北京市西城区第八中学2021-2022学年八年级上学期期末数学综合试题（一）

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2021-2022学年北京八中八年级（上）期末数学综合练习试卷（一）
一、选择（每题3分，共30分）
1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线 C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，深刻理解轴对称图形的概念是解题关键
2. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯(Graphene)是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（　 ）
A. 1×10-6 B. 10×10-7 C. 0.1×10-5 D. 1×106
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000001有6个0，所以可以确定n=-6．
【详解】0.000 001=1×10-6．
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．
3. 已知一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 9 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和公式以及外角和的性质，列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为，由题意可得：
解得
故选D
【点睛】此题考查了多边形内角和以及外角和的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. x（x﹣2）＝x2﹣2x B. （x+1）2＝x2+2x+1
C. x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D. x+2＝x（1+）
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解的意义，掌握因式分解的概念是解题的关键．
5. 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，令，再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案.
【详解】解：当，时，
，，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
而 故C符合题意；
．故D不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查的是利用特值法判断分式的变形，同时考查分式的基本性质，掌握“利用特值法解决选择题或填空题”是解本题的关键.
6. 一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ）

A. 75° B. 60° C. 65° D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据三角形外角的性质得出的度数，然后利用即可求解．
【详解】根据题意有，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角板中的度数问题，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可．
【详解】解：，
，
，，
，，
解得：，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．
8. 在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据全等三角形判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
9. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】过作于，由题意可知，由角角边可证得，故，由直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知，再由等角对等边即可知．
【详解】解：过作于，
，交于点，平分
，
，
，OP=OP

，
，
又，
，
故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质以及在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．两直线平行，内错角相等．
10. 如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示：过点作于点，交于点，过点作于点，则，此时最小，再利用等面积法求解最小值即可.
【详解】解：如图所示：

过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
．
在中，，，，，，
，
，
．
即的最小值是4.8，
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂线段最短，角平分线的性质定理的应用，等面积法的应用，确定取最小值时点的位置是解本题的关键.
二、填空题
11. 两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是________．（写一个值即可）
【答案】4（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即；而小于两边之和，即，
即第三边，
故第三根木棒的长度可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
12. 如果分式的值为零，那么的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得：且，
解得．
故答案为：．
【点睛】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13. 分解因式：ax2﹣6ax+9a=___．
【答案】a（x﹣3）2
【解析】
【详解】试题分析：ax2﹣6ax+9a
=a（x2﹣6x+9）
=a（x﹣3）2
故答案为a（x﹣3）2
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为________°．

【答案】60
【解析】
【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC==80°，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=20°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15. 若，，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】由变形为，再把和代入求值即可.
【详解】解：，，
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是将变形为．
16. 如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则________．

【答案】##2.5
【解析】
【分析】连接，，证明，，根据，即可求得
【详解】解：连接，，

是的平分线，，，
，，，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
17. 方程无解，那么的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值．
【详解】解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键．
18. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．

【答案】①③④
【解析】
【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．
三、解答题
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】由实数的运算法则计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，实数包括有理数和无理数，所以实数的混合运算包含了绝对值，幂的运算，开平方开立方等全部计算形式，仍满足先乘除后加减，有括号先算括号内的运算顺序．
20. 计算：．
【答案】x-2y
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式及整式的各运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式


．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握各运算法则及公式是解题的关键．
21. （1）先化简再求值：，其中．
（2）解方程：．
【答案】（1），；（2）无解
【解析】
【分析】（1）根据分式的各运算法则进行化简，再代入计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
【详解】解：（1）



，
当时，原式；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的增根，
即原方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
22. 如图，在中，．
用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明
当满足的点P到AB、BC的距离相等时，求的度数．

【答案】（1）图形见解析（2）30°
【解析】
【详解】试题分析：（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；
（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．
试题解析：
（1）依照题意，画出图形，如图所示．

（2）∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PC=PD．
在Rt△BCP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），
∴BC=BD．
又∵PD垂直平分AB，
∴AD=2BD=2BC．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°．

