甘肃省张掖市甘州区甘州中学2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

2021-2022学年甘肃省张掖市甘州中学九年级（上）期末数学试卷

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

1. 在中，，，，则的正切值等于

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，若点的坐标是，则点与的位置关系是

A. 点在外 B. 点在内
C. 点在上 D. 点在上或在外

3. 直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，则其顶点为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 甲袋中装有张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色从这两个口袋中各随机抽取张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 等弧所对的圆心角相等
C. 经过三点可以做一个圆
D. 三角形的外心到三角形三边的距离相等

7. 点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高，则的长度为

A.  B.  C.  D.

9. 在同一坐标系下，抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是

A.
B.
C.
D. 或 
 

10. 如图，是边长为的等边三角形，动点从点出发，以的速度沿运动，到达点即停止运动，过点作于点，设运动时间为，的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是

A.  B.
C.  D.

11. 当______时，函数是二次函数．
12. 如图，的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积为______．
    
    
     

13. 如图，在中，，，则的度数是______．
    
    
     

14. 不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个．
15. 如图，是的直径，为圆上一点，，，为垂足，且，则 ______ ， ______ ．
     

16. 若抛物线与轴有两个交点，则整数的最小值是______．
17. 如图，中，，点在上，，若，，则的长度为______．
     

18. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且，对称轴为直线，则下列结论：；；关于的方程无实根，；其中正确结论的有______．
19. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上．
     

21. 已知：如图，在中，．
    求证：．
    
    
     

22. 从甲、乙两班各随机抽取名学生共人参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的组：组：，组：，组：，组：，组：，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
    根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩；
    参加测试的学生被随机安排到个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率．

23. 如图，是的直径，，是上的两点，和的延长线交于点，连接．
    求证：∽；
    若，求证：．
    
    
     

24. 如图，在直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为．
    求经过，，三点的抛物线的解析式；
    如果为抛物线的顶点，联结、，求四边形的面积．

25. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求电池板离地面的高度的长结果精确到米；参考数据，，

26. 某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量个与销售单价元符合一次函数关系，如图所示：
    根据图象，直接写出与的函数关系式；
    该公司要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
    销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

27. 如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接，，．
    求证：；
    若，，求的半径长．
    
     

28. 已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点点在点右侧，与轴交于点．
    求抛物线的解析式和，两点的坐标；
    如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点不与、重合，过点作轴的平行线，交直线于点；
    设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标；
    过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的横坐标的值；若不存在，说明理由；
    点为轴正半轴上一点，直接写出使为等腰三角形的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，，
．
故选：．
直接利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．
 

2.【答案】
 

【解析】解：点的坐标是，
，
而的半径为，
等于圆的半径，
点在上．
故选：．
先计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
新抛物线的顶点为．
故选C．
易得原抛物线顶点，把横坐标减，纵坐标加即可得到新的顶点坐标．
考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四边形是的内接四边形，，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
 

5.【答案】
 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有个，
取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为，
故选：．
画树状图，共有个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故不符合题意；
B、等弧所对的圆心角相等，故符合题意；
C、经过不在同一直线上的三点可以做一个圆，故不符合题意；
D、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故不符合题意，
故选：．
利用三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系分别判断后即可得到正确的答案．
本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
对称轴为，
，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
，
，
根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，
故，
故选：．
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：迎水坡的坡比为：，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故选：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由图可知，抛物线和直线的交点坐标为，，
所以，不等式的解集是．
故选：．
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，是边长为的等边三角形，
 

则，
当点从的过程中，，，如图所示，
则，，
当点从的过程中，，，，如右图所示，








则边上的高是：，

，
故选：．
过点作于点，分类求出点从和从函数解析式，即可得到相应的函数图象．
本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是画出相应的图形，求出相应的函数解析式，明确各段对应的函数图象，利用数形结合的思想解答问题．

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：且，
由得，
由得，
．
故答案为：．
根据二次函数的定义，只要的系数不为，列式解答即可．
本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，
的半径为，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影部分面积是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接，如图：

由，得，．
．
．
，
在中，，
，
故答案为；．
根据垂径定理，可得，，根据圆周角定理，可得，根据直角三角形的性质，可得答案．
本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出，是解题关键，又利用了圆周角定理．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设口袋中白球大约有个，
摸到白色球的频率稳定在左右，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
估计口袋中白球大约有个，
故答案为：．
设口袋中白球大约有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
 

