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2019年北京燕山区中考数学一模试卷（含答案解析）
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这是一份2019年北京燕山区中考数学一模试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2019年北京市燕山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（ ）
A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．晴 B．浮尘 C．大雨 D．大雪
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）[来#源:~%中教^网*]
A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．
4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）[来源@&:zz#st~ep.*com]
A．40° B．50° C．60° D．140°[来~源*:中国教育&出^版@网]
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（ ）[来源~:zzst%ep.c&*#om]
用水量x（吨）
3
4
5
6
7
频数
1
2
5
4﹣x
x
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．众数、方差
8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A.B两城相距300千米；
②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；
③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；
④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式的值是0，那么x的值是_________
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标_________．[来源~@#:*zzste&p.com]
11．当a＝3时，代数式的值是
12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．
14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个．[中^国教#育&*%出版网]
16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．[来^%&源@:中#教网]
已知：．
求作：所在圆的圆心O．
曈曈的作法如下：如图2，
（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；[来源:^zzst~ep.%com&@]
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是
三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|[来~源:中国^%&教#育出版网]
18．解不等式组：
19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝______，S5＝_______，S6＝_______+_________，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝_________.
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为1时，求k的值．
22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
步行数（步）
10672
4927
5543
6648
步行距离（公里）
6.8
3.1
3.4
4.3
卡路里消耗（千卡）
157
79
91
127
燃烧脂肪（克）
20
10
12
16
[w^ww.z&zste@%p.com*]
（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．
（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：____________．（写一条即可）
（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为_______公里．（直接写出结果，精确到个位）
23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；[来%源:@~z&z#step.com]
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；[中~@国%教育&^出版网]
（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．[来~@^#&源:中教网]
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
…
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：[ww~w.zz#st^ep&.@com]
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；[中#国~教育@*出%版网]
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝_________．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________．[中国教育&出*^@版网%]
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是__________．
（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝________，对应的碟宽AB是_____．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°
①如图1，∠DCB＝ °[w@w*w.z^z&step.c~om]
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（ ）
A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106[来*源:中&国^教育出~版网@]
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．[来源~:zzst%ep.c&*#om]
【解答】解：将280000用科学记数法表示为2.8×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．[来@源:zzstep&.com#%^]
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 晴 B． 浮尘 C． 大雨 D． 大雪
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；[来源@#:中^国教育出&版网~]
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．[来源:中#国教@*%育出版网^]
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．
【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：a＝﹣2，2＜b＜3．[来*源%:#zzstep&.c^om]
A.a+b＞0，故A不符合题意；
B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；
C.b＜3＜π，故C不符合题意；
D.＜0，故D符合题意；[来源:中&%国*教育#出版网@]
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．
4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是圆的几何体是球．
故选：B．
【点评】此题主要考查了立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A＝，
∴tan∠ACD的值．[来源:*#z~zste@p.c^om]
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．
7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（ ）
用水量x（吨）
3
4
5
6
7
频数
1
2
5
4﹣x
x
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．众数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第6.7个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：∵6吨和7吨的频数之和为4﹣x+x＝4，
∴频数之和为1+2+5+4＝12，
则这组数据的中位数为第6.7个数据的平均数，即＝5，
∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，
故选：B．[来源:*中%^~教网#]
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A.B两城相距300千米；
②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；[来@&源^:中教网~#]
③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；
④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A.B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，[ww#w.zzs%t&ep.^@com]
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，
解得：，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙，可得：60t＝100t﹣100，
解得：t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，[来源:%z~z&step.*c@om]
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，[来%#&源*:@中教网]
又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，[来@源:中教^#%网~]
