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    2019北京中考数学解析练习题

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    2019北京中考数学解析练习题

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    这是一份2019北京中考数学解析练习题,共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2019年北京市初中毕业、升学考试
    数学
    (满分100分,考试时间120分钟)
    一、选择题:本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.
    1.(2019北京市,1题,2分)
    4月24日是中国航天日,1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439000米.将439000用科学记数法表示应为
    A. B.
    C. D.

    【答案】C
    【解析】绝对值大于1的正数用科学记数法表示为,其中n是等于原数的整数位数减1.
    ∴;故选C.
    【知识点】科学记数法——表示较大的数

    2.(2019北京市,2题,2分)
    下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是

    A. B. C. D.

    【答案】C
    【解析】将一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合;这样的图形叫轴对称图形.
    故选C.
    【知识点】图形变换——轴对称图形.

    3.(2019北京市,3题,2分)
    正十边形的外角和为
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确;故选B.
    【知识点】多边形的外角和等于360°.

    4.(2019北京市,4题,2分)
    在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点A向右平移1个单位长度,得到点C.若CO=BO,则a的值为
    A.-3 B. -2 C. -1 D. 1
    【答案】A
    【解析】由题意知,点B表示的数是2,由CO=BO,可得点C表示的数为2或-2,
    将点C向左平移1个单位长度可得到点A,故点A表示的数为1或-3;
    又∵点A,B在原点O的两侧;∴点A表示的数-3.
    【知识点】有理数——数轴、分类讨论.

    5.(2019北京市,5题,2分)
    已知锐角∠AOB,如图,
    (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD;
    (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N;
    (3)连接OM,MN.
    根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是
    A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20°
    C.MN∥CD D.MN=3CD

    【答案】D
    【解析】由作图知, ,OM=OC=OD=ON;
    A.在⊙中,由得∠COM=∠COD;故选项A正确.
    B.由OM=MN,结合OM=ON知△OMN为等边三角形;得∠MON=60°.又由得∠COM=∠COD=∠DON;∴∠AOB=20°.故选项B正确.
    C.由题意知OC=OD,∴.
    设OC与OD与MN分别交于R,S.易得△MOR≌△NOS (ASA) ∴OR=OS ∴
    ∴ ∴MN∥CD. 故选项C正确.
    D.由得CM=CD=DN=3CD;而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN,即MNb);则由图2和图3列得方程组,由加减消元法得,∴菱形的面积.故填12.
    【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.

    15.(2019北京市,15题,2分)
    小天想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差.在计算平均数的过程中,将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,4,9,5.记这组新数据的方差为,则_______. (填“”,“”或“”)

    【答案】=
    【解析】数据92,90,94,86,99,85的平均数;
    新数据2,0,4,4,9,5的平均数为;
    ∴;

    ∴.
    事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后,所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得.
    【知识点】方差的计算和性质、平均数.

    16.(2019北京市,16题,2分)
    在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,
    ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;
    ②存在无数个四边形MNPQ是矩形;
    ③存在无数个四边形MNPQ是菱形;
    ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.
    所有正确结论的序号是_______.

    【答案】①②③
    【思路分析】如图16-1,经矩形ABCD对角线交点O,
    ① 任画两条和矩形对边分别相交的直线,顺次连接交点得到的四边形为平行四边形,显然有无数个四边形;
    ②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线,顺次连接交点得到的四边形为矩形,显然有无数个四边形;
    ③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线,顺次连接交点得到的四边形为菱形,显然有无数个四边形;
    ④画两条和矩形对边分别相交,并且垂直且相等的直线,顺次连接交点得到的四边形为正方形,显然只有一个四边形.

