝BD＝3，

∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，

∴AC＝．

故答案为：．

考向2  等腰三角形的性质与判定

1. (2019 江苏省徐州市)函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在轴上．若为等腰三角形，则满足条件的点共有　　个．

【解析】以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；

以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；

作的中垂线与轴的交点即为；

故答案为3；

2. (2019 江苏省镇江市)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　   　°．

【解析】∵△BCD是等边三角形，

∴∠BDC＝60°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠BDC＝60°，

由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，

故答案为：40．

3. (2019 江苏省连云港市)如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．

（1）求证：△OEC为等腰三角形；

（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．

【解析】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，

∴∠B＝∠DEC，

∴∠ACB＝∠DEC，

∴OE＝OC，

即△OEC为等腰三角形；

（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，

理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC，BE＝EC，

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴AD∥EC，AD＝EC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECD是矩形．

考向3  全等三角形的性质与判定

1. (2019 江苏省南京市)如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

【解析】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴BD＝CE，

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴AD＝EC，

∵CE∥AD，

∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，

∴△ADF≌△CEF（ASA）．

2. (2019 江苏省泰州市)如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．

（1）求证：△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求△AEF的周长．

【解析】（1）证明：∵四边形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC＝PA，

∴∠APD＝∠CPD＝45°，

∴△AEP≌△CEP（AAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，

∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP＝∠BAP，

∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；

（3）过点 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，

∴FC∥BN，

∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，

又AP＝CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），

∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，

∵△AEP≌△CEP，

∴AE＝CE，

∴AE+EF+AF

＝CE+EF+AF

＝BN+AF

＝PN+PB+AF

＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF

＝2AB

＝16．

3. (2019 江苏省无锡市)如图，在中，，点、分别在、上，，、相交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

【解析】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠ECB=∠DBC

在，∵

∴

（2）证明：由（1）知

∴∠DCB=∠EBC

∴OB=OC

4. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．

（1）求证：△AGE≌△CHF；

（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

【解析】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，

∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠BFE，

∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，

∴∠AEG＝∠CFH，

在△AGE和△CHF中，，

∴△AGE≌△CHF（AAS）；

（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：

连接AH、CG，如图所示：

由（1）得：△AGE≌△CHF，

∴AG＝CH，

∵AG∥CH，

∴四边形AHCG是平行四边形，

∴线段GH与AC互相平分．

考向4  平行四边形的性质与判定

1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．

（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是　   　；

（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．

【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；

（2）EB与ED相等．

由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴BE＝DE．

2. (2019 江苏省淮安市)已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．

【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，

∴DE＝AD，BF＝BC，

∴DE＝BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE＝DF．

3. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：

（1）；

（2）．

【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，

，

由折叠可得，，

，

，

；

（2）四边形是平行四边形，

，，

由折叠可得，，，

，，

又，

．

4. (2019 江苏省扬州市)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．

（1）求证：∠BEC＝90°；

（2）求cos∠DAE．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DAE＝∠DEA

∴AD＝DE＝10，

∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，

∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，

∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠BEC＝90°，

∴AE＝＝＝8，

∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝＝＝．

考向5  矩形的性质与判定

1. (2019 江苏省徐州市)如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为　　．

【解析】、分别为、的中点，

．

四边形是矩形，

．

故答案为16．

2. (2019 江苏省宿迁市)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）求线段EF的长．

 【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，

∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，

∵BE＝DF＝，

∴CF＝AE＝4﹣＝，

∴AF＝CE＝＝，

∴AF＝CF＝CE＝AE＝，

∴四边形AECF是菱形；

（2）解：过F作FH⊥AB于H，

则四边形AHFD是矩形，

∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，

∴EH＝﹣＝1，

∴EF＝＝＝．

考向6  菱形的性质与判定

1. (2019 江苏省苏州市)如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为（    ）

A． B． C．  D．

【解析】由菱形的性质得

，为直角三角形

故选C

2. (2019 江苏省无锡市)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　

A．内角和为 B．对角线互相平分 

C．对角线相等 D．对角线互相垂直

【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，显然对角线相等是矩形有而菱形不一定有的．

故选C

考向7  正方形的性质与判定

1. (2019 江苏省扬州市)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　   　．

【解析】连接CF，

∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，

∴GF＝GB＝5，BC＝7，

∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，

∴＝13．

∵M、N分别是DC、DF的中点，

∴MN＝＝．

故答案为：．

2．(2019 山东省东营市)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④

【解析】①∵四边形ABCD是正方形，

∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，

∵∠MON＝90°，

∴∠COM＝∠DOF，

∴△COE≌△DOF（ASA），

故①正确；

②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，

∴点O、E、C、F四点共圆，

∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，

∴OGE∽△FGC，

故②正确；

③∵△COE≌△DOF，

∴S△COE＝S△DOF，

∴，

故③正确；

④）∵△COE≌△DOF，

∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴∠OEG＝∠OCE＝45°，

∵∠EOG＝∠COE，

∴△OEG∽△OCE，

∴OE：OC＝OG：OE，

∴OG•OC＝OE2，

∵OC＝AC，OE＝EF，

∴OG•AC＝EF2，

∵CE＝DF，BC＝CD，

∴BE＝CF，

又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，

∴BE2+DF2＝EF2，

∴OG•AC＝BE2+DF2，

故④错误，

故选：B．