专题06 函数探究型问题-备战2022年中考数学必刷题

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例题演练
1．小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y＝x|ax+b|（a＞0）的图象与性质进行探究．已知该函数图象经过点（2，1），且与x轴的一个交点为（4，0）．
（1）求函数的解析式；
（2）在给定的平面直角坐标系中：
①补全该函数的图象；
②当2≤x≤4时，y随x的增大而 减小 （在横线上填增大或减小）；
③当x＜4时，y＝x|ax+b|的最大值是 1 ；
①直线y＝k与函数y＝x|ax+b|有两个交点，则k＝ 0或1 ．
【解答】解：（1）将点（2，1），（4，0）代入y＝x|ax+b|，
得到a＝﹣1，b＝4或a＝1，b＝﹣4，
∵a＞0，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴y＝x|x﹣4|；
（2）①如图所示：
②由图可知，当2≤x≤4时，y随x的增大而减小；
故答案为减小；
③当x＜4时，由图象可知，当x＝2时，y＝x|x﹣4|有最大值，
此时y＝1，
故答案为1；
④直线y＝k与函数y＝x|x﹣4|有两个交点，由图象可知，
k＝0或k＝1；
故答案0或1．
2．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了研究．已知当x＝2时，y＝7；当x＝0时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
（1）该函数的解析式为 y＝（x≠1） ，m＝ 1 ；n＝ ；
根据图中描出的点，画出函数图象．
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．（ × ）
②该函数既无最大值也无最小值．（ √ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．（ × ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集 x≤﹣1.2或1＜x≤2.2 ．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入y＝，得，
解得
∴函数的解析式为y＝（x≠1）；
当x＝﹣4时，y＝＝＝1；当x＝3时，y＝＝，
∴m＝1，n＝，
描点、连线，画出函数图象如图：
故答案为y＝（x≠1），1，；
（2）由图象可知：
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2）．
②该函数既无最大值也无最小值．
③x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为×，√，×；
（3）由图象可知，关于x的不等式﹣2x﹣2≥0的解集故答案为：x≤﹣1.2或1＜x≤2.2，
故答案为x≤﹣1.2或1＜x≤2.2．
3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝﹣性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：
（2）观察函数图象，写出该函数的一条性质： 当x＜0时，y随x值的增大而增大 ；
（3）已知函数y＝﹣x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【解答】解：（1）把下表补充完整如下：
函数y＝﹣的图象如图所示：
（2）由图可知，当x＜0时，y随x值的增大而增大，
故答案为当x＜0时，y随x值的增大而增大；
（3）由图象可知，不等式的解集为﹣2≤x≤1.3或x≥2.5．
4．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y＝x+，探索函数图象和性质过程如下：
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ 4 ，m＝ ﹣5 ，n＝ 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： 该函数图象关于原点对称 ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并直接写出不等式x+≤2x的解集： ﹣2≤x＜0或x≥2 ．
【解答】解：（1）x＝﹣1时，y＝﹣5，
∴﹣1﹣a＝﹣5，
∴a＝4．
∴，
令x＝﹣4，得m＝﹣5，
令y＝4，得n＝2，
故答案为：4；﹣5；2．
（2）图象如图所示：
（3）该函数图象关于原点对称；当x＞2时，随x的增大而增大；当x＜﹣2时，随x的增大而增大，
（答案不唯一，写出一条即可）．
（4）图象如图所示；﹣2≤x＜0或x≥2．
解：两个函数的交点坐标为（﹣2，﹣4）和（2，4），数形结合可知不等式的解集为﹣2≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣2≤x＜0或x≥2．
5．在初中阶段的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．若函数y1＝的图象过点（2，2），请根据函数学习的经验，完成下列问题：
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）结合你所画的函数图象，直接写出不等式y1≥3的解集．
【解答】解：（1）点（2，2）代入y1＝，得：2＝4+b，
∴b＝﹣2，
∴y1＝．
（2）列表如下：
描点、连线如下图：
由图可知：①当x≤0时，y随x的增大而减小；
②当0＜x≤2时，y随x的增大而减小；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④当x＝0时，y1取最小值﹣3．
（3）由图可知，当y1＝3时，x1＝﹣3，x2＝1，x3＝4，
∵当x≤0时，y随x的增大而减小；当0＜x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
∴不等式y1≥3的解集为：x≤﹣3或0＜x≤1或x＞4．
6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y＝||﹣4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）该函数的自变量取值范围是 x≠﹣1 ；下表中p＝ 2 ，q＝ 0 ，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
（2）根据函数图象写出该函数的一条性质： x＜﹣1时，y随x值的增大而增大 ．
（3）已知函数y＝﹣x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【解答】解：（1）∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴函数y＝||﹣4的自变量x的取值范围是x≠﹣1，
把x＝﹣3和﹣分别代入函数关系式求得p＝2，q＝0，
画出函数图象如图：
故答案为x≠﹣1，2，0．
（2）观察图象可知：x＜﹣1时，y随x值的增大而增大；
故答案为：x＜﹣1时，y随x值的增大而增大；
（3）由图象可知，不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集为x＜﹣3或﹣0.4＜x＜﹣2．
7．重庆八中的学子课外活动丰富多彩，开展了很多社团活动．最近数学社的同学在探究函数y＝的图象与性质，请你根据之前学习函数的经验和方法，画出函数图象，并回答下列问题．
（1）选择恰当的值补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象．
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”．
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ √ ）
②当x＝0时，函数取得最大值5；当x＝﹣5或5时，函数取得最小值0． （ √ ）
③当﹣5≤x＜0时，y随x的增大而减小；当0＜x≤5时，y随x的增大而增大． （ × ）
（3）请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式＞﹣x+3的解集．
【解答】解：（1）列表：
描点、连线，画出函数图象如图：
（2）观察图象可知，
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②当x＝0时，函数取得最大值5；当x＝﹣5或5时，函数取得最小值0．
③当﹣5≤x＜0时，y随x的增大而增大；当0＜x≤5时，y随x的增大而减小．
故答案为√，√，×；
（3）由图象可知关于x的不等式＞﹣x+3的解集为﹣3＜x＜4.5．
8．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质的过程，已知函数y＝+，结合已有的学习经验，完成下列各小题．
（1）请在表格中空白填入恰当的数据：
（2）根据上表中的数据，在所给的平面直角坐标系中补全函数y＝+的图象；