当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，[ww@w.zzs%t&ep.^#com]
∴④不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．[来#%源:中*国教育出^版网~]
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式的值是0，那么x的值是 0
【分析】根据分式为0的条件得到方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，x＝0，[来源&%:zz^step#.c@om]
故答案是：0．
【点评】本题若分式的值为零的条件，分式为0需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．[www.*@^z~zstep.c#om]
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标 （2，2） ．
【分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．
【解答】解：如图，连结OA，[来源:中~@国教育^出#*版网]
OA＝＝5，
∵B为⊙O内一点，
∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．
故答案为：（2，2）．
【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．
11．当a＝3时，代数式的值是 2
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝3时，原式＝＝2，[来%^~&源:中#教网]
故答案为：2．[来源:中国%教育出版@#~*网]
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 y＝x2+2x（答案不唯一） （写一个即可）
【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【解答】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是 ．
【分析】首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，
∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为 ．
【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【解答】解：根据图示可得，
故答案是：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 5 个．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．[中^国教*~育&%出版网]
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝3，[中国~教@育&#出^版网]
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5张．
故答案为：5
【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答．
16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．
已知：．
求作：所在圆的圆心O．
曈曈的作法如下：如图2，[来源:~中教&%*网^]
（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．[来#源:中^%教&网@]
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是 ①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【分析】（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC＝OM＝OD，
所以点O是所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）[www.zz~*ste&^p.@com]
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．[中#国~教育@*出%版网]
17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|
【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝
＝2﹣2+1+﹣1
＝．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．
18．解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＜5，[来源:z^@zstep&.co*%m]
解不等式②，得x≥﹣3，
∴不等式组的解是﹣3≤x＜5．[来源%:^@中*教网&]
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
[来源:%@中~^教*网]
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝ S2 ，S5＝ ，S6＝ S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．
【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；
【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，
S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．[中国&教*^育%#出版网]
故答案为：S2，S3，S4，S5，2．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．
【分析】根据CE∥DF，可得∠ECA＝∠FDB，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵CE∥DF[来源%:中~教网#@^]
∴∠ECA＝∠FDB，
在△ECA和△FDB中，
∴△ECA≌△FDB，
∴AE＝FB．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为1时，求k的值．
【分析】（1）套入数据求出△＝b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△＝1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．[中国~教^&育出*@版网]
【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac，
＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，
＝1＞0．
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣k＝0，
解得：k1＝0，k2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出△＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．[w@ww.zz*step.com#^~]
22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
步行数（步）
10672
4927
5543
6648
7689
15638
步行距离（公里）
6.8
3.1
3.4
4.3
5.0
10.0
卡路里消耗（千卡）
157
79
91
127
142
234
燃烧脂肪（克）
20
10
12
16
18
30
（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．
（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： 步行距离越大，燃烧脂肪越多 ．（写一条即可）
（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为 10 公里．（直接写出结果，精确到个位）
【分析】（1）依据手机图片的中的数据，即可补全表格；
（2）依据步行距离与燃烧脂肪情况，即可得出步行距离越大，燃烧脂肪越多；
（3）步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，即可预估她一天步行距离．[中国*教育^#出&版网%]
【解答】解：（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；
4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；
（2）由图可得，步行距离越大，燃烧脂肪越多；
故答案为：步行距离越大，燃烧脂肪越多；
（3）由图可得，步行时每公里约消耗卡路里25千卡，故豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10公里．
故答案为：10．[www~.#zzst&*e%p.com]
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．[来源:中&%国教育#出版*~网]
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；
（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．[ww&~w.@zzstep.#c^om]
【分析】（1）把（0，2）代入得出k的值，进而得出A点坐标；
（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，进而得出x的值，求出M点坐标得出反比例函数的解析式；
（3）可得CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，进而得出t的取值范围．[来%源:z^zs&@t*ep.com]
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+k 经过点B（0，2），
∴k＝2[中%国教育出&*版网#~]
∴y＝2x+2
∴A（﹣1，0）；
（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，
得，x＝1，
∴M（1，4）代入得，n＝4
∴；
（3）当t＝2时，B（0，2）即C（0，2），而D（2，2）
如图，CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，
∴t 的取值范围是：0＜t≤2．[中国教^育@出~版&网%]
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；[来源#*:中~教&%网]
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．
