中考数学必刷300题 专题09 二次函数综合-【必刷题】

中考数学复习策略

中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?

1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。

课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。

2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。

把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。

3、要注重总结规律，加强解题后的反思。

期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。

九、二次函数综合

知识点拨

二次函数常考点：

1、求函数表达式及点的坐标

2、最值问题：最小值、最大值

3、存在性问题

注：具体细分到每一个点如何突破，内容过多，不便细述，详见我的专辑--二次函数满分突破

       例题演练

一．解答题（共22小题）

1．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．

（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；

（3）将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△B'O'C'（其中点O'与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O'，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O'的坐标．

3．如图1，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．

（1）求△ACD的面积；

（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；

（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

5．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点M，求PM+NH的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，∠CAB＝60°，点E是线段AB上一动点，作EF∥AC交线段BC于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，延长线段EF交抛物线第一象限的部分于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点坐标；

（3）如图2，M为射线EF上一点，且EM＝EB，将射线EF绕点E逆时针旋转60°，交直线AC于点N，连接MN，P为MN的中点，连接AP、BP，问：AP+BP是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．

7．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．

（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．

（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．

（3）连接PA、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？

（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，点D、E是线段BC上的两点（E在D的右侧），DE＝，过点D作DP∥y轴交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD、FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；

（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线水平向左平移，使得平移后的抛物线恰好经过点F，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，连接BP，将线段沿直线BC平移，平移后的线段记为B'P'，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

10．已知抛物线y＝x2﹣m与直线y＝﹣x+4相交于A、B两点．

（1）若B点横坐标为2，求A点坐标；

（2）如图1，若抛物线的顶点为C，∠ACB＝45°，求m的值；

（3）如图2，若m＝1时，平移直线y＝﹣x+4使直线与抛物线交于E、F两点，抛物线与x轴正半轴交于点P，求证：∠EPO＝∠FPO．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；

（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

13．如图，二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，且OD＝AB．

（1）求点A，B的坐标及a的值；

（2）点P为y轴右侧抛物线上一点．

①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；

②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ＝∠BGC，求点Q的坐标．

14．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．

（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．

（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；

（2）如图2，过点D作DE∥AC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；

（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；

（3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位，平移后的抛物线与y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），直线BC的解析式为y＝x+3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，将抛物线向左平移1个单位，记平移后C、E的对应点分别为C′、E′，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以C′、E′、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；

（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B，C两点，点B在点C的左边．

（1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是抛物线上一点，横坐标为﹣3，连接AP、CP．

（1）求S△APC；

（2）若点D是y轴上任意一点，求的最小值及此时点D的坐标；

（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点是点B'，点O平移后的对应点是点O'，点C平移后的对应点是点C'，点M是坐标平面内一点，若以A、C、O'、M为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点M坐标．

21．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（﹣4，0），C（2，0），与y轴交于点A，在抛物线上有一动点P，连接AP，BP，AB，CP．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若P点在第二象限的抛物线上，当△ABP的面积是时，求△BCP的面积；

（3）点D是线段AC上的一点，过D作DE⊥BC于点E，点F在线段AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF和EF，线段EF的长度是否有最小值，如果有请直接写出这个最小值，若没有最小值请说明理由．

22．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．

①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；

②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．