考点29和圆有关的计算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点29和圆有关的计算

【命题趋势】

圆有关的计算主要考查：1、弧长的计算。2、与圆锥相关的计算，主要涉及求母线长、底面圆半径、高、侧面积等。3、阴影部分面积的计算，常会结合图形的旋转考查，在解答题中会结合切线的判定与性质考查阴影部分的面积。常基础题和中档题。

【常考知识】

1、弧长的计算。2、与圆锥相关的计算，主要涉及求母线长、底面圆半径、高、侧面积等。3、阴影部分面积的计算，常会结合图形的旋转考查，在解答题中会结合切线的判定与性质考查阴影部分的面积。

【夺分技巧】

1、在解决有关圆锥及侧面积展开图的问题时，常借助圆锥底面圆周长等于展开后扇形的弧。

2、常常利用圆锥的侧面及展开图转化为平面问题解决最短路线问题。

3、阴影部分面积的求法有：公式法、割补法、等级积变化发法、旋转法。

真题演练

一、单选题

1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】

如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．

【详解】

解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，

由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，

∴，

故选D．

2．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

利用勾股定理可求出AC的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．

【详解】

∵，

∴∠A+∠B=90°，

∵，，

∴=1，

∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD

=BC·AC-

=×1×2-

=1-，

故选：D．

3．（2021·江苏新吴·二模）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据三视图知这个几何体为圆锥，再利用圆锥侧面展开的面积加上底面积即可解答．

【详解】

这个几何体为圆锥，底面圆的半径为，

侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长5，扇形的弧长为6，

由扇形的面积公式

得这个几何体的全面积

故选D．

4．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（    ）

A． B．

C．             D．

【答案】D

【分析】

由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．

【详解】

解：根据题意，

∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，

∴，

∴，

由的长为半径的扇形的弧长为：

∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为

∴其底面的面积为

由的长为半径的扇形的弧长为：

∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为

∴其底面的面积为

∴两者的面积和

∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；

故选：D．

5．（2021·湖北天门·中考真题）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．

【详解】

解：设这个圆锥底面半径为，

由题意得：，

解得，

即这个圆锥底面半径为，

故选：B．

6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．

【详解】

解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r

根据题意得2 πr，

解得r＝1，

侧面积= ，

底面积=

所以圆锥的表面积=，

故选：B．

7．（2021·四川苍溪·一模）如图，是的直径，弦．已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

【详解】

解：连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=（垂径定理），

故S△OCE=S△ODE，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又∵∠CDB=30°，

∴∠COB=∠BOD=60°（圆周角定理），

∴OC=OD=4，

故S扇形OBD=，即阴影部分的面积为．

故选：C．

8．（2021·江苏·南通田家炳中学二模）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据三视图得到此几何体为圆锥，几何体的表面积=侧面积+底面面积，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，求侧面积扇形面积=，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，底面利用圆的面积求解即可．

【详解】

解：该几何体的表面积．
故选：B．

9．（2021·全国·九年级期末）如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值，即可．

【详解】

解：连接BC，

∵∠BAC＝90°，

∴BC为⊙O的直径，

∴BC＝2，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝，

∴S扇形ABC=

故选：C．

10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点D为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由正六边形的性质出的长，根据扇形面积公式=×弧长×半径，可得结果

【详解】

解：由题意：

∴

∴

∴

故选：A

二、填空题

11．（2021·江苏灌云·九年级期中）一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_______度．

【答案】80

【分析】

设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=，求出这个扇形的圆心角为多少即可．

【详解】

设这个扇形的圆心角为n°，

则＝8π，

解得，n＝80，

故答案为：80．

12．（2021·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）

【答案】

【分析】

根据圆周角定理得∠AOB=90°，再根据正方形的性质可证得AO=BO，进而可有求解．

【详解】

解：∵AB为直径，

∴∠AOB=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴AO=BO，

∴S1=S2，

∴==4π﹣8，

故答案为：4π﹣8．

13．（2021·湖南永州·中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．

【答案】10

【分析】

根据圆锥的侧面积公式：侧＝．即可求得

【详解】

侧＝

故答案为10

14．（2021·吉林·东北师大附中二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为______cm2．

