北京市2019年中考数学押题卷2（含解析）

这是一份北京市2019年中考数学押题卷2（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的
如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）
B．C．D．
【解析】根据圆柱体的截面图形可得．
【解答】解：将这杯水斜着放可得到 A 选项的形状， 将水杯倒着放可得到 B 选项的形状，
将水杯正着放可得到 D 选项的形状， 不能得到三角形的形状，
故选：C．
【说明】本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．
实数a、b在数轴上的位置如图，则化简|a|+|b|的结果为（）
A．a﹣bB．a+bC．﹣a+bD．﹣a﹣b
考生须知
本试卷共 8页，共三道大题，28道小题．满分 100分，考试时间 120分钟．
在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上， 选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
评卷人
得分
【解析】根据数轴判断出 a、b 的正负情况，然后去掉绝对值号即可．
【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0， 所以，|a|+|b|＝﹣a+b．
故选：C．
【说明】本题考查了实数与数轴，准确识图判断出 a、b 的正负情况是解题的关键．
若x，y满足方程组，则x+y 的值为（）
A．3B．4C．5D．6
【解析】直接把两式相加即可得出结论．
【解答】解：，
①+②得，6x+6y＝18，解得 x+y＝3． 故选：A．
【说明】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54万亿元增长 80万亿元，稳居世界第二，其中 80万亿用科学记数法表示为
（）
A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013
【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：80 万亿用科学记数法表示为 8×1013．
故选：B．
【说明】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）
A．3B．4C．5D．6
【解析】设多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式列方程求出 n，再根据从一点引对角线的条数公式（n﹣3）解答．
【解答】解：设多边形的边数为 n， 由题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得 n＝7，
所以，从一点引对角线的条数＝7﹣3＝4． 故选：B．
【说明】本题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记公式是解题的关键．
如果a﹣b＝5，那么代数式（﹣2）•的值是（）
A．﹣B．C．﹣5D．5
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果， 把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝5，
∴原式＝•＝•＝a﹣b＝5， 故选：D．
【说明】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门的地面宽度为8m，两侧距离地面
4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6m，则校门的高（精确到
0.1m，水泥建筑物的厚度不计）为（）
A．8.1mB．9.1mC．10.1mD．12.1m
【解析】假设抛物线方程为：y＝ax2+bx+c，根据图形，我们建立坐标轴，那么抛物线过：
（﹣40）、（40）、（﹣34）、（34）这四个坐标，则利用这四个点坐标直接代到抛物线方程可以求 c，而这个 c 刚好就是我们要求的那个高了．
【解答】解：已知如图所示建立平面直角坐标系：
设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，又已知抛物线经过（﹣4，0），（4，0），（﹣3，4），（3，
4），
可得，
求出a＝﹣，b＝0，c＝， 故y＝﹣x2+，
当 x＝0 时，y≈9.1 米． 故选：B．
【说明】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
如图，已知校门的坐标为（1，1），那么下列对于实验楼位置的叙述正确的有
①实验楼的坐标是3；②实验楼的坐标是（3，3）；③实验楼的坐标为（4，4）；④实验楼在校门的东北方向上．（）
A．1 个B．2个C．3个D．4 个
【解析】根据图形明确所建的平面直角坐标系，然后判断各点的位置．
【解答】解：由校门的坐标为（1，1）可建立如图所示坐标系：
由坐标系知实验楼的坐标是（3，3）、实验楼在校门的东北方向上，所以正确的是②、④，
故选：B．
【说明】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
已知45°＜α＜90°，则sinαcsα．（填不等号）
【解析】根据锐角的正弦函数随着角度的增大而增大，余弦函数随着角度的增大而减小分别写出取值范围，然后判断出大小即可．
【解答】解：∵45°＜α＜90°，
∴＜sinα＜1，
0＜csα＜，
∴sinα＞csα． 故答案为：＞．
【说明】本题考查了锐角三角函数的增减性，要求掌握锐角三角函数值的变化规律．
若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
【解析】直接利用二次根式的性质得出答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x﹣2019≥0， 解得：x≥2019．
故答案为：x≥2019．
【说明】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
已知命题“对于非零实数a，关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是．
【解析】把 a＝﹣5 代入方程，根据一元二次方程根的判别式计算，判断即可．
【解答】解：当 a＝﹣5 时，方程为﹣5x2+4x﹣1＝0，
△＝42﹣4×（﹣5）×（﹣1）＝16﹣20＝﹣4＜0， 则一元二次方程 ax2+4x﹣1＝0无实数根，
故答案为：a＝﹣5．
