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考点10二次函数的图象及性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）
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这是一份考点10二次函数的图象及性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共23页。试卷主要包含了二次函数的概念和图像，二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质等内容，欢迎下载使用。
考点10二次函数的图象及性质
考点总结
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
2．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
3．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x=12时，y1﹣y2最大值为−34，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤−34，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x=52时，y1﹣y2最大值为54，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤54，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
4．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
5．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x=−k2＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+k2）²−5k24．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+k2−3）²−5k24+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+k2−3）²−5k24+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
6．（2021•高邮市二模）若y与x的函数y＝（m﹣1）x2+（m+1）x﹣m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用函数与x轴交点个数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：当m﹣1＝0，即m＝1时，函数为y＝2x﹣1，与坐标轴只有两个交点，
当m≠1时，当图象经过原点时，图象与坐标轴只有两个交点，此时m＝0，
故符合题意的m的值有2个．
故选：B．
7．（2021•海陵区校级二模）对于二次函数y＝mx2﹣（6m+1）x+2（m≠0），若x＞n时y随着x的增大而增大，则符合条件的整数n的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由题意可知m＞0，对称轴为直线x=−−(6m+1)2m=3+12m，根据二次函数的性质得出n≥3+12m，由于n是整数则n≥4．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝mx2﹣（6m+1）x+2（m≠0）图象开口向上，
∴m＞0，对称轴为直线x=−−(6m+1)2m=3+12m，
∵x＞n时y随着x的增大而增大，
∴n≥3+12m，
∵n是整数，
∴n≥4，
故符合条件的整数n的值不可能为3，
故选：A．
8．（2021•镇江一模）将二次函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图象，这个新图象对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】令 y＝0，则 x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，则y＝3，再求出抛物线于x轴右侧的交点A（3，0），翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x＝4 时，y′＝5，当 0≤x≤4 时，函数的最小值为0，最大值为5，即可求出函数最大值与最小值之差．
【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，4），
令 y＝0，则 x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，则y＝3，
设抛物线于x 轴右侧的交点A（3，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x 轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x＝4 时，y′＝5，
∴当 0≤x≤4 时，函数的最小值为 0，最大值为5，
故函数最大值与最小值之差为5，
故选：D．
9．（2021•新吴区二模）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+5的图象上，则2a﹣b的最大值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4.5 D．4.5
【分析】根据二次函数以y轴为对称轴可得y＝x2+5，把点P（a，b）代入，b＝a2+5，所以2a﹣b＝﹣a2+2a﹣5，最后求关于a的二次函数的最值即可．
【解答】解：点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+5的图象上，
∴m＝0，b＝a2+5，
∴2a﹣b＝﹣a2+2a﹣5，
令s＝﹣a2+2a﹣5，
当a＝1时，s取得最大值为﹣4，
故2a﹣b的最大值等于﹣4，
故选：B．
10．（2021•射阳县二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）过A（2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y2），D（−5，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x＝1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（2，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）过A（2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y2），D（−5，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=−1+32=1．
∵D（−5，y3）离对称轴最远，A（2，y1）离对称轴最近，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
12．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： y=83x2 ．
【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（32m，6m2），即可得y=83x2．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴ACBC=CDCE=ADBE，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（32m，6m2），
又已知P（x，y），
∴x=32my=6m2，
∴y=83x2；
故答案为：y=83x2．
13．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元．
【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
14．（2021•姑苏区校级一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=14x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）绕着原点旋转180°，所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥4时，代数式2t+s的最小值为 ﹣12 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后的抛物线，从而得到s＝﹣2（m﹣1），t＝（m﹣1）2﹣3m，根据题意得出2t+s＝2（m﹣1）2﹣6m﹣2（m﹣1）＝2（m﹣3）2﹣14，根据二次函数的性质求得即可．
【解答】解：将抛物线y=14x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）绕着原点旋转180°，得到的图象的解析式为﹣y=14（﹣x）2﹣（m﹣1）（﹣x）+3m，