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数的性质说法是否正确，正确的在答题卡相应的括号内打“√”，错误在答题卡上相应括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x＝1．（ × ）
②该函数在自变量的取值范围内，既无最大值，也无最小值．（ √ ）
③当1＜x＜2时，y随x的增大而减小：当x＞2时，y随x的增大而增大．（ × ）
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式组的解集为： 0≤x＜1或1＜x≤1.5 ．
【解答】解：（1）补充完整下表为：
（2）画出函数的图象如图：
（3）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x＝1．说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，既无最大值，也无最小值．说法正确；
③当1＜x＜2时，y随x的增大而减小：当x＞2时，y随x的增大而增大，说法错误．
（4）由图象可知：不等式组的解集为0≤x＜1或1＜x≤1.5，
故答案为0≤x＜1或1＜x≤1.5．
9．问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
①m＝ 1 ；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝ ﹣10 ；
（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ﹣2 ；
②已知直线y1＝x与函数y＝|x|﹣2的图象交于C（﹣，﹣）、D（4，2）两点，当y1＜y时x的取值范围是 x＜﹣或x＜4 ．
【解答】解：（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝3﹣2＝1．
故答案为1；
②把y＝8代入y＝|x|﹣2，得8＝|x|﹣2，
解得x＝﹣10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n＝﹣10．
故答案为﹣10；
（3）该函数的图象如图，
①该函数的最小值为﹣2；
故答案为﹣2；
②在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝x，
由图象可知，y1＜y时x的取值范围是x＜﹣或x＞4．
故答案为x＜﹣或x＞4．
10．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质的过程，已知函数y＝﹣上，结合已有的学习经验，完成下列各小题．
（1）请在表格中空白处填入恰当的数据：
（2）根据表中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝﹣的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： 当x＜1时，y随x的增大而增大 ；
（4）结合所画函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x+5的解集为： x＜0.3或1＜x＜3.7 ．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【解答】解：（1）补充完整下表为：
（2）画出函数的图象如图：
（3）观察函数图象：当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为当x＜1时，y随x的增大而增大．
（4）由图象可知：不等式﹣＜﹣x+5的解集为x＜0.3或1＜x＜3.7，
故答案为x＜0.3或1＜x＜3.7．
11．某兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y＝+3图象和性质进行了探究，请完成下列探究过程．
（1）表格中a＝ 0 ，b＝ ；
（2）请你根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中通过描点、连线的方法，画出该函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x的图象如图所示，结合你所画的函数图象请直接写出+3＞x的解集 x＜﹣1.6或0＜x≤2.6， ．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝+3得，y＝+3＝0；把x＝2代入y＝+3得，y＝+3＝，
∴a＝0，b＝，
故答案为0，；
（2）画出函数的图象如图：
根据函数图象：当x＞﹣1时，y随x的增大而增大：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
（3）由图象可知：+3＞x的解集为x＜﹣1.6或0＜x≤2.6，
故答案为x＜﹣1.6或0＜x≤2.6．
12．某数学学习小组根据以往学习函数的经验，研究函数y＝的图象和性质．列表如下：
（1）直接写出m、n的值：m＝ 3 ．n＝ ；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： 图象关于直线x＝﹣1对称 ．
（3）已知函数y＝|x+1|的图象如图所示，请结合图象，直接写出方程|x+1|＝的解（精确到0.1，误差不超过0.2） x＝0.85或x＝﹣2.85 ．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入y＝，
解得y＝3，
∴m＝3，
将x＝1代入y＝，
解得y＝，
∴n＝，
故答案为：3，．
（2）如图，
曲线y＝关于直线x＝﹣1对称．
（3）由图象可得x＝0.85或x＝﹣2.85满足题意．
故答案为：x＝0.85或x＝﹣2.85．
13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质的过程，已知函数y＝+，结合已有的学习经验，完成下列各小题．
（1）请在表格中空白填入恰当的数据：
（2）根据表中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝+的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： 函数在自变量的取值范围内，既无最大值，也无最小值 ；
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式组+≤x+3的解集为： ﹣3≤x≤0.4或x≤ ．
【解答】解：（1）补充完整下表为：
（2）画出函数的图象如图：
（3）由函数图象可知，函数在自变量的取值范围内，既无最大值，也无最小值，
故答案为函数在自变量的取值范围内，既无最大值，也无最小值；
（4）由图象可知：不等式+≤x+3的解集为﹣3≤x≤0.4或x≤，
故答案为﹣3≤x≤0.4或x≤．
14．小明根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量的取值范围是 x≠2 ；
（2）如表是函数y与自变量x的几组对应值，则m＝ ，n＝ 3 ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象，并写出这个函数的一条性质： 图象是轴对称图形，对称轴x＝2 ；
（4）根据函数图象，直接写出＝x﹣1的近似解 x≈3.3 ．（精确到0.1）
【解答】解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠2，
故答案为：x≠2；
（2）由题意x＝﹣2时，y＝＝，当x＝3时，y＝＝3，
∴m＝，n＝3，
故答案为，3．
（3）函数图象如图所示：
观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴x＝2；
故答案为图象是轴对称图形，对称轴x＝2．
（4）由图像可知，＝x﹣1的近似解为x≈3.3，
故答案为x≈3.3．
15．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝﹣（x≠0）的图象和性质，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；
（2）观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是 ④ ；
①函数y＝﹣的图象关于原点中心对称；
②当x＞0时，y随x的增大而减小；
③当x＝2时，函数y＝﹣取得最小值0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小；
（3）请结合（1）问中画出的函数图象，直接写出关于x的不等式﹣+2x+2≤0的解集（误差不超过0.2）．
【解答】解：（1）列表：
画出函数图象如图：
；
（2）观察函数图象，
①函数y＝﹣的图象关于原点不对称，故错误；
②当x＞0时，y随x的增大先增大后减小，故错误
③函数y＝﹣没有最大值和最小值，故错误
④当x＞2时，y随x的增大而减小，故正确；
故答案为④；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝﹣2x﹣2，
由图象可知，关于x的不等式﹣+2x+2≤0的解集为x≤﹣2.6或0＜x≤0.8．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝﹣
…

