专题16 一元二次方程的应用（含百分号）-备战2022年中考数学必刷题

十六、一元二次方程的应用（含百分号）

知识点拨

解一元二次方程

解一元二次方程有四种基本方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。

一、直接开平方法

一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式.符合这一特征的方程都可以用直接开平方法.

直接开平方法的一般步骤为:

⑴将方程化为或形式;

⑵两边平方,得或

二、配方法(将次解一元二次方程)

配方法是通过配方将方程化为一边含有未知数的完全平方式,另一边是非负数,来解一元二次方程的方法.

配方法的一般步骤为:

⑴将含有未知数的代数式放在一边,常数项放在另一边;

⑵将二次项系数化为;

⑶两边都加上一次项系数一半的平方;

⑷左边配成含有未知数的完全平方式,右边是非负数的形式;

⑸用直接开平方法求解.

三、公式法

一元二次方程的根是由方程的系数a,b,c确定,当时,方程的根为,利用这个求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

用公式法解一元二次方程的一般步骤:

⑴把一元二次方程化为一般形式;

⑵确定a,b,c的值;

⑶求出的值;

⑷判断的符号,当时,则把a,b,c及的值代入求根公式,求出.当时,原方程没有实数根.

四、因式分解法

将一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次的解法叫因式分解法.它一般适用于系数较简单而判别式又是完全平方的方程.

因式分解法的一般步骤为:

⑴将方程右边化为零;

⑵将方程左边分解成两个一次因式的乘积;

⑶令每个因式分别为零,得两个一元一次方程;

⑷解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

       例题演练

1．柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元个，两种柚子的总进价不超过12400元．

（1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？

（2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价a%，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降a%，售价上涨2a%．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求a的值．

2．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．

（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？

（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．

3．九月石榴全面上市，其中新品种突尼斯软籽石榴因其个大多汁，其籽可直接吞食而深受大家喜爱，但突尼斯软籽石榴一直因技术问题产量不多，今年终于突破研究大量上市，某超市准备大量进货，已知去年同期普通石榴进价3元/斤，突尼斯软籽石榴进价10元/斤，去年九月共进货900斤．

（1）若去年九月两种石榴进货总价不超过6200元，则突尼斯软籽石榴最多能购进多少斤？

（2）若超市今年九月上半月共购进1000斤的石榴，其中普通石榴进价与去年相同，突尼斯软籽石榴进价降4元，结果普通石榴按8元/斤，突尼斯软籽石榴16元/斤的价格卖出后共获利8000元，下半月因临近中秋和国庆双节，两种石榴进价在上半月基础上保持不变，售价一路上涨，超市调整计划，普通石榴进货量与上半月持平，售价下降a%吸引顾客；突尼斯软籽石榴进货量上涨a%，售价上涨2a%，最后截至九月底，下半月获利比上半月的2倍少400元，求a的值．

4．某餐馆在冬季推出了羊肉、牛肉两种套餐，其中羊肉套餐定价为60元一份，牛肉套餐定价为50元一份．

（1）若该餐馆限量每天售出羊肉和牛肉套餐共300份，销售总额不低于17000元，则至少销售羊肉套餐多少份？

（2）元旦节，商家回馈新老顾客，共庆“元旦”，促销羊肉和牛肉两种套餐，羊肉套餐的售价比定价降低了元，实际销量在（1）问的最低销量的基础上增加了a%；牛肉套餐以定价的8折销售，销量比羊肉套餐的实际销量少a%，元旦节假期第一天的羊肉、牛肉销售总额比（1）问中的两个套餐的最低销售总额增加了2250元，求a的值．

5．温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．

（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？

（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．

6．石马河某生鲜店中销售“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”，其中“荣昌土猪肉”标价每千克40元，“城口山地鸡”标价每千克60元

（1）该生鲜店售出“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡“两种肉品共600千克，若销售总额不低于30000元，则至少销售“城口山地鸡”多少千克？

（2）2019年7月，该生鲜店按标价售出“荣昌土猪肉”300千克．“城口山地鸡”400千克．2019年8月，生鲜店根据市场情况，适当调整“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”的售价，“荣昌土猪肉”的售价比7月的标价增加了a%，销量与7月份保持不变，“城口山地鸡”的售价比7月的标价减少了a%，销量比7月份增加了a%，结果8月份“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡”的销售总额比7月份增加了a%，求a的值．