（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝
【解答】解：（1）连结OM．
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3[来源@:中国~#*教育&出版网]
∴OM∥BC
∵AE是BC边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM是⊙O的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝＝
∴AC＝EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴[来~源*:中国教育&出^版@网]
又∵∠ABC＝∠C[中国&教育%*出版#网@]
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM中
cos∠AOM＝cosC＝，[来源:zzst%&ep#*.c~om]
∴
∴AO＝
AB＝+OB＝
而AB＝AC＝
∴＝
∴OM＝
∴⊙O的半径是[来@#源:%中国教育&出版~网]
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．
26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
…
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是 ；[来源:zzs@t#e%*^p.com]
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝ ．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 当0＜x＜1时，y随x的增大而减小 ．
【分析】（1）根据表中x，y的对应值即可得到结论；[来%源~:中教*^网&]
（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；
（2）①在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；
②利用函数图象的图象求解．
【解答】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；
故答案为：
（2）该函数的图象如图所示；
[来%源:中教网#*~^]
（3）当x＝2时所对应的点 如图所示，
且m＝；
故答案为：；
（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．[中国教&育#出^*版~网]
故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 MN⊥AB，MN＝AB ．
（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ 2 ，对应的碟宽AB是 4 ．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；
（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；
②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．
【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，
如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，[来源:*中~国教育出版网@^%]
∴MN⊥AB，MN＝AB，
故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；[www.@z&zstep.c^#%om]
（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），
∴m＝m2，
解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），
当m＝2则，2＝x2，
解得：x＝±2，
则AB＝2+2＝4；
故答案为：2，4；
（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），
得，9a﹣4a﹣＝0，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；[来#源:中%&教网*^]
②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，[中国#*教育&出版~@网]
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．
[www.zz&^s#tep.c*om~]
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．[中&国^教育出#版~网@]
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°
①如图1，∠DCB＝ 60 °[来源:中国@&教育出^#版网~]
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；[w~^%ww#.zz*step.com]
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；[来~源^:中国%教育&出*版网]
②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，
（2）如图2，求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．
【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，[来@~^源%:中*教网]
∴∠DCB＝60°．
故答案为60
②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：[来#源:中教网~@%^]
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，
∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，
∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，
∵∠PDF＝2α，
∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP＝DF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
CP＝BF．
（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．
理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，
∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，
∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，[w@w&w.zz*step.com#~]
∵∠PDF＝2α，
∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP＝DF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
而 CP＝BC+BP，
∴BF﹣BP＝BC，
在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，
∴tan∠DCE＝，
∴CE＝DEtanα，
∴BC＝2CE＝2DEtanα，
即BF﹣BP＝2DEtanα．
【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
2019年北京市燕山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（ ）
A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．晴 B．浮尘 C．大雨 D．大雪
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）[来#源:~%中教^网*]
A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．
4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）[来源@&:zz#st~ep.*com]
A．40° B．50° C．60° D．140°[来~源*:中国教育&出^版@网]
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（ ）[来源~:zzst%ep.c&*#om]
用水量x（吨）
3
4
5
6
7
频数
1
2
5
4﹣x
x
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．众数、方差
8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A.B两城相距300千米；
②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；
③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；
④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式的值是0，那么x的值是_________
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标_________．[来源~@#:*zzste&p.com]
11．当a＝3时，代数式的值是
12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．
14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个．[中^国教#育&*%出版网]
16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．[来^%&源@:中#教网]
已知：．
求作：所在圆的圆心O．
曈曈的作法如下：如图2，
（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；[来源:^zzst~ep.%com&@]
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是
三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|[来~源:中国^%&教#育出版网]
18．解不等式组：
19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝______，S5＝_______，S6＝_______+_________，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝_________.