    【解题过程】如图16-1,O为矩形ABCD对角线的交点,

    ① 图中任过点O的两条线段PM,QN,则四边形MNPQ是平行四边形;显然有无数个.本结论正确.
    ② 图中任过点O的两条相等的线段PM,QN,则四边形MNPQ是矩形;显然有无数个.本结论正确.
    ③ 图中任过点O的两条垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是菱形;显然有无数个.本结论正确.
    ④ 图中过点O的两条相等且垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是正方形;显然有一个.本结论错误.
    故填:①② ③.
    【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.
    三、解答题(本大题共12小题,满分68分,第17-21题,每小题5分,第22-24题,每小题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每小题7分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(2019北京市,17题,5分)
    计算:
    【思路分析】根据,,代入计算即可解答.
    【解题过程】解:


    =
    【知识点】实数的混和运算、绝对值、零指数、负指数、特殊角的函数值.

    18.(2019北京市,18题,5分)
    解不等式组:
    【思路分析】先求出每个不等式的解集,再取两个不等式解集的公共部分,就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找”原则即可.
    【解题过程】解:
    由①得


    由②得


    ①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为.
    【知识点】一元一次不等式组的解法.
    19.(2019北京市,19题,5分)
    关于x的方程有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.

    【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围;结合m的值为正整数,求出m的值,进而得到一元二次方程求解即可.
    【解题过程】解:∵关于x的方程有实数根,


    又∵m为正整数,
    ∴m=1,此时方程为解得根为,
    ∴m=1,此方程的根为
    【知识点】一元二次方程根的判别式、

    20.(2019北京市,20题,5分)
    如图20-1,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.
    (1)求证:AC⊥EF;
    (2)如图20-2,延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,若BD=4,tanG=,求AO的长.


    【思路分析】)(1)由四边形ABCD为菱形易得AB=AD,AC平分∠BAD,结合BE=DF,根据等腰△AEF中的三线合一,证得AC⊥EF.
    (2)菱形ABCD中有AC⊥BD,结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有;得出OA的值.
    【解题过程】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形
    ∴AB=AD,AC平分∠BAD
    ∵BE=DF

    ∴AE=AF
    ∴△AEF是等腰三角形
    ∵AC平分∠BAD
    ∴AC⊥EF
    (2)解:∵菱形ABCD中有AC⊥BD,结合AC⊥EF.
    ∴BD∥EF.
    又∵BD=4,tanG=

    ∴AO==OC=1.
    【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.

    21.(2019北京市,21题,5分)
    国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
    a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组:
    30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100);

    b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是:
    61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
    c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

    d.中国的国家创新指数得分为69.5.
    (以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)
    根据以上信息,回答下列问题:
    (1)中国的国家创新指数得分排名世界第_______;
    (2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方.请在图中用“○”圈出代表中国的点;
    (3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为_______万美元;(结果保留一位小数)
    (4)下列推断合理的是_______.
    ①相比于点A,B所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;
    ②相比于点B,C所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标,进一步提高人均国内生产总值.


    【思路分析】(1)由条形统计图知,创新指数在70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100国家个数分别为12,2,2;共16个,而中国的创新指数为69.5;进而求出中国的国家创新指数的世界排名.
    (2)由中国的国家创新指数得分为69.5,结合中国的对应的点位于虚线的上方即可求得.
    (3)如图21-1,先画一条过69.5的水平线,该线上方的点都是国家创新指数得分比中国高的国家;然后找除中国以外的,最左边的点进而求出该国的人均国内生产总值.

    (4)
    【解题过程】(1)解:∵由条形统计图知,创新指数在70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100国家个数分别为12,2,2;共16个,且中国的创新指数为69.5;
    ∴中国的国家创新指数的世界排名为17.
    故填17.
    (2)解:由中国的国家创新指数得分为69.5,结合中国的对应的点位于虚线的上方求得. 如下图,

    (3)如图21-1,

    易求得在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.故填:2.7.
    (4)①②

    【知识点】

    22.(2019北京市,22题,6分)
    在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.
    (1)求证:AD=CD;
    (2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数.


