专题01线段周长面积最大值-备战2022年中考数学压轴题二次函数篇（全国通用）

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中考数学压轴题--二次函数
第1节 线段周长面积最大值

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方法点拨


例题演练

题组1：线段的最大值
例1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．

【解答】解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），
则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2） 2+2，
此时PQ的最大值为2．
练1.1如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3，），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+1；
把A（0，1），B（﹣3，）代入y＝ax2﹣x+c得，，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣x+1；
（2）设点N的坐标为（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣m+1），
∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+1＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，MN取最大值，最大值为；
练1.2如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求该函数的表达式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．
①求线段PQ的最大值；

【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
即y＝ax2﹣3ax﹣4a，
则﹣4a＝2，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，
BC＝＝2，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，2），B（4，0）得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），
∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∵∠NBM＝∠NPQ，
∴△PQM∽△BOC，
∴＝，即PQ＝，
∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；

题组2：周长的最大值
例2．已知：如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），
设过A、B、C的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2，
（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），
∴DF＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，
所以x＝1时，DF最大＝1，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，DF∥y轴，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴△DEF周长的最大值为1+
练2.1如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C
∴点C坐标为（0，﹣3）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3
∵点B（3，0），点C（0，﹣3）
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵DF∥AB，
∴∠EFD＝45°＝∠OBC，
∵DE⊥BC，
∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴DF＝EF，
∴EF＝DE＝DF，
∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+）DF，
设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）
∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+
∴当a＝时，DF有最大值为，
即△DEF周长有最大值为（1+）×＝，
练2.2如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；
【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（1，0）两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+5．
（2）如图1中，

∵抛物线的对称轴x＝﹣2，E（x，﹣x2﹣4x+5），
∴EH＝﹣x2﹣4x+5，EF＝﹣2﹣x，
∴矩形EFDH的周长＝2（EH+EF）＝2（﹣x2﹣5x+3）＝﹣2（x+）2+，
∵﹣2＜0，
∴x＝﹣时，矩形EHDF的周长最大，最大值为．
练2.3如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0，
x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
由对称性得：抛物线的对称轴是：x＝＝2；
（2）如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，
∴E在第四象限，
∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m2+4m+5，
设四边形EHDF周长为W，
则W＝2（EF+EH）＝2（m﹣2﹣m2+4m+5）＝﹣2m2+10m+6＝﹣2（m﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝时，四边形EHDF周长的最大值是；

练2.4如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；

【解答】解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，
则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，
则AB＝＝（a﹣1）2＝16，
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；
（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），
设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3），
则EF＝（xF﹣xE）＝（﹣2m﹣3）＝MN，
四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，
故点E的横坐标为：﹣；
练2.5综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；
（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；

【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0）
令x＝0，得y＝3
∴C（0，3）
（2）当点D是OA的中点时，点D（﹣，0），Q（，），
∵直线AC的解析式为y＝x+3
∴P（﹣，）
∴PQ＝
（3）①如图，作PF⊥CO

设D（m，0），则P（m，m+3），Q （m，﹣m2﹣2m+3）
PQ+PC＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）+（﹣m）═﹣（m+2）2+4
∴当m＝﹣2时，PQ+PC有最大值4
题组3：面积的最大值
例3．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；
（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．

【解答】解：（1）∵点C的横坐标为3，
∴y＝×3+＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），
由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴ED＝FG，
∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，
∴m＝0.5，
∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；
（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，
由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，
∴当m＝时，S最大值为，
∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．
练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，

（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），

则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
练3.2如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a＝1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．
将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．
（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．
设P（x，﹣x2+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，
∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1
＝﹣x2+x+
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，
把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．
此时点P坐标为（，）．