3
0
﹣3
﹣
﹣
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝﹣
…
3
0
﹣3
﹣
…
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
n
4
6
…
y
…
﹣
m
﹣4
﹣5
﹣
5
4
5
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
0
1
2
3
4
…
y＝||﹣4
…
1
p
4
﹣
q
﹣4
﹣2
﹣
﹣1
﹣
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
5
…
y
…
0
3
4
4.6
5
4.6
4
3
0
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
5
…
y
…
0
3
4
4.6
5
4.6
4
3
0
…
x
…
﹣2
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1.5
2
3
4
6
…
y
…
﹣
0

1
2
2
2
2
2
3
…
x
…
﹣2
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1.5
2
3
4
6
…
y
…
﹣
0
1
2
2
2
2
2
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
3
4
6
﹣4
﹣2
0
﹣1
﹣
﹣
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
3
4
6
﹣4
﹣2
0
﹣1
﹣
﹣
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣
﹣3
a
b
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
m
4
3
n
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣1
﹣
2

3
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣1
﹣
2
3
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
0.6
m
1
1.5
3
n
1.5
1
0.75
0.6
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
…
y＝﹣
…

3

4
6
﹣2
0
﹣
﹣1
﹣
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
…
y＝﹣
…
3
4
6
﹣2
0
﹣
﹣1
﹣
…