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为1时，求k的值．
22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
步行数（步）
10672
4927
5543
6648
步行距离（公里）
6.8
3.1
3.4
4.3
卡路里消耗（千卡）
157
79
91
127
燃烧脂肪（克）
20
10
12
16
[w^ww.z&zste@%p.com*]
（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．
（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：____________．（写一条即可）
（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为_______公里．（直接写出结果，精确到个位）
23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；[来%源:@~z&z#step.com]
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；[中~@国%教育&^出版网]
（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．[来~@^#&源:中教网]
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
…
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：[ww~w.zz#st^ep&.@com]
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；[中#国~教育@*出%版网]
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝_________．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________．[中国教育&出*^@版网%]
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是__________．
（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝________，对应的碟宽AB是_____．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°
①如图1，∠DCB＝ °[w@w*w.z^z&step.c~om]
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（ ）
A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106[来*源:中&国^教育出~版网@]
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．[来源~:zzst%ep.c&*#om]
【解答】解：将280000用科学记数法表示为2.8×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．[来@源:zzstep&.com#%^]
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 晴 B． 浮尘 C． 大雨 D． 大雪
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；[来源@#:中^国教育出&版网~]
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．[来源:中#国教@*%育出版网^]
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．
【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：a＝﹣2，2＜b＜3．[来*源%:#zzstep&.c^om]
A.a+b＞0，故A不符合题意；
B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；
C.b＜3＜π，故C不符合题意；
D.＜0，故D符合题意；[来源:中&%国*教育#出版网@]
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．
4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是圆的几何体是球．
故选：B．
【点评】此题主要考查了立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A＝，
∴tan∠ACD的值．[来源:*#z~zste@p.c^om]
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．
7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（ ）
用水量x（吨）
3
4
5
6
7
频数
1
2
5
4﹣x
x
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．众数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第6.7个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：∵6吨和7吨的频数之和为4﹣x+x＝4，
∴频数之和为1+2+5+4＝12，
则这组数据的中位数为第6.7个数据的平均数，即＝5，
∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，
故选：B．[来源:*中%^~教网#]
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A.B两城相距300千米；
②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；[来@&源^:中教网~#]
③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；
④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A.B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，[ww#w.zzs%t&ep.^@com]
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，
解得：，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙，可得：60t＝100t﹣100，
解得：t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，[来源:%z~z&step.*c@om]
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，[来%#&源*:@中教网]
又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，[来@源:中教^#%网~]
当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，[ww@w.zzs%t&ep.^#com]
∴④不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．[来#%源:中*国教育出^版网~]
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式的值是0，那么x的值是 0
【分析】根据分式为0的条件得到方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，x＝0，[来源&%:zz^step#.c@om]
故答案是：0．
【点评】本题若分式的值为零的条件，分式为0需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．[www.*@^z~zstep.c#om]
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标 （2，2） ．
【分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．
【解答】解：如图，连结OA，[来源:中~@国教育^出#*版网]
OA＝＝5，
∵B为⊙O内一点，
∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．
故答案为：（2，2）．
【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．
11．当a＝3时，代数式的值是 2
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝3时，原式＝＝2，[来%^~&源:中#教网]
故答案为：2．[来源:中国%教育出版@#~*网]
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 y＝x2+2x（答案不唯一） （写一个即可）
【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【解答】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是 ．
【分析】首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，
∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为 ．
【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【解答】解：根据图示可得，
故答案是：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 5 个．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．[中^国教*~育&%出版网]
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝3，[中国~教@育&#出^版网]
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5张．
故答案为：5
【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答．
16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．
已知：．
求作：所在圆的圆心O．
曈曈的作法如下：如图2，[来源:~中教&%*网^]
（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．[来#源:中^%教&网@]
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是 ①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【分析】（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC＝OM＝OD，
所以点O是所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）[www.zz~*ste&^p.@com]
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．[中#国~教育@*出%版网]
17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|
【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝
＝2﹣2+1+﹣1
＝．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．
18．解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①，得x＜5，[来源:z^@zstep&.co*%m]
解不等式②，得x≥﹣3，
∴不等式组的解是﹣3≤x＜5．[来源%:^@中*教网&]
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
[来源:%@中~^教*网]
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝ S2 ，S5＝ ，S6＝ S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．
【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；
【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，
S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．[中国&教*^育%#出版网]
