2020安徽省淮南市初三一模数学试卷及答案

安徽省淮南市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

1．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（　　）

A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2

2．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（　　）

A．5.5×106千米 B．5.5×107千米 C．55×106千米 D．0.55×108千米

3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°

5．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

6．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（　　）

A．26° B．64° C．52° D．128°

7．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（　　）

A．﹣1≤b≤1 B．﹣≤b≤1 C．﹣≤b≤ D．﹣1≤b≤

8．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分）

9．不等式组的解集是　　．

10．分解因式：x3﹣2x2+x=　　．

11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费　　元．

12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于　　．

13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=　　．

14．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为　　．

15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：

①四边形AEGF是菱形

②△AED≌△GED

③∠DFG=112.5°

④BC+FG=1.5

其中正确的结论是　　．

三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分）

16．计算：|﹣3|+tan30°﹣﹣10．

17．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，选一个你喜欢的数代入求值．

18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有　　名．

（2）把条形统计图补充完整．

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

20．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标；

（3）直接写出不等式；kx+b≤的解集．

21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB．

22．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；

（2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

参考答案与试题解析

　一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

1．【考点】多项式乘多项式．

【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．

【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，

∴m=1，n=﹣2．

∴m+n=1﹣2=﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．

2．【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：5500万=5.5×107．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，第三层左边有一个正方形．

故选A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

4．【考点】旋转的性质．

【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，

∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，

∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．

故选A．

【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质．

5．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，

∴，

解得：k≤5且k≠1．

故选C．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

　6【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线及角平分线的性质解答．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFG=180°，

∴∠BEF=180°﹣52°=128°；

∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG=64°；

∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）．

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；角平分线分得相等的两角．

7．【考点】一次函数的性质．

【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．

【解答】解：将A（1，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=；

将B（3，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=﹣；

将C（2，2）代入直线中，可得1+b=2，解得b=1．

故b的取值范围是﹣≤b≤1．

故选B．

【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

8．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．

【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．

【解答】解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10），

②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），

③若∠C为直角

则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣的交点上．

过点E作x轴的垂线与直线的交点为F（﹣3，），则EF=

∵直线y=﹣与x轴的交点M为（，0），

∴EM=，FM==

∵E到直线y=﹣的距离d==5

∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣恰好有一个交点．

所以直线y=﹣上有一点C满足∠C=90°．

综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，

故选：C．

【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分）

9．不等式组的解集是　x＜1　．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得x＜，

解②得x＜1，

则不等式组的解集是x＜1．

故答案是：x＜1．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

10．分解因式：x3﹣2x2+x=　x（x﹣1）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．

故答案为：x（x﹣1）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．

11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费　4m+3n　元．

【考点】列代数式．

【分析】先求出买m本笔记本的钱数和买n支圆珠笔的钱数，再把两者相加即可．

【解答】解：每本笔记本4元，妈妈买了m本笔记本花费4m元，每支圆珠笔3元，n支圆珠笔花费3n，共花费（4m+3n）元．

故答案为：4m+3n．

【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．

12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于　130°　．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．

【解答】解：∵∠A=115°

∴∠C=180°﹣∠A=65°

∴∠BOD=2∠C=130°．

故答案为：130°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=　4　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴， =（）2，

∵E是边AD的中点，

∴DE=AD=BC，

∴=，

∴△DEF的面积=S△DEC=1，

∴=，

∴S△BCF=4；

故答案为：4．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．

14．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为　2　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC=，根据矩形的面积列方程即可得到结论．

【解答】解：过D作DE⊥OA于E，

设D（m，），

∴OE=m．DE=，

∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，

∴OA=2m，OC=，

∵矩形OABC的面积为8，

∴OA•OC=2m•=8，

∴k=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．

15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：

①四边形AEGF是菱形

②△AED≌△GED

③∠DFG=112.5°

④BC+FG=1.5

其中正确的结论是　①②③　．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的性质．

【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在RT△ADE和RT△GDE中，

，

∴AED≌△GED，故②正确，

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四边形AEGF是菱形，故①正确，

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．

∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，

∴BE＞AE，

∴AE＜，

∴CB+FG＜1.5，故④错误．

故答案为①②③．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分）

16．计算：|﹣3|+tan30°﹣﹣10．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】将tan30°=、10=1代入原式，再根据实数的运算即可求出结论．

【解答】解：|﹣3|+tan30°﹣﹣10，

=3+×﹣2﹣1，

=3+1﹣2﹣1，

=3﹣2．

【点评】本题考查了实数的运算、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算的运算顺序是解题的关键．

