中考数学一轮复习考点复习专题33 与圆有关的计算【考点精讲】（含解析）

考点1：弧长的计算

1．半径为R的圆周长：C=πd=2πR. 

2．半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=. 

【例1】（2021·黑龙江牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（    ）

A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm

【答案】B

【分析】

设这条弧的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解．

【详解】

解：设这条弧的半径为rcm，

由题意得，

解得r=40，

∴这条弧的半径为40cm．

故选：B

1．求每一条弧长的时候找准该弧长所对的圆心角并确定其度数，然后确定半径的长度，再利用公式即可求出.

2．计算弧长的有关要点：

（1）在弧长计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.

（2）若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

（3）题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示.

（4）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念:度数相等的弧，弧长不一定相等;弧长相等的弧不一定是等弧；只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

1．（2020•淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（　　）

A．2π+2 B．3π C． D．2

【分析】利用弧长公式计算即可．

【解答】解：如图，

点O的运动路径的长的长+O1O2的长

，

故选：C．

2．如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】连接OA，OD，首先求得弧所对的圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算即可．

【解答】解：连接OA，OD，

∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，

∴∠OAF＝∠ODE＝90°，

∵∠E＝∠F＝120°，

∴∠AOD＝540°﹣90°﹣90°﹣120°﹣120°＝120°，

∴的长为 π，

故选：A．

3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，得出∠BOD和∠BOC的度数，由角的和差可得∠COD的度数，最后由弧长公式可得结论．

【解答】解：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝24°，

∴∠A＝90°﹣24°＝66°，

∴∠BOC＝2×66°＝132°，

∵AC∥OD，

∴∠BOD＝∠A＝66°，

∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，

∵AB＝4，

∴劣弧CD的长；

故选：B．

考点2：扇形的面积计算

1．半径为R的圆面积S=

2．半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=. 

【例2】（2021·青海西宁）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．

【详解】

解：连接OD，如图：

在中，，，，

由勾股定理，则

，

设半径为r，则，

∴，

∴四边形CEOF是正方形；

由切线长定理，则，，

∵，

∴，

解得：，

∴；

∴阴影部分的面积为：；

故选：C．

【例3】（2021·浙江衢州市）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．

【详解】解：．

故选：D

【例4】（2021·湖南张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，分别表示出黑色部分面积和正方形的面积，进而即可求得的比值．

【详解】

设正方形的边长为2a，则圆的半径为a

∴，圆的面积为

∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称

∴黑色部分面积为圆面积的一半

∴

∴，

故选：A．

1．解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点：

（1）切线的性质和判定；

（2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或者差来求.

2．计算扇形面积的有关要点

（1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

（2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法.

（3）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念.

3．方法解读：

（1）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.

① 直接和差法：

S阴影=S△AOB-S扇形COD　　　S阴影=S半圆AB-S△AOB          S阴影=S△ACB-S扇形CAD　    S阴影=S扇形BAD-S半圆AB　

S阴影=S扇形EAF-S△ADE

② 构造和差法：

  S阴影=S扇形AOC+S△BOC         S阴影=S△ODC-S扇形DOE

S阴影=S扇形AOB-S△AOB    S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD

（2）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法,对图形进行转化,为利用公式法或和差法创造条件,从而求解.

① 全等法

S阴影=S△AOB      S阴影=S扇形BOC    

S阴影=S矩形ACDF        S阴影=S正方形PCQE

② 等面积法

    S阴影=S扇形COD

1．（2020•乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．π

【分析】解直角三角形得到ABBC，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，

∴ABBC，AC＝2BC＝2，

∴，

故选：B．

2．（2020•成都模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（　　）

A．2π B．π C．π D．π

【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形DOB﹣S△DOE+S△BEC．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE＝ED＝2，

又∵∠DCB＝30°，

∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，

∴OE＝22，OD＝2OE＝4，

∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．

故选：B．

3．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；

（2）连接CD，OD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，

又∵OC为半径，

∴AE＝ED，

（2）解：连接CD，OD，

∵OC∥BD，

∴∠OCB＝∠CBD＝30°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝30°，

∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，

∵∠COD＝2∠CBD＝60°，

∴∠AOD＝120°，

∵AB＝6，

∴BD＝3，AD＝3，

∵OA＝OB，AE＝ED，

∴，

∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD3π．

考点3：圆柱与圆锥的有关计算

1．圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高). 

2．圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线). 

3．圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h. 

【例5】（2021·四川绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．

【详解】

解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，

由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，

∴，

故选D．

【例6】（2021·江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．

【答案】48π

【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．

【详解】解：∵底面圆的半径为4，

∴底面周长为8π，

∴侧面展开扇形的弧长为8π，

设扇形的半径为r，

∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，

∴＝8π，

解得：r＝12，

∴侧面积为π×4×12＝48π，

故答案为：48π．

1．（2020•湖北）一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm

【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l求解即可．

【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，

由弧长公式得8π，

解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．

故选：B．

2．（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意可知：

AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，

底面圆的周长等于弧长：

∴2πr，

解得r．

答：该圆锥的底面圆的半径是．

故选：D．

3．（2020•德州）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　 　度．

【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），

设圆心角的度数是n度．则4π，

解得：n＝120．

故答案为：120．

考点4：正多边形与圆

1．正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.

3．圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3．正多边形的内角和=(n-2)·180°;

正多边形的每个内角= ; 

正多边形的周长=边长×边数;

正多边形的面积=×周长×边心距.

【例7】（2021·四川德阳）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．

【答案】70

【分析】

先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．

【详解】

解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，

∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，

∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，

∴∠B=540°-430°=110°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠CDA=180°，

∴∠CDA=180°-110°=70°．

故答案为70．

1．（2020•姑苏区一模）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（　　）

A．180° B．120° C．100° D．150°

【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝25°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．

【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，

∵的度数为60°，

∴∠ABE＝∠ADE＝30°，

∵点A、B、C、D在⊙O上，

∴四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，

∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．

故选：D．

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）

A．130° B．100° C．120° D．110°

【分析】首先证明∠ADC＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．

【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，

∴∠ADC＝∠CBE＝50°，

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣50°）＝65°，

∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，

故选：A．

3．（2020•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　）

A．140° B．70° C．110° D．80°

【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．

【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，

∵CD⊥OA，CE⊥OB，

∴∠ODC＝∠OEC＝90°，

∵∠DCE＝40°，

∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，

∴∠P∠AOB＝70°，

∵A、C、B、P四点共圆，

∴∠P+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，

故选：C．