故答案为：S2，S3，S4，S5，2．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．
【分析】根据CE∥DF，可得∠ECA＝∠FDB，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵CE∥DF[来源%:中~教网#@^]
∴∠ECA＝∠FDB，
在△ECA和△FDB中，
∴△ECA≌△FDB，
∴AE＝FB．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为1时，求k的值．
【分析】（1）套入数据求出△＝b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△＝1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．[中国~教^&育出*@版网]
【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac，
＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，
＝1＞0．
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣k＝0，
解得：k1＝0，k2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出△＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．[w@ww.zz*step.com#^~]
22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
步行数（步）
10672
4927
5543
6648
7689
15638
步行距离（公里）
6.8
3.1
3.4
4.3
5.0
10.0
卡路里消耗（千卡）
157
79
91
127
142
234
燃烧脂肪（克）
20
10
12
16
18
30
（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．
（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： 步行距离越大，燃烧脂肪越多 ．（写一条即可）
（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为 10 公里．（直接写出结果，精确到个位）
【分析】（1）依据手机图片的中的数据，即可补全表格；
（2）依据步行距离与燃烧脂肪情况，即可得出步行距离越大，燃烧脂肪越多；
（3）步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，即可预估她一天步行距离．[中国*教育^#出&版网%]
【解答】解：（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；
4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；
（2）由图可得，步行距离越大，燃烧脂肪越多；
故答案为：步行距离越大，燃烧脂肪越多；
（3）由图可得，步行时每公里约消耗卡路里25千卡，故豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10公里．
故答案为：10．[www~.#zzst&*e%p.com]
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．[来源:中&%国教育#出版*~网]
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；
（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．[ww&~w.@zzstep.#c^om]
【分析】（1）把（0，2）代入得出k的值，进而得出A点坐标；
（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，进而得出x的值，求出M点坐标得出反比例函数的解析式；
（3）可得CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，进而得出t的取值范围．[来%源:z^zs&@t*ep.com]
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+k 经过点B（0，2），
∴k＝2[中%国教育出&*版网#~]
∴y＝2x+2
∴A（﹣1，0）；
（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，
得，x＝1，
∴M（1，4）代入得，n＝4
∴；
（3）当t＝2时，B（0，2）即C（0，2），而D（2，2）
如图，CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，
∴t 的取值范围是：0＜t≤2．[中国教^育@出~版&网%]
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；[来源#*:中~教&%网]
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．
（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝
【解答】解：（1）连结OM．
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3[来源@:中国~#*教育&出版网]
∴OM∥BC
∵AE是BC边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM是⊙O的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝＝
∴AC＝EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴[来~源*:中国教育&出^版@网]
又∵∠ABC＝∠C[中国&教育%*出版#网@]
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM中
cos∠AOM＝cosC＝，[来源:zzst%&ep#*.c~om]
∴
∴AO＝
AB＝+OB＝
而AB＝AC＝
∴＝
∴OM＝
∴⊙O的半径是[来@#源:%中国教育&出版~网]
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．
26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
…
小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是 ；[来源:zzs@t#e%*^p.com]
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝ ．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 当0＜x＜1时，y随x的增大而减小 ．
【分析】（1）根据表中x，y的对应值即可得到结论；[来%源~:中教*^网&]
（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；
（2）①在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；
②利用函数图象的图象求解．
【解答】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；
故答案为：
（2）该函数的图象如图所示；
[来%源:中教网#*~^]
（3）当x＝2时所对应的点 如图所示，
且m＝；
故答案为：；
（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．[中国教&育#出^*版~网]
故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 MN⊥AB，MN＝AB ．
（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ 2 ，对应的碟宽AB是 4 ．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；
（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；
②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．
【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，
如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，[来源:*中~国教育出版网@^%]
∴MN⊥AB，MN＝AB，
故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；[www.@z&zstep.c^#%om]
（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），
∴m＝m2，
解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），
当m＝2则，2＝x2，
解得：x＝±2，
则AB＝2+2＝4；
故答案为：2，4；
（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），
得，9a﹣4a﹣＝0，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；[来#源:中%&教网*^]
②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，[中国#*教育&出版~@网]
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．
[www.zz&^s#tep.c*om~]
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．[中&国^教育出#版~网@]
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°
①如图1，∠DCB＝ 60 °[来源:中国@&教育出^#版网~]
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；[w~^%ww#.zz*step.com]
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；[来~源^:中国%教育&出*版网]
②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，
（2）如图2，求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．
【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，[来@~^源%:中*教网]
∴∠DCB＝60°．
故答案为60
②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：[来#源:中教网~@%^]
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，
∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，
∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，
∵∠PDF＝2α，
∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP＝DF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
CP＝BF．
（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．
理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，
∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，
∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，[w@w&w.zz*step.com#~]
∵∠PDF＝2α，
∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP＝DF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
而 CP＝BC+BP，
∴BF﹣BP＝BC，
在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，
∴tan∠DCE＝，
∴CE＝DEtanα，
∴BC＝2CE＝2DEtanα，
即BF﹣BP＝2DEtanα．
【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
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