专题08 二次函数图像与参数-备战2022年中考数学必刷题

这是一份专题08 二次函数图像与参数-备战2022年中考数学必刷题，文件包含专题08二次函数图像与参数解析版doc、专题08二次函数图像与参数原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

2，mb±na（m,n为常数）：对称轴
3，b²-4ac：△的符号，即与x轴的交点个数
4,4ac-b²与4ma（m为常数）：顶点纵坐标
5，a+b+c : x=1
6，a-b+c : x=-1
7,xa±yc, xb±yc, xa±yb±zc ：带点消元，再乘以c的系数
8，a的取值范围： 带点消元
9，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象相交，建立方程组
例题演练
一．选择题（共20小题）
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点坐标为A（1，4），图象与x轴的其中一个交点是B（3，0）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a﹣3b+c＞0；④c﹣a＝4．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵二次函数顶点坐标为A（1，4），图象与x轴一个交点是B（3，0），
∴图象与x轴另一个交点是C（﹣1，0），
把A（1，4），B（3，0），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得：，
∴abc＝（﹣1）×2×3＝﹣6＜0，故①正确；
2a+b＝﹣2+2＝0，故②正确；
9a﹣3b+c＝﹣9﹣6+3＝﹣12＜0，故③错误；
c﹣a＝3﹣（﹣1）＝4，故④正确；
故选：C．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a﹣3b+2c＜0，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，即b＞0，
∵函数图像与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a，
∵当x＝2时，4a+2b+c＞0，
∴4a+2×2a+c＞0，即8a+c＞0，故③错误；
∵当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴（4a﹣2b+c）+（a﹣b+c）＜0，即5a﹣3b+2c＜0，故④正确；
故选：B．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵由抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0．
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，即＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，
∴③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
又∵b＞2a，
∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．
∴④正确．
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故选：C．
5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：，因此②错误；
对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；
对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③3a+c＞0；④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣，即a＝b，因此b＜0，与y的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＞0，因此①正确；
∵a＜0，对称轴为x＝﹣，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大，
因此②不正确；
由对称性可知，抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵a＝b，
∴6a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，因此③正确；
∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0），
∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，实际上就是当y＝﹣3时，函数y＝a（x+3）（x﹣2）相应的自变量x的值为m、n；，
根据图象可知，m＜﹣3且n＞2，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：B．
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且点B在两点（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．现有四个结论：
①abc＞0；
②4ac﹣8a＞b2；
③﹣＜a＜﹣；
④b＞c．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．与y轴交于点B，且点B在两点（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，即2a+b＝0，1＜c＜2，与x轴的另一个交点为（3，0），
抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝1＝﹣，b＞0，
∴abc＜0，因此①不正确；
∵抛物线的顶点纵坐标大于2，即＞2，又a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，即：4ac﹣8a＜b2，因此②不正确；
∵a﹣b+c＝0，2a+b＝0，1＜c＜2，
∴1＜﹣3a＜2，
∴﹣＜x＜﹣，因此③正确；
∵a﹣b+c＝0，2a+b＝0，
∴﹣b﹣b+c＝0，即﹣3b+2c＝0，又1＜c＜2，
∴﹣3b+3c＞0，
∴b＜c，因此④不正确；
综上所述，正确的有：③，
故选：A．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，又对称轴x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：C．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
故选：D．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（ ）
A．abc＜0
B．4a+c＝0
C．16a+4b+c＜0
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，b＞0，抛物线与y轴交于正半轴，于是c＞0，
∴abc＜0，因此选项A不符合题意；
由A（﹣1，0）、C（1，0）对称轴为x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点B（3，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，
而a＜0，所以4a+c＜0，因此选项B符合题意；
当x＝4时，y＝16a+4b+c＜0，因此选项C不符合题意；
当x＞1时，y随x的增大而减小，因此选项D不符合题意；
故选：B．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；
②对称轴为直线x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
13．如图所示是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，与x轴交于点（3，0），对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②a﹣b+c＝0；
③当﹣1＜x＜3时，y＜0；
④am2+bm≥a+b，（m为任意实数）．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
即x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，所以②正确；
当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以③正确；
∵当x＝1时，y取最小值a+b+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
即am2+bm≥a+b，所以④正确．
故选：D．
14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：
①4a+2b﹣c＞0；
②a﹣b﹣c＜0；
③c＝3a；
④5a+b﹣2c＞0．
正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a
∴a+2a﹣c＝0，
∴c＝3a，故③正确；
∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，
∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；
∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，
两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，
故选：C．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减少；③m＞﹣1；④当a＝﹣1时，b＝3；其中，判断正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②③④
【解答】解：①由图象可知，当x＞0时，y可以小于0，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少，故②正确；
③由图象可知m+1＞0，
∴m＞﹣1，故③正确；
④若a＝﹣1，则A（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，
∴B（3，0），
∴b＝3，故④正确；
故选：D．
16．如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列结论：
①ac＜0；
②x＞1时，y随x的增大而增大；
③a+b+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；
其中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3，故④正确；
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故②正确；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．正确的结论有（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．①②③④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；
当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确；
由 2a+b＝0，得 a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误．
综上，正确的选项有：①②④．
故选：A．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；④当x＞0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+bt，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当y＞0 时，x 的取值范围是﹣1＜x＜3，故③正确；
当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，故④错误；
由图象知：抛物线的顶点横坐标为1，纵坐标大于3，即抛物线的最大值一定大于3，
∴若t为任意实数，当x＝t时则有a+b≥at2+bt，故⑤正确；
故选：B．
19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞0；③ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；④b：c＝1：4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，
∵a＞0，
∴9a+c＞0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论③正确；
④∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b﹣2b+c＝0，
∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，结论④正确．
故选：D．
20．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（3，0）且对称轴为直线x＝1．有四个结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（3，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴横坐标是1﹣m的点的对称点的横坐标为1+m，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，故④正确．
故选：C．