【说明】本题考查的是命题和定理，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可．
如图，A，B，C，D 是⊙O上的四个点，＝，若∠AOB＝56°，则∠BDC＝度．
【解析】如图，连接 OC．根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 OC．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝56°，
∴∠BDC＝∠BOC＝28°， 故答案为 28．
【说明】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，AC，BD是四边形 ABCD的对角线，AD⊥BD，点 E为 AB的中点，连接 DE交
AC于点F，AF＝CF，DF＝DE．若BC＝12，则AB长为．
【解析】利用三角形中位线定理求出EF，再根据DF＝DE，求出DF，利用直角三角形斜边中线定理求出 AB即可；
【解答】解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝EB，
∴AB＝2DE，
∵AF＝FC，AE＝EB，
∴EF＝BC＝6，
∵DF＝DE，
∴DF＝EF＝3，
∴DE＝9，
∴AB＝2DE＝18， 故答案为 18．
【说明】本题考查直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，从 A地到 C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从 A地到 B地有
2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，则从A地到C地可供选择的方案有种．
【解析】从 A 间接到 C 的走法：从 A 到 B 有 4 种走法，从 B 到 C 有 3 种走法，那么共有 4×3 种走法，那么加上直接到达的那一条路线即可．
【解答】解：从 A 直接到 C 有 1 中，从 A 到 B 再到 C，有 4×3＝12 种，故从 A 地到 C
地可供选择的方案有 12+1＝13 种． 故答案为：13．
【说明】本题考事件的可能情况，关键是列齐所有的可能情况．
在如图所示的运算程序中，若输出的数y＝7，则输入的数x＝．
【解析】分 x 为偶数与奇数两种情况，利用计算程序即可得出 x 的值．
【解答】解：若 x 为偶数，根据题意得：x÷2＝7，即 x＝14； 若x为奇数，根据题意得：（x﹣1）÷2＝7，即x＝15，
则 x＝14 或 15． 故答案为：14 或 15
【说明】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）
称为点P的“倒影点”．若点A在x轴的下方，且点A的“倒影点”A′与点A是同一个点，则点A的坐标为．
【解析】根据不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的
“倒影点”，可得答案．
【解答】解：若点 A 在 x 轴的下方，且点 A 的“倒影点”A′与点 A 是同一个点， 则点A的坐标为（1，﹣1），（﹣1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1）．
【说明】本题考查了点的坐标，利用不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′
（ ， ）称为点 P 的“倒影点”是解题关键．
三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27、28
题，每小题 7 分)解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程。
下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图 1，直线 l和直线 l外一点 P．
求作：直线 l 的平行直线，使它经过点 P． 作法：如图 2．
过点 P作直线 m与直线 l交于点 O；
在直线m上取一点A（OA＜OP），以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点 B；
以点 P为圆心，OA长为半径画弧，交直线 m于点 C，以点 C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点 D；
作直线 PD．
所以直线 PD 就是所求作的平行线．
请回答：该作图的依据是．
【解析】利用作法得 OA＝OB＝PD＝PC，CD＝AB，原式可判断△OAB≌△PCD，则∠ AOB＝∠CPD，然后根据平行线的判定方法可判断 PD∥l．
【解答】解：如图 2，由作法得 OA＝OB＝PD＝PC，CD＝AB，则△OAB≌△PCD， 所以∠AOB＝∠CPD，
所以 PD∥l．
故答案为三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．
【说明】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
18．计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×
＝1+﹣1﹣
＝0．
【说明】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
解不等式组：
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x≤﹣1， 解不等式②得：x＞﹣7，
∴原不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．
【说明】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（n+3）x+3n＝0．
求证：此方程总有两个实数根；
若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的 n值，写出这个方程并求出此
时方程的根．
【解析】（1）计算判别式的值得到△＝（n﹣3）2，然后利用非负数的性质得到△≥0， 从而根据判别式的意义可得到结论；
（2）n 可取 0，方程化为 x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】（1）证明：∵△＝（n+3）2﹣12m＝（n﹣3）2，
∵（n﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个不相等的实根
∴n 可取 0，则方程化为 x2﹣3x＝0， 因式分解为 x（x﹣3）＝0