    【思路分析】
    【解题过程】(1)
    ∵BD平分


    ∴AD=CD
    (2)直线DE与图形G的公共点个数为1.
    【知识点】

    23.(2019北京市,23题,6分)
    小云想用7天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:
    ①将诗词分成4组,第i组有首,i =1,2,3,4;
    ②对于第i组诗词,第i天背诵第一遍,第()天背诵第二遍,第()天背诵第三遍,三遍后完成背诵,其它天无需背诵,1,2,3,4;

    第1天
    第2天
    第3天
    第4天
    第5天
    第6天
    第7天
    第1组







    第2组







    第3组







    第4组







    ③每天最多背诵14首,最少背诵4首.

    解答下列问题:
    (1)填入补全上表;
    (2)若,,,则的所有可能取值为_______;
    (3)7天后,小云背诵的诗词最多为_______首.



    【思路分析】
    【解题过程】(1)如下图

    第1天
    第2天
    第3天
    第4天
    第5天
    第6天
    第7天
    第1组







    第2组







    第3组







    第4组







    (2)4,5,6
    (3)23

    【知识点】

    24.(2019北京市,24题,6分)
    如图,P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点,C是上一动点,连接PC交弦AB于点D.

    小腾根据学习函数的经验,对线段PC,PD,AD的长度之间的关系进行了探究.
    下面是小腾的探究过程,请补充完整:
    (1)对于点C在上的不同位置,画图、测量,得到了线段PC,PD,AD的长度的几组值,如下表:

    位置1
    位置2
    位置3
    位置4
    位置5
    位置6
    位置7
    位置8
    PC/cm
    3.44
    3.30
    3.07
    2.70
    2.25
    2.25
    2.64
    2.83
    PD/cm
    3.44
    2.69
    2.00
    1.36
    0.96
    1.13
    2.00
    2.83
    AD/cm
    0.00
    0.78
    1.54
    2.30
    3.01
    4.00
    5.11
    6.00
    在PC,PD,AD的长度这三个量中,确定_______的长度是自变量,_______的长度和_______的长度都是这个自变量的函数;

    (2)在同一平面直角坐标系中,画出(1)中所确定的函数的图象;

    (3)结合函数图象,解决问题:当PC=2PD时,AD的长度约为_______cm.

    【思路分析】(1)三个变量中,分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化,哪两个量就是函数.观察表格中的数据,当AD的长度发生变化时,PC,PD也随之变化.
    (2)以AD为自变量,分别以PC,PD为函数,画函数图像即可.
    (3)找到图象中满足PC=2PD时,对应点的横坐标即可解答.
    【解题过程】(1)观察表格中的数据可知:PC,PD都随AD的变化而变化.故AD为自变量,PC,PD均为AD的函数. 故填:AD, PC,PD;
    (2)以AD为自变量,分别以PC,PD为函数,画出的函数图像如下图,

    (3)观察图象可得,当AD=2.29或者3.98时,有PC=2PD.故填:2.29或者3.98.
    【知识点】函数与自变量、画函数图形及应用函数图象.

    25.(2019北京市,25题,5分)
    在平面直角坐标系中,直线l:与直线,直线分别交于点A,B,直线与直线交于点.
    (1)求直线与轴的交点坐标;
    (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段围成的区域(不含边界)为.
    ①当时,结合函数图象,求区域内的整点个数;
    ②若区域内没有整点,直接写出的取值范围.
    【思路分析】(1)当时,由求得y的值,即得直线 与 轴的交点坐标.
    (2)①当时画出图象分析有关区域中整点个数.
    ②由图象分析解答即可.
    【解题过程】(1)当时,由;∴直线与轴的交点坐标为.
    (2)①如下图,当k=2时,直线:,把代入直线,则.∴;
    把代入直线, ∴, ∴. .
    画出函数的图象及直线 ,直线组成的区域,

    显然区域中整数点有(0,-1)、(0,0)、(1,-1)、(1,0)、(1,1)、(1,2);显然区域内的整点个数有6个.
    ② 由类似①分析图象知区域内没有整点时有或.