即y=−14x2﹣（m﹣1）x﹣3m，
∵所得图象的顶点坐标为（s，t），
∴s=−−(m−1)2×(−14)=−2（m﹣1），t=−14[﹣2（m﹣1）]2﹣（m﹣1）[﹣2（m﹣1）]﹣3m＝（m﹣1）2﹣3m，
∴2t+s＝2（m﹣1）2﹣6m﹣2（m﹣1）＝2（m﹣3）2﹣14，
∴当m＞3时，代数式2t+s的值随m的增大而增大，
∴在m≥4范围内，当m＝4时，代数式2t+s的有最小值，最小值为：2（4﹣3）2﹣14＝﹣12，
故答案为：﹣12．
15．（2021•新吴区二模）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
三．解答题（共5小题）
16．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.MNMP=32，D.MNMP=2，所有正确选项的序号是 A，D ．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+23，推出Q（−103+m，m），构建方程求出m即可．
【解答】解（1）由题意得：36a−6b+2=0c=2−b2a=−4，
解之得：a=16，b=43，c＝2，
∴y=16x2+43x+2，
∴当x＝﹣4时，y=16×(−4)2+43×(−4)+2=−23，
∴D（﹣4，−23）．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），
∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y=13x+2，直线BC的解析式为y=−32x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y=13x+t，
由y=13x+ty=4x+24，解得x=3t−7211y=12t−2411，
∴M（3t−7211，12t−2411），
由y=−32x+2y=13x+t．解得x=12−6t11y=4+9t11，
∴N（12−6t11，4+9t11），
∴Q（−60−3t22，21t−2022），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ=−60−3t22+4=28−3t22，QT=21t−2022−24t−4822=28−3t22，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴MNMP=2，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．
∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+23，
∴Q（﹣4+m+23，m），即Q（−103+m，m），
把Q的坐标代入y=16x2+43x+2，得到，m=16（−103+m）2+43（−103+m）+2，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m=163或−23（舍弃），
∴Q（2，163），
根据对称性可知Q′（﹣10，163）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，163）或（﹣10，163）．
17．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=14x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝ −12 ，c＝ −154 ．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．
【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y=14x2+bx+c，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由QM•QH＜10，且QH≠0，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由MG＝HQ列方程求出t的值；
（4）过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由△PRG∽△DPF，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y=14x2+bx+c，
得94−3b+c=0254+5b+c=0，解得b=−12c=−154，
故答案为：−12，−154.
（2）∵y=14x2−12x−154=14（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则5m+n=0m+n=−4，解得m=1n=−5，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），
∴G（t﹣6，14t2−72t+334），H（t﹣3，t﹣8）；
∵QM•QH＜10，且QH≠0，
∴3(t−8)＜103(8−t)＜10|t−8|≠0，解得143＜t＜343，且t≠8；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|14t2−72t+334|＝|t﹣8|；
由14t2−72t+334=t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，
解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由14t2−72t+334=−t+8得，t2﹣10t+1＝0，
解得，t1＝5+26，t2＝5﹣26（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5或t＝5+26．
（4）由（2）得，抛物线y=14x2−12x−154的对称轴为直线x＝1，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴RGPF=PGDF，
∴RG=PG⋅PFDF=3×42=6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，RGPF=PGDF，
∴GR=PG⋅PFDF；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR=r(1−r)2=−12r2+12r=−12（r−12）2+18，
∴当r=12时，GR的最大值为18，
∴R（0，−178）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，RGPF=PGDF，
∴GR=PG⋅PFDF=8×72=28，
∴R（0，26），
∴4+178+26+178=1374，
∴点R运动路径的长为1374．
18．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
19．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y=3x（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（3，3），同理求出B（12b，12b），根据△ABC的面积为3可得12×12|b|×|3−12b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y=3x（x＞0）中，令x=3x，
解得：x=3，
∴A（3，3），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x=12b，
∴B（12b，12b），
∵BC⊥x轴，
∴C（12b，0），
∴BC=12|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴12×12|b|×|3−12b|＝3，
当b＜0时，b2﹣23b−24＝0，
解得b＝﹣23，
当0≤b＜23时，b2﹣23b+24＝0，
∵Δ＝（﹣23）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣23b+24＝0没有实数根，
当b≥23时，b2﹣23b−24＝0，
解得：b＝43，
综上所述，b的值为﹣23或43；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜−98，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜−98或﹣1＜m＜2．
20．（2021•泰州）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【分析】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD≤3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：−a−12×(−1)=a−12，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为a−12；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴a−12＞0，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2．