7．“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价是12元．

（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？

（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a%（a%＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a个，“元祖”月饼的售价降低a元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了a%，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a的值．

8．柠檬上市后，其中柠檬的新品种和新奇士因技术问题产量不多，今年终于突破研究大量上市，某超市准备大量进货，已知去年同期普通柠檬进价3元/斤，新奇士进价10元/斤，去年九月共进货900斤．

（1）若去年九月两种柠檬进货总价不超过6200元，则新奇士最多能购进多少斤？

（2）若超市今年九月上半月共购进1000斤的柠檬，其中普通柠檬进价与去年相同，新奇士进价降4元，结果普通柠檬按8元/斤，新奇士16元/斤的价格卖出后共获利8000元，下半月因临近中秋和国庆双节，两种柠檬进价在上半月基础上保持不变，售价一路上涨，超市调整计划，普通柠檬进货量与上半月持平，售价下降a%吸引顾客；新奇士进货量上涨%，售价上涨2a%，最后截至九月底，下半月获利比上半月的2倍少400元，求a的值．

9．2019年10月1日，在庄严的天安门广场举行了盛大的阅兵式，这是我们伟大的祖国迎来了70华诞的光辉日子，通过阅兵大会，我们看到了中国的强大，也点燃了中国人民的爱国热情．某经销商抓住商机销售国庆小国旗和纪念品，第一次果断购进小国旗和纪念品共500个，其中小国旗每个进价5元，售价10元；纪念品每个进价8元，售价10元．

（1）该经销商由于启动资金有限，第一次购进小国旗和纪念品的金额不得超过3400元，则小国旗至少购进多少个？

（2）国庆黄金周期间市场火爆，小国旗和纪念品一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进两种商品，它们的进价不变，小国旗的进货量在在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；纪念品的售价和第一次相同，进货量为300个，但是随着国庆黄金周的结束，导致纪念品滞销，经销商在销售了90%纪念品后决定进行降价促销，剩余纪念品全部五折出售．结果第二次销售完后该经销商获利2700元，求m的值．

10．维生素C可以促进胶原蛋白的合成，促进铁的吸收，还有抗氧化的作用，桔子因为富含维生素C受到广大消费者的喜爱．某果农根据地理优势以及市场需求，种植无核桔与金桔现已经初具规模．已知无核桔和金桔种植面积共50亩，且无核桔的种植面积不超过金桔种植面积的4倍．

（1）无核桔最多种植了多少亩？

（2）去年该果园无核桔与金桔的产量比为16：3，无核桔售价3元/斤，金桔售价8元/斤．由于市场竞争激烈，果农改良种植技术，今年无核桔、金桔的产量相对于去年分别增加5a%，4a%，售价相对于去年分别提高a%，5a%，全部售出后，总产值将在去年总产值（总产值＝总产量×售价）基础上增加8a%，求a的值．

11．中国特色社会主义进入新时代，随着人民生活水平不断提高，百姓的购买力也越来越强．

（1）某公司计划在11月1日到10日期间销售A、B两种产品共20000件，其中B产品的件数至少是A产品件数的3倍，求该公司计划在11月1日到10日期间销售A产品至多多少件？

（2）该公司在11月1日到10日期间销售的20000件产品中，刚好达到（1）题中A产品销售件数的最大值，B产品销售件数的最小值，销售总额达到47.5万元，其中A产品的售价为每件20元，为更好地推广产品，公司决定在“双11”活动中开展降价促销：将A产品的单价降低2a%，B产品的单价降低a%（a＞0）．“双11”活动结束时，A、B两种产品的销售件数分别增加5a%、3a%，销售总额增加a%，求a的值．

12．“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米

（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？

（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．

13．红心火龙果是仙人掌科三角柱属多年生蔓性植物，是一种新兴的有良好保健功效的水果，原产于西半球赤道附近，中美洲热带雨林地区．因其含有的独特成分，对人体有绝佳的保健功效，从6月份开始，红心和白心两种火龙果开始上市，根据市场调查，红心火龙果售价为20元/千克，白心火龙果售价为15元/千克．

（1）重庆某水果店抓住商机，开始销售这两种火龙果，若第一周红心火龙果的销量比白心火龙果的销量多100千克，要使该水果店第一周销售这两种火龙果的总销售额不低于9000元，则第一周至少销售红心火龙果多少千克？