【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB=2BC．
23. 如图，已知，，作图及步骤如下：
（1）以点圆心，为半径画弧；
（2）以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
（3）连接，交延长线于点．
（4）过点作于点，于点．
请根据以下推理过程，填写依据：
，
点、点在的垂直平分线上（________）
直线是的垂直平分线（________）
，
（等腰三角形________、________、________相互重合）
又，
（________）
在中，
（________）

【答案】到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线；底边上的高；底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半
【解析】
【分析】据题中几何语言画出对应的几何图形，然后利用线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质和含30度的直角三角形三边的关系填写依据．
【详解】解：如图，

，
点、点在的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
直线是的垂直平分线（两点确定一直线），
，，
（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合），
又，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在中，
（在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
24. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长．

【答案】（1）△ODE是等边三角形；理由见解析；（2）△ODE的周长为10．
【解析】
【分析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，问题得解.
【详解】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵BO平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD；同理可证CE=OE；
∴△ODE的周长=BC=10．
故答案为(1)△ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°是解答此题的关键．
25. 通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．
【答案】20人
【解析】
【分析】设该公园原来平均每分钟接待游客人数为x人，由“接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟”列出方程可求解．
【详解】解：设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，
由题意可得：
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：该公园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．需要注意的是解出方程的解后一定要检验．
26. 给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为________；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，-4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，-1）的特征多项式与有序实数对（m，n，-2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3-10x2-x+2，直接写出（4p-2q-1）（2m-n-1）的值为________．
【答案】（1）(3，2，-1)
（2）
（3）-6
【解析】
【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x=-2即可得出答案．
【小问1详解】
解：关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为 （3，2，-1），
故答案为：（3，2，-1）；
【小问2详解】
解：∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对（1，-4，4）的特征多项式为：x2-4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2-4x+4）
=x4-4x3+4x2+4x3-16x2+16x+4x2-16x+16
=x4-8x2+16；
【小问3详解】
解：根据题意得（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2，
令x=-2，
则（4p-2q-1）（4m-2n-2）=2×16-8-10×4+2+2，
∴（4p-2q-1）（4m-2n-2）=32-8-40+2+2，
∴（4p-2q-1）（4m-2n-2）=-12，
∴（4p-2q-1）（2m-n-1）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值-2是解题的关键．
27. 已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点．

（1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；
（2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②∠BPH=90°
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①按照题意作图即可．
②由等边三角形性质及平角为180°即可求得．
（2）由（1）知是等边三角形可证得是等边三角形，即可由边角边证得，再由直角三角形的性质以及平角的性质可推得．
【小问1详解】
①如图所示，即为所求；以B、O为圆心，OB长为半径，画弧交于点C，连接OC，BC，即为等边三角形．

②是等边三角形，
，
，
，
；
【小问2详解】
，证明如下：
如图，连接，，

由（1）可知，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了三角形内的综合问题，包括尺规作图，全等三角形的证明及性质，等边三角形的性质等，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“”），等边三角形三边相等，且每个角都等于60°，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半熟悉其判定及性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于点，，将点关于直线对称得到点，当时，将点向上平移个单位，当时，将点向下平移个单位，得到点，我们称点为点关于点的对称平移点．
例如，如图已知点，，点关于点的对称平移点为．

（1）已知点，，
①点关于点的对称平移点为________（直接写出答案）．
②若点为点关于点的对称平移点，则点的坐标为________．（直接写出答案）
（2）已知点在第一、三象限的角平分线上，点的横坐标为，点的坐标为．点为点关于点的对称平移点，若以，，为顶点的三角形围成的面积为1，求的值．
【答案】（1）①(6，4)；②(3，-2)
（2）的值为
【解析】
【分析】（1）由题意根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论；
（2）根据题意分两种情形：m＞0，m＜0，利用三角形面积公式，构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：①如图1中，点关于点的对称平移点为．
故答案为：．

②若点为点关于点的对称平移点，则点的坐标为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2中，当时，四边形是梯形，

，，，
，
或（舍弃），
当时，同法可得，
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，三角形的面积公式，轴对称，平移变换等知识，解题的关键是理解新定义，学会利用参数构建方程解决问题．