∴x1＝0，x2＝3．
【说明】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
如图，四边形 ABCD中，BD垂直平分 AC，垂足为点 F，E为四边形 ABCD外一点， 且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC
求证：四边形 ABDE是平行四边形；
如果 DA 平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求 AC的长．
【解析】（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到 BD＝AB＝5，根据勾股定理列方程求解．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）解：∵DA 平分∠BDE，
∴∠AED＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB＝5，
设 BF＝x，则 DF＝5﹣x，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝．
【说明】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．
如图，AB是⊙O直径，点 C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与 BC
相交于点 E，与⊙O 相切于点 F，连接 BF．
求证：BD＝BE；
若DE＝2，BD＝2，求AE 的长．
【解析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得∠ABD＝90°， 则∠BAD+∠D＝90°，然后利用等量代换证明∠BED＝∠D，从而判断 BD＝BE；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，则根据等腰三角形的性质DF＝EF＝DE＝1， 再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出 AD 的长，然后计算 AD﹣DE 即可．
【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°
而∠BED＝∠CEA，
∴∠CAE+∠BED＝90°，
∵BD 是⊙O 的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°
∴∠BAD+∠D＝90°， 又∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴∠BED＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）解：∵AB 为直径，
∴∠AFB＝90°，且 BE＝BD，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∵∠FDB＝∠BDA，
∴△DFB∽△DBA，
∴＝，
∴DA＝2×2＝20，
∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．
【说明】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0） 的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
求反比例函数和一次函数的表达式；
如果点 P是 x轴上的一点，且△ABP的面积是 3，求点 P的坐标；
若 P是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，直接写出点 P的坐标．
【解析】（1）将点A（3，1）代入y＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点 A（3，1）和 B（0，﹣2）代入 y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
首先求得 AB与 x轴的交点 C的坐标，然后根据 S△ABP＝S△ACP+S△BCP 即可列方程求得 P 的横坐标；
分两种情况进行讨论：①点 P在 x轴上；②点 P在 y轴上．根据 PA＝OA，利用等腰三角形的对称性求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴3＝，解得m＝3．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∴
，
解得：
，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），
∴一次函数的表达式为 y＝x﹣2；
如图，设一次函数 y＝x﹣2的图象与 x轴的交点为 C． 令 y＝0，则 x﹣2＝0，x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝3，
∴PC×1+PC×2＝3，
∴PC＝2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）；
若 P是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，则 P点的位置可分两种情况：
①如果点 P 在 x 轴上，那么 O与 P关于直线 x＝3 对称， 所以点P的坐标为（6，0）；
②如果点 P 在 y 轴上，那么 O与 P关于直线 y＝1 对称， 所以点P的坐标为（0，2）．
综上可知，点P的坐标为（6，0）或（0，2）．
【说明】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式， 三角形面积的计算以及等腰三角形的性质，正确求出函数的解析式是关键．
如图 1，正方形 ABCD中，AB＝4cm，点 G在边 CD上，点 E、F同时从点 G出发，点E沿 GA以 1cm/s的速度运动，点 F沿 G→C→B的路线以 2cm/s的速度运动，当点 F运动到点 B时，点 E、F同时停止运动．设运动时间为 xs，E、F两点运动路线与线段 EF
所围成图形的面积为S（cm2），图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤，≤x≤m时，函数的解析式不同）．
请直接写出CG＝cm；
求 S关于 x 的函数关系式，并写出 x的取值范围．
【解析】（1）利用图象信息，寻找特殊点解决问题即可；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）由图象可知，x＝时，图象变化趋势改变，则此时，点F到达C点