（2）若该水果店第一周按照（1）中红心和白心的最低销量销售这两种火龙果，并决定第二周继续销售这两种火龙果，第二周红心火龙果售价降低了a%，销量比第一周增加了2a%，白心火龙果的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果两种火龙果第二周的总销售额比第一周增加了a%，求a的值．

14．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．

（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？

（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．

15．元宵节又称为灯节，是中国的传统节日之一．为庆祝元宵节，九龙坡区政府决定在彩云湖公园举办为期三天的元宵灯会．某经销商抓住商机销售元宵灯会中的“兔子灯”和“孔雀灯”，第一次果断购进“兔子灯”和“孔雀灯”共500个．其中“兔子灯”每个进价50元，售价100元；“孔雀灯”每个进价80元，售价100元．

（1）该经销商由于启动资金不足，第一次购进“兔子灯”和“孔雀灯”的金额不得超过34000元，则“兔子灯”至少购进多少个？

（2）灯会观看的人特别多，“兔子灯”和“孔雀灯”一经上市，十分抢手，该经销商决定第二次购进这两种商品，它们的进价不变．“兔子灯”的进货量在（1）的最少进货量基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%．“孔雀灯”的售价和第一次相同，进货量为300个．灯会最后一天，由于担心“孔雀灯”滞销，经销商在销售了90%的“孔雀灯”后决定降价促销，剩余“孔雀灯”全部五折出售．结果第二次销售完后，该经销商获利27000元，求m的值．

16．某文具店2月底购进5800个笔袋，购进价格为每个10元，预计在3月份进行销售．若售价为12元/个，则刚好可全部售出．经调查发现，如果每个笔袋加价0.2元，那么销售量就减少10个．

（1）若要使文具店3月份的销售量不低于5500件，则售价应不高于多少元？

（2）由于销量不错，4月份该笔袋的进价比2月底的进价每个增加了20%，同时，该店增加了进货量，并加强了宣传力度，结果4月份的销售量比3月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比3月份在（1）的条件下的最高售价减少了m%，结果4月份这批笔袋的利润达到11880元，求m的值．

17．随着天气逐渐变暖，周末期间有更多的人选择出门游玩，重庆某景点的儿童票销量是成人票销量的3倍，且儿童票的价格为70元，成人票的价格为120元．

（1）若该景点3月份儿童票和成人票的总销售额不低于26.4万元，则3月份的售出的儿童票至少多少张？

（2）由于4月份天气变暖，外出游玩的人有所增加，景区对价格进行了调整，4月份儿童票销量比3月份儿童票最低销量增长了15a%，4月份儿童票价格比3月份降低了a%，4月份成人票销量比3月份成人票的最低销量相等，且价格比3月份降低了a%．最终该景区4月份儿童票和成人票的销售额比3月份的最低销售额增加了a%，求a的值．

18．2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．

（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？

（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？

19．根据农业部提出“大力发展农村产业，实现乡村全面振兴”的方针，我市精准扶贫，指导某县大力发展枇杷种植，去年、今年枇杷产量连续获得大丰收．该县某种植户枇杷销售采用线下销售和线上销售两种模式．

（1）今年该种植户枇杷产量为4500千克，全部售出，其中线上销量不超过线下销量的4倍．求线下销量至少多少千克？

（2）该种植户去年枇杷线下销售均价为15元/千克，销售量为900千克．线上销售均价为12元/千克，销售量为1800千克．今年线下销售均价上涨了a%，但销售量下降了2a%，线上销售均价上涨了a%，销量与去年持平，今年枇杷的销售总金额比去年销售总金额减少了a%，求a的值．

20．2021年的春节，全国多地提倡“就地过年”，以减少大规模的人口流动，为人们安全与健康提供防疫保障．我市两江融渝旅行社考虑到市民春节短期短途出行需求，推出“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品．

（1）该旅行社新春除夕至正月初六接待参加“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”的游客共1000人，其中选择“金佛山二日游”的游客不超过选择“广阳一日游”游客的，则选择“金佛山二日游”的游客至多有多少人？

（2）“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品春节期间售价分别为80元/人和200元/人，随着春节假期结束，为延长线上述旅游产品的销售热度，旅行社决定“广阳岛一日游”售价下降3m%，“金佛山二日游”售价下降10%促销数日．由于产品定位精准、游客体验感好、口碑传播，加之受降价刺激，节后降价数日内该旅行社又接待参加上述旅游产品的游客总人数合计700人．其中选择“金佛山二日游”人数占总人数的%，促销期间销售总金额为6.09万元，求m的值．