【答案】π．

【分析】

根据扇形的面积公式，利用扇面的面积=S扇形BAC-S扇形DAE进行计算．

【详解】

解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，

∴AD＝10cm，

∵∠BAC＝150°，

∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE

＝﹣

＝π（cm2）．

故答案为π．

15．（2021·山东聊城·中考真题）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2

【答案】

【分析】

先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．

【详解】

解：∵弧长16πcm的扇形铁片，

∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，

∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，

∴圆锥的母线长为：，

∴扇形铁片的面积=cm2，

故答案是：．

16．（2021·湖北随州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______．（结果保留）

【答案】．

【分析】

利用勾股定理求出AB=2，根据旋转的性质得到旋转角为∠=60°，再由弧长计算公式，计算出结果．

【详解】

解：∵，，，

∴AB=2AC，

设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：

，

解得：x=1，

则：AC=1，AB=2，

∵将绕点逆时针旋转角（）得到，且点落在边上，

∴旋转角为60°，

∴∠=60°，

∴点所经过的路径长为： ，

故答案为：．

17．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是________（结果用含的式子表示）．

【答案】

【分析】

由题意易得该扇形的弧长为，然后根据扇形面积计算公式可求解．

【详解】

解：由题意得：

该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为，

∴该扇形的面积为；

故答案为．

三、解答题

18．（2021·广东·广州市第三中学三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，∠ABC=30°，点C是⊙O上不与点A、B重合的点，

（1）判断AOC的形状，并说明理由

（2）利用尺规作∠ACB的平分线CD，交AB于点E，交⊙O于点D，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）

①求弧AD的长度；

②求ACE与BDE的面积比

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）①π；②

【分析】

（1）结论：△AOC是等边三角形．根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．

（2）①利用弧长公式计算即可．

②解直角三角形求出AC，BD，利用相似三角形的性质解决问题即可．

【详解】

解：（1）结论：是等边三角形．

理由：，

又，

是等边三角形．

（2）①如图射线即为所求．

，

，

的长．

②是直径，

，

，

，

，，

，

，，

，

．

19．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当，时，求劣弧的长．

【答案】（1）见详解；（2）

【分析】

（1）连接OD，由直径所对圆周角性质可得∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得到∠CBD=∠ABD，由OD=OB，∠ODB=∠ABD，可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，利用勾股定理求出AE，CD，然后根据扇形弧长公式即可得到结论．

【详解】

（1）证明：连接OD，BD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∵AB=BC，

∴∠CBD=∠ABD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠ODB=∠ABD，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，

∴AD＝CD，

∵AC＝4AE，

∴AD＝2AE，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴∠A＝60°，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠COD＝60°，

∵OD=OC，

∴△OCD为等边三角形，

在Rt△ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，

∵，

∴（2AE）2=（）2+AE2，

解得AE=1，

∴AD＝CD＝2AE＝2，

∴劣弧的长．

20．（2021·山东省诸城市树一中学三模）如图，是的外接圆，，，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接，根据，可得，再根据圆周角定理，可得，即可求解；

（2）先证明，可得，从而，继而得到，可求出，即可求解．

【详解】

解：（1）连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线；

（2）∵且，

∴，

即，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

．

21．（2021·全国·九年级期末）如图所示，是的切线，为切点，直线交于点，是的直径，弦，交于点，连接．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）已知，，求弦和劣弧所围成弓形的周长和面积．

【答案】（1）直线是的切线，理由见解析；（2），

【分析】

（1）连接OB．由平行线的性质得出∠AOP＝∠ACB，∠BOP＝∠OBC，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠OBC，证明△AOP≌△BOP（SAS），由全等三角形的性质得出∠PBO＝∠PAO＝90°，则可得出结论；

（2）由垂径定理求出AD，利用三角函数求证出三角形AOE是等边三角形，可求出圆O的半径和圆心角度数，根据弧长公式和扇形的面积公式可得出答案．

【详解】

解：（1）直线是的切线。

理由如下：连接．

，

，

，

，

，

是的切线，

．

在和中，

，， ，

，

，

直线是的切线．

（2），

弧弧，

弦，　

，

在中，

，

．

又，

是等边三角形，

．

弧，

弓形的周长=弦弧，

弓形的面积．