∴GC＝1
故答案为：1
（2）①当0＜x≤时，如图1 中，作EH⊥CD于H．
在Rt△ADG中，AG＝＝5，
∵GF＝2x，EG＝x，
∵EH∥AD，
∴＝＝，
∴EH＝x，HG＝x，
∴S＝•GF•EH＝x2．
②如图 2 中，当 ＜x≤2.5 时，
S＝S△GCE+S△CFE＝×1×x+（•2x﹣1）•（1+x）＝x2+x﹣．
【说明】本题考查动点问题函数图象，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有 300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：
①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取 10名学生，进行英语单词测试， 测试成绩（百分制）如下：
南校921008689739854959885
北校 10010094837486751007375
②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 90 分及以上为优秀，80～89 分分为良好，60～79 分为合格，60 分以下为不合格）
校区
平均数
中位数
众数
方差
南校
87
90.5
98
179.4
③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
成绩 x
人数部门
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
南校
1
0
1
3
5
北校
0
0
4
2
4
④得出结论．
结合上述统计全过程，回答下列问题：
补全③中的表格．
请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数．
你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依据已知条件即可补全③中的表格；
依据×300，即可得到北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；
依据每个校区的英语测试的成绩的平均数以及中位线的高低，即可得到哪个校区 的九年级学生英语单词掌握得比较好．
【解答】解：（1）由题可得，南校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的众数为98，北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩为：73、74、75、75、83、86、94、100、100、100，
∴北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩的中位数为：84.5；而众数为 100； 故答案为：98，84.5，100；
北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为：×300＝120（人）．
我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下：
①南校区的九年级学生在英语单词测试中，平均数较高，表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好；
②南校区的九年级学生在英语单词测试中，中位数较高，表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多．（答案不唯一）
【说明】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝x+4与 x轴、y轴分别交于点 A，B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过 A、B两点，D（m，m+4）为直线 AB上一动点，过点 D作 x轴的垂线，垂足为点 C，CD的延长线交抛物线于点 E，连接 BE．
北校
86
84.5
100
121.6
点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）．抛物线的解析式为y
＝；
若点 D 只在线段 AB上运动，且△DBE与△DAC 相似，求 m的值；
若以点 E、D、O、B 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出 D点的坐标．
【解析】（1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点 E的坐标，由于点 E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数；
设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点 E在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值，进而得出点 D 的坐标．
【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得：b＝﹣3，c＝4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4， 故答案为：﹣4；0；0；4；﹣x2﹣3x+4；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m），
∵△ACD 为等腰直角三角形，△DBE 和△DAC 相似，
∴△DBE 必为等腰直角三角形，
若∠BED＝90°，则 BE＝DE，
∵BE＝OC＝﹣m，
∴DE＝BE＝﹣m，
∴CE＝4+m﹣m＝4，
∴E（m，4），
∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，
∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得 m＝0（不合题意，舍去）或 m＝﹣3，
若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m， 在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，
∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，
∴E（m，4﹣m）．
∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，
∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得 m＝0（不合题意，舍去）或 m＝﹣2，
综上所述，存在点 D，使得△DBE 和△DAC 相似，m 的值为﹣2 或﹣3；
（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，AC＝4+m．
∵OA＝OB＝4，∴∠BAC＝45°，
∴△ACD 为等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝4+m，
∴CE＝CD+DE＝4+m+4＝8+m，
∴点E坐标为（m，8+m），
∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，
∴8+m＝﹣m2﹣3m+4，解得 m1＝m2＝﹣2．
∴D（﹣2，2）．
【说明】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形等重要知识点．第（2）问需要分类讨论，这是本题的难点．
如图，在矩形 ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点 E是 AB 边上一动点（不与点 A， B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．
求证：△ADE∽△CDF；
求∠DEF的度数；
设 BE的长为 x，△BEF的面积为 y．
①求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，y 有最大值；
②当 y 为最大值时，连接 BG，请判断此时四边形 BGDE 的形状，并说明理由．
【解析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
解直角三角形得到CD＝，根据矩形的性质得到AD＝BC＝1．AB＝CD＝，
根据相似三角形的性质得到＝，根据三角函数的定义即可得到结论；
①根据相似三角形的性质得到CF＝3﹣x，根据三角形的面积公式得到函数的解
析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；②根据当x为时，y有最大值，得到BE＝，CF＝1，BF＝2，根据相似三角形的性质得到CG＝，于是得到BE＝ DG，由于 BE∥DG，即可得到结论．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCF＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；
（2）∵BC＝1，∠DBC＝60°，
∴CD＝，
在矩形 ABCD 中，
∵AD＝BC＝1．AB＝CD＝，
∵△ADE∽△CDF，
∴＝，
∵tan∠DEF＝，
∴＝，
∴∠DEF＝60°；
（3）①∵BE＝x，
∴AE＝﹣x，
∵△ADE∽△CDF，
∴＝，
∴CF＝3﹣x，
∴BF＝BC+CF＝4﹣x，
∴y＝BE•BF＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x为时，y有最大值；
②y 为最大值时，此时四边形 BGDE 是菱形，
∵当x为时，y有最大值，
∴BE＝，CF＝1，BF＝2，
∵CG∥BE，
∴△CFG∽△BFE，
∴，
∴CG＝，
∴DG＝，
∴BG＝＝，
∴BE＝DG＝BG，∵BE∥DG，
∴四边形 BGDE 是菱形．
【说明】本题考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，二次函数的最大值， 平行四边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
在平面直角坐标系 xOy中的图形 M，N，给出如下定义：P为图形 M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“距离”，记作d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．
如图 1，⊙O的半径为 2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝．
②已知直线l：y＝﹣x+b与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，求b的值．
（2）已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．⊙M的圆心为M（m，0），半径为1．若d（⊙M，△ABC）＝1，请直接写出m的取值范围．
【解析】（1）①根据图形 M，N 间的“距离”的定义即可解决问题；
②设直线l交x 轴，y 轴于点P，Q，作OH⊥PQ于H，OH交⊙O于G．根据y＝﹣x+b
与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，构建方程即可解决问题；
如图 2中，设 AC交 x轴于 E．分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）①如图1中，连接OB交⊙O于点E，设⊙O交y轴于点F．
由题意：d（A，⊙O）＝AF＝2﹣1＝1，d（B，⊙O）＝BE＝OB﹣OE＝5﹣2＝3， 故答案为 1，3．
②如图 1 中，设直线 l 交 x 轴，y 轴于点 P，Q，作 OH⊥PQ 于 H，OH 交⊙O 于 G．
由题意：P（b，0），Q（0，b），
∴OP＝|b|，OQ＝|b|，PQ＝|b|，
∵S△POQ＝•OP•OQ＝•PQ•OH，
∴OH＝|b|，
∵直线l：y＝﹣x+b与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，
∴|b|﹣2＝，
∴b＝±5．
（2）如图 2 中，设 AC 交 x 轴于 E．
∵d（⊙M，△ABC）＝1，
∴当 m＝﹣4 时，⊙M1 满足条件， 当 m＝0 时，⊙M2 满足条件，
假设⊙M3 满足条件，作 M3H⊥AC， 由题意 HM3＝HE＝2，
∴EM2＝2，
∴M3（4﹣2，0），
∴m＝4﹣2．
观察图象可知：当0≤m≤4﹣2时，⊙M满足条件， 假设⊙M4满足条件，作 M4G⊥AC于 G，
由题意；GM4＝GE＝2，
∴EM4＝2，
∴M4（4+2，0），
∴m＝4+2，
综上所述，满足条件的m的值为4或0≤m≤4﹣2或4+2． 故答案为4或0≤m≤4﹣2或4+2．
【说明】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 图形 M，N 间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．