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．
考点10二次函数的图象及性质
考点总结
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
2．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
3．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x=12时，y1﹣y2最大值为−34，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤−34，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x=52时，y1﹣y2最大值为54，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤54，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
4．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
5．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x=−k2＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+k2）²−5k24．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+k2−3）²−5k24+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+k2−3）²−5k24+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
6．（2021•高邮市二模）若y与x的函数y＝（m﹣1）x2+（m+1）x﹣m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用函数与x轴交点个数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：当m﹣1＝0，即m＝1时，函数为y＝2x﹣1，与坐标轴只有两个交点，
当m≠1时，当图象经过原点时，图象与坐标轴只有两个交点，此时m＝0，
故符合题意的m的值有2个．
故选：B．
7．（2021•海陵区校级二模）对于二次函数y＝mx2﹣（6m+1）x+2（m≠0），若x＞n时y随着x的增大而增大，则符合条件的整数n的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由题意可知m＞0，对称轴为直线x=−−(6m+1)2m=3+12m，根据二次函数的性质得出n≥3+12m，由于n是整数则n≥4．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝mx2﹣（6m+1）x+2（m≠0）图象开口向上，
∴m＞0，对称轴为直线x=−−(6m+1)2m=3+12m，
∵x＞n时y随着x的增大而增大，
∴n≥3+12m，
∵n是整数，
∴n≥4，
故符合条件的整数n的值不可能为3，
故选：A．
8．（2021•镇江一模）将二次函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图象，这个新图象对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】令 y＝0，则 x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，则y＝3，再求出抛物线于x轴右侧的交点A（3，0），翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x＝4 时，y′＝5，当 0≤x≤4 时，函数的最小值为0，最大值为5，即可求出函数最大值与最小值之差．
【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，4），
令 y＝0，则 x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，则y＝3，
设抛物线于x 轴右侧的交点A（3，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x 轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+3，当 x＝4 时，y′＝5，
∴当 0≤x≤4 时，函数的最小值为 0，最大值为5，
故函数最大值与最小值之差为5，
故选：D．
9．（2021•新吴区二模）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+5的图象上，则2a﹣b的最大值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4.5 D．4.5
【分析】根据二次函数以y轴为对称轴可得y＝x2+5，把点P（a，b）代入，b＝a2+5，所以2a﹣b＝﹣a2+2a﹣5，最后求关于a的二次函数的最值即可．
【解答】解：点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+5的图象上，
∴m＝0，b＝a2+5，
∴2a﹣b＝﹣a2+2a﹣5，
令s＝﹣a2+2a﹣5，
当a＝1时，s取得最大值为﹣4，
故2a﹣b的最大值等于﹣4，
故选：B．
10．（2021•射阳县二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）过A（2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y2），D（−5，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x＝1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（2，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）过A（2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y2），D（−5，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=−1+32=1．
∵D（−5，y3）离对称轴最远，A（2，y1）离对称轴最近，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
12．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： y=83x2 ．
【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（32m，6m2），即可得y=83x2．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴ACBC=CDCE=ADBE，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（32m，6m2），
又已知P（x，y），
∴x=32my=6m2，
∴y=83x2；
故答案为：y=83x2．
13．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元．
【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
14．（2021•姑苏区校级一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=14x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）绕着原点旋转180°，所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥4时，代数式2t+s的最小值为 ﹣12 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后的抛物线，从而得到s＝﹣2（m﹣1），t＝（m﹣1）2﹣3m，根据题意得出2t+s＝2（m﹣1）2﹣6m﹣2（m﹣1）＝2（m﹣3）2﹣14，根据二次函数的性质求得即可．
【解答】解：将抛物线y=14x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）绕着原点旋转180°，得到的图象的解析式为﹣y=14（﹣x）2﹣（m﹣1）（﹣x）+3m，
即y=−14x2﹣（m﹣1）x﹣3m，
∵所得图象的顶点坐标为（s，t），
∴s=−−(m−1)2×(−14)=−2（m﹣1），t=−14[﹣2（m﹣1）]2﹣（m﹣1）[﹣2（m﹣1）]﹣3m＝（m﹣1）2﹣3m，
∴2t+s＝2（m﹣1）2﹣6m﹣2（m﹣1）＝2（m﹣3）2﹣14，
∴当m＞3时，代数式2t+s的值随m的增大而增大，
∴在m≥4范围内，当m＝4时，代数式2t+s的有最小值，最小值为：2（4﹣3）2﹣14＝﹣12，