17．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，选一个你喜欢的数代入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．

【解答】解：原式=[﹣（x+1）]•

=[﹣（x+1）]•

=•

=1﹣（x﹣1）

=2﹣x．

当x=0时，原式=2．

【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键．

18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．

【专题】证明题．

【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD．

【解答】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF是矩形，

∴EF=AD．

【点评】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有　1000　名．

（2）把条形统计图补充完整．

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；

（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；

（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．

【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；

故答案为：1000；

（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，

补图如下；

（3）18000×=3600（人）．

答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标；

（3）直接写出不等式；kx+b≤的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．

（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．

（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．

【解答】解：（1）∵OB=2OA=3OD=6，

∴OB=6，OA=3，OD=2，

∵CD⊥OA，

∴DC∥OB，

∴=，

∴=，

∴CD=10，

∴点C坐标（﹣2，10），B（0，6），A（3，0），

∴解得，

∴一次函数为y=﹣2x+6．

∵反比例函数y=经过点C（﹣2，10），

∴n=﹣20，

∴反比例函数解析式为y=﹣．

（2）由解得或，

故另一个交点坐标为（5，﹣4）．

（3）由图象可知kx+b≤的解集：﹣2≤x＜0或x≥5．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．

21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；

（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（4﹣r）2=（）2，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=（AB+1）2，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．

【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，

∵点D为CE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BC，

∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，

∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切线；

（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF=，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4﹣r）2=（）2，

解得r1=3，r2=1（舍去）；

∴半径r=3，

∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=（AB+1）2，

∴AB=4，OB=5，

∴sinB==．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义．

22．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；

（2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）当点Q在线段AD上时，如图1，根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形，则QR=AP=t；

（2）如图2，当点Q在线段AD上运动时，点R的运动的路程长为AR，当点Q在线段CD上运动时，点R的运动的路程长为CR，分别求长并相加即可；

（3）分两种情况：

①当0＜t≤时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，

②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，

分别计算即可；

（4）分两种情况：

①当∠BRQ=90°时，如图6，根据BQ=2RQ列式可得：t=；

②当∠BQR=90°时，如图7，根据BR=2RQ列式可得：t=．

【解答】解：（1）由题意得：AP=t，

当点Q在线段AD上时，如图1，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∵PQ∥BC，

∴∠PQA=∠B=60°，

∴△PAQ是等边三角形，

∴PA=AQ=PQ，

∵△PQR是等边三角形，

∴PQ=PR=RQ，

∴AP=PR=RQ=AQ，

∴四边形APRQ是菱形，

∴QR=AP=t；

（2）当点Q在线段AD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为AR，

由（1）得：四边形APRQ是菱形，

∴AR⊥PQ，

∵PQ∥BC，

∴AR⊥BC，

∴RC=BC=×4=2，

由勾股定理得：AR===2；

当点Q在线段CD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为CR，

∴AR+CR=2+2，

答：点R运动的路程长为（2+2）cm；

（3）当R在CD上时，如图3，

∵PR∥AD，

∴△CPR∽△CAD，

∴，

∴，

4t=8﹣2t，

t=，

①当0＜t≤时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，如图4，

过P作PE⊥AB于E，

∴PE=AP•sin60°=t，

∴S=AQ•PE=t2，

②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，如图5，

在Rt△PCF中，sin∠PCF=，

∴PF=PC•sin30°=（4﹣t）=2﹣t，

∴FR=t﹣（2﹣t）=t﹣2，

∴tan60°=，

∴FM=×（t﹣2），

∴S=S菱形APRQ﹣S△FMR=t2﹣FR•FM=﹣（t﹣2）××（t﹣2），

∴S=﹣+3﹣2；

综上所述，当点Q在线段AD上时，S与t之间的函数关系式为：

S=；

（4）①当∠BRQ=90°时，如图6，

∵四边形APRQ是菱形，

∴AP=AQ=RQ=t，

∴BQ=4﹣t，

∵∠AQP=∠PQR=60°，

∴∠RQB=180°﹣60°60°=60°，

∴∠RBQ=30°，

∴BQ=2RQ，

4﹣t=2t，

3t=4，

t=；

②当∠BQR=90°时，如图7，

同理得四边形CPQR是菱形，

∴PC=RQ=RC=4﹣t，

∴BR=t，

∵∠CRP=∠PRQ=60°，

∴∠QRB=60°，

∴∠QBR=30°，

∴BR=2RQ，

∴t=2（4﹣t），

t=，

综上所述，以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值是或．

【点评】本题是四边形和三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识，熟练掌握菱形和等边三角形的性质与判定是关键，利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题．