    【知识点】一次函数的图象与性质

    26.(2019北京市,26题,6分)
    在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.
    (1)求点B的坐标(用含的式子表示);
    (2)求抛物线的对称轴;
    (3)已知点,.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围.

    【思路分析】(1)先求出A点的坐标为,由平移规律求得点B的坐标.
    (2)由A、B两点的纵坐标相同,得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程.
    (3)根据a的符号分类讨论分析解答即可.
    【解题过程】(1)∵当x=0时,抛物线;
    ∴抛物线与y轴交点A点的坐标为,
    ∴由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为;即.
    (2)∵由A、B两点的纵坐标相同,得A、B为对称点.∴抛物线对称轴方程为;即直线.
    (3)①当时,. 分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点A和点P;也不可能同时经过点B和点Q,所以线段PQ和抛物线没有交点.
    ②当时,. 分析图象可得,根据抛物线的对称性,抛物线不可能同时经过点A和点P;但当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰好有一个公共点,此时,即.
    综上所述:当时,抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.
    【知识点】二次函数图象及性质、点的坐标平移规律、

    27.(2019北京市,27题,7分)
    已知,H为射线OA上一定点,,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转,得到线段PN,连接ON.
    (1)依题意补全图1;
    (2)求证:;
    (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.


    【思路分析】(1)作∠MPN=180°-∠AOB,用圆规截得PM=PN;可补全图形.
    (2)借助△OPM的内角和为180°及∠AOB=30°和∠MPN=150°即可得证,
    (3)
    【解题过程】(1)见下图

    (2)证明:∵
    ∴在△OPM中,
    又∵,

    ∴.
    (3)如下图,过点P作PK⊥OA于K,过点N作NF⊥OB于F

    ∵∠OMP=∠OPN
    ∴∠PMK=∠NPF
    在△NPF和△PMK中,
    ∴△NPF≌△PMK (AAS)
    ∴PF=MK,∠PNF=∠MPK,NF=PK
    又∵ON=PQ
    在Rt△NOF和Rt△PKQ中,
    ∴Rt△NOF≌Rt△PKQ (HL)
    ∴KQ=OF

    ∵∠POA=30°,PK⊥OQ


    ∴,

    .
    ∵M与Q关于H对称
    ∴MH=HQ
    ∴KQ=KH+HQ
    =
    =
    又∵KQ=OF


    ∴,即PK=1
    又∵
    ∴OP=2.
    【知识点】尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30°锐角的性质、中心对称的性质.

    28.(2019北京市,28题,7分)
    在△ABC中,,分别是两边的中点,如果上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称为△ABC的中内弧.例如,下图中是△ABC的一条中内弧.

    (1)如图,在Rt△ABC中,分别是的中点.画出△ABC的最长的中内弧,并直接写出此时的长;

    (2)在平面直角坐标系中,已知点,在△ABC中,分别是的中点.
    ①若,求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;
    ②若在△ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心在△ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.

    【思路分析】(1)当与BC相切时,△ABC的中内弧最长,结合勾股定理进而求得结果.
    (2)①分以下两种情况讨论,Ⅰ、当P为DE的中点时; Ⅱ、当⊙P与AC相切时.
    ②分以下两种情况讨论,Ⅰ、PE⊥AC时,△EFC∽△PEF;Ⅱ、时.

    【解题过程】(1)如下图:当与BC相切时,中内弧最长.


    (2)解:①当时,C(2,0),D(0,1),E(1,1)
    Ⅰ、如下图, 当P为DE的中点时,是中内弧,∴

    Ⅱ、 如下图,当⊙P与AC相切时,.
    当时,,∴.

    综上所述,P的纵坐标
    ②中,
    Ⅰ、PE⊥AC时,△EFC∽△PEF,
    得,即.
    ∴,

    ∴.


    Ⅱ、∵,
    ∴,,
    ∴.
    如下图,

    ,,

    ∴.
    综上所述,
    【知识点】弧长公式、三角形相似性质与判定、圆的有关性质、点的坐标.

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