故答案为：﹣12．
15．（2021•新吴区二模）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜5．
三．解答题（共5小题）
16．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.MNMP=32，D.MNMP=2，所有正确选项的序号是 A，D ．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+23，推出Q（−103+m，m），构建方程求出m即可．
【解答】解（1）由题意得：36a−6b+2=0c=2−b2a=−4，
解之得：a=16，b=43，c＝2，
∴y=16x2+43x+2，
∴当x＝﹣4时，y=16×(−4)2+43×(−4)+2=−23，
∴D（﹣4，−23）．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），
∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y=13x+2，直线BC的解析式为y=−32x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y=13x+t，
由y=13x+ty=4x+24，解得x=3t−7211y=12t−2411，
∴M（3t−7211，12t−2411），
由y=−32x+2y=13x+t．解得x=12−6t11y=4+9t11，
∴N（12−6t11，4+9t11），
∴Q（−60−3t22，21t−2022），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ=−60−3t22+4=28−3t22，QT=21t−2022−24t−4822=28−3t22，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴MNMP=2，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．
∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+23，
∴Q（﹣4+m+23，m），即Q（−103+m，m），
把Q的坐标代入y=16x2+43x+2，得到，m=16（−103+m）2+43（−103+m）+2，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m=163或−23（舍弃），
∴Q（2，163），
根据对称性可知Q′（﹣10，163）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，163）或（﹣10，163）．
17．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=14x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝ −12 ，c＝ −154 ．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．
【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y=14x2+bx+c，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由QM•QH＜10，且QH≠0，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由MG＝HQ列方程求出t的值；
（4）过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由△PRG∽△DPF，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y=14x2+bx+c，
得94−3b+c=0254+5b+c=0，解得b=−12c=−154，
故答案为：−12，−154.
（2）∵y=14x2−12x−154=14（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则5m+n=0m+n=−4，解得m=1n=−5，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），
∴G（t﹣6，14t2−72t+334），H（t﹣3，t﹣8）；
∵QM•QH＜10，且QH≠0，
∴3(t−8)＜103(8−t)＜10|t−8|≠0，解得143＜t＜343，且t≠8；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|14t2−72t+334|＝|t﹣8|；
由14t2−72t+334=t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，
解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由14t2−72t+334=−t+8得，t2﹣10t+1＝0，
解得，t1＝5+26，t2＝5﹣26（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5或t＝5+26．
（4）由（2）得，抛物线y=14x2−12x−154的对称轴为直线x＝1，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴RGPF=PGDF，
∴RG=PG⋅PFDF=3×42=6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，RGPF=PGDF，
∴GR=PG⋅PFDF；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR=r(1−r)2=−12r2+12r=−12（r−12）2+18，
∴当r=12时，GR的最大值为18，
∴R（0，−178）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，RGPF=PGDF，
∴GR=PG⋅PFDF=8×72=28，
∴R（0，26），
∴4+178+26+178=1374，
∴点R运动路径的长为1374．
18．（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w，
由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
19．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y=3x（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（3，3），同理求出B（12b，12b），根据△ABC的面积为3可得12×12|b|×|3−12b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y=3x（x＞0）中，令x=3x，
解得：x=3，
∴A（3，3），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x=12b，
∴B（12b，12b），
∵BC⊥x轴，
∴C（12b，0），
∴BC=12|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴12×12|b|×|3−12b|＝3，
当b＜0时，b2﹣23b−24＝0，
解得b＝﹣23，
当0≤b＜23时，b2﹣23b+24＝0，
∵Δ＝（﹣23）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣23b+24＝0没有实数根，
当b≥23时，b2﹣23b−24＝0，
解得：b＝43，
综上所述，b的值为﹣23或43；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜−98，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜−98或﹣1＜m＜2．
20．（2021•泰州）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【分析】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD≤3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：−a−12×(−1)=a−12，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为a−12；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴a−12＞0，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2．
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．
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