15.【答案】；
 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
在中，，
，，
，．
故答案，，．
根据圆周角定理，由是的直径得到，则利用互余得到，根据垂径定理由得到，然后根据含度的三角形三边的关系可计算出、，从而可得到和的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和含度的三角形三边的关系．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，解得，故整数的最小值是．
抛物线与轴有两交点，则，列出不等式求得整数解即可．
考查抛物线与轴交点的情况．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故答案为：．
在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．
本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，开口向下，，因此，故不正确；
抛物线与轴交于正半轴，因此，对称轴为，所以，也就是，
，故不正确；
当时，根据图象可得有两个不同实数根，即有两个不等实根，因此不正确；
，代入得：，即：，因此正确；
设，，有、是方程的两个根，有有，又，，所以，故正确；
综上所述，正确的有，
故答案为：
根据二次函数的图象和性质，对称轴、与轴、轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个进行判断，得出答案．
考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式．
 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
原式利用特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：作图如右：
 

【解析】连接，作出的垂直平分线交直线于点，以为圆心，为半径作圆．
本题主要考查确定圆的条件的知识点，本题要求有较强的作图能力，对同学来说需要熟练掌握．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
．
 

【解析】由，根据圆周角定理得到，则，由此得到．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：组人数为：人，组人数为：人，
补充完整频数分布直方图如下：

估算参加测试的学生的平均成绩为：分；
把个不同的考场分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有种，
小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为．
 

【解析】求出组人数和组人数，补全频数分布直方图，再由平均数的定义求出参加测试的学生的平均成绩即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图和扇形统计图．
 

23.【答案】证明：四边形内接于，
，
又
∽；
连接，
是的直径，

又，
，
由已证∽，

．
 

【解析】由圆的内接四边形的性质可得：，再由，即可证明：∽；
连接，由已证∽，根据相似三角形的性质和已知条件即可证明．
本题考查了圆的内接四边形性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，题目难度中等．
 

24.【答案】解：当时，，则，
当时，，解得，则，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
，
，
作轴于，如图，
四边形的面积

．
 

【解析】先利用一次函数解析式确定，，再设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式；
先利用配方法得到，则，作轴于，如图，然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

25.【答案】解：延长交于点，米，
设米，

，故EH米，
在中，，解得，
则米，
电池板离地面的高度的长约为米。
 

【解析】设，，故EH，则，进而求解。
本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

26.【答案】解：设为常数，
将点，代入得：
，
解得，
与的函数关系式为：；
由题意得：，
化简得：，
解得：，，
，
不符合题意，舍去，
故销售单价应定为元．
设每天获得的利润为元，由题意得：


，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，，
答：销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
 

【解析】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
由待定系数法可得函数的解析式；
根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
 

27.【答案】证明：是的直径，，
，
，
又，
，
．

为的直径，弦，，
，，
设的半径是，，则，
在中，，
解得：，
的半径是．
 

【解析】利用垂径定理证明，再证明即可解决问题；
设的半径是，，则，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题．
 

28.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
，解得，
抛物线的解析式为：．
当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为．
答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；

当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
当时，的最大值是，
点是抛物线上、两点之间的一个动点不与、重合，
，
此时点的坐标为．
答：用含的式子表示出的长为，的最大值是，此时点的坐标为；
，
，
当时，为等腰直角三角形，
点在对称轴右侧时，如图：

，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或舍去，
；
点在对称轴左侧时，如图：

，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或舍去，
；
存在，点的横坐标的值为或；

点的坐标为，点的坐标为．
，，，
当点为轴正半轴上一点，时，如图，

，
，
点的坐标为；
当点为轴正半轴上一点，时，如图：

，则点的坐标为；
当点为轴正半轴上一点，时，如图：过点作于，

，，
，
∽，
，即，
，
，
则点的坐标为；
故点的坐标为：或或．
 

【解析】由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标；
易求点的坐标为，设直线的解及此时点的坐标析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；
由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解；
分三种情况画出图形，根据等腰三角形的性质分别求出，从而求解．
本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，其中都要分类求解，避免遗漏．