新疆师范大学附属中学2022届高三上学期一模仿真训练（三）数学（文）试题含解析

这是一份新疆师范大学附属中学2022届高三上学期一模仿真训练（三）数学（文）试题含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新疆师大附中2022届高三年级一模仿真训练三
数学试卷
测试时间：120分钟 全卷满分：150分
一、选择题（本题包含3个小题，每题3分，共9分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则z对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，命题的否定是（ ）
A． B． C． D．
4．某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（ ）
A．1260 B．1230 C．1120 D．1140
5．关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．在满足不等式组的平面区域内随机取一点，设事件A为“”，那么事件A发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ）

A． B． C． D．
9．在△ABC中，已知AB⊥BC，AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）
A．2π B．2π C．3π D．4π
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
11．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


二、填空题（本题包含4个小题，每题5分，共20分）
13．设，则______.
14．已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
15．曲线在处的切线的倾斜角为，则___________.
16．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 ________．
三、解答题（本题包含3个小题，每题10分，共30分）
17．已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.


18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

（1）求的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
列联表

男性
女性
合计
消费金额



消费金额



合计



临界值表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
，其中







19．如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC=4，AB=8，D，E分别是AB，AC的中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，且⊥BD，连接，，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点.（1）证明：平面⊥平面DBCE；
（2）过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥的体积．
①BM=BE；②直线EM与BC所成角的大小为45°；③三棱锥的体积是三棱锥体积的
图 甲 图乙

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.


20．已知函数，．
（1）时，求函数在区间上的最值；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．







21．椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.


二选：22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，点是曲线C上任意点，求面积的最大值，并求此时M的极径．





23．已知，函数的最大值为4．
（1）求的值；
（2）求的最小值，并求此时的值．

绝密★启用前
数学
文科数学 未命名
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意得，，再根据集合交集运算求解即可.
【详解】
解：解不等式得，故，

所以
故选：D．
2．已知复数z满足，则z对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据给定条件结合复数除法求出z，即得z对应的点所在象限
【详解】
依题意，，则复数z对应的点坐标为，
所以z对应的点所在象限为：第二象限.
故选：B
3．已知命题，命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据命题的否定的定义，写出命题的否定，然后判断．
【详解】
命题的否定是：．
故选：B．
4．某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（ ）
A．1260 B．1230 C．1120 D．1140
【答案】C
【分析】
由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数.
【详解】
由男生人数为，所以女生人数为.
故选：C．
5．关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】
A. 或，所以该选项错误；B. 或异面，所以该选项错误；C. 或异面或相交，所以该选项错误；D. ，所以该选项正确.
【详解】
A. 若，，则或，所以该选项错误；
B. 若，，则或异面，所以该选项错误；
C. 若，，则或异面或相交，所以该选项错误；
D. 若，，则，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
方法点睛：判断空间直线平面位置关系的命题的真假，常用的方法有：（1）举反例；（2）证明. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．在满足不等式组的平面区域内随机取一点，设事件A为“”，那么事件A发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出不等式所表示的区域，分别求出不等式与符合条件的区域的面积，再由几何概型计算即可.
【详解】
画出不等式所表示的区域如下图所示：

由上图知，
符合条件的为图中阴影部分区域，其面积为，
故根据几何概型事件A发生的概率为.
故选：C
7．已知且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据，结合余弦和角公式求解即可.
【详解】
解：因为且，
所以，，，
，
故选：D．
8．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先将用，表示，然后，再用表示即可.
【详解】

.
故选：B
9．在△ABC中，已知AB⊥BC，AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）
A．2π B．2π C．3π D．4π
【答案】D
【分析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式可得．
【详解】
解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长，圆锥底面半径，

故选：D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.
【详解】
连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
11．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为
故选：A
12．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 而 在 递增，求出 的最小值，从而求出的范围即可 .
【详解】
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故
令
在递增 ,

故
故选：D

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
13．设，则______.
【答案】.
【分析】
推导出的值，再求，由此能求出结果.
【详解】
解：∵，
∴，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于基础题型.
14．已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
【答案】
【分析】
根据题意得等差数列的公差为，再根据通项公式求解即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以，解得，
所以，所以．
故答案为：
15．曲线在处的切线的倾斜角为，则___________.
【答案】
【分析】
对函数求导代入，即可得出，进而可得结果.
【详解】

则
故答案为：
16．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为 ________．
【答案】##
【分析】
先设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式得到点的坐标，再利用斜率公式进行求解.
【详解】
设直线的方程为，
联立，得，
即，
由，得，
设，，，
则，，
即，则直线OM的斜率为.
故答案为:.

三、解答题
17．已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）当时，由，验证时满足，即可得到数列的通项公式，由数列为等比数列，利用基本量思想即可得到通项公式；
（2）由（1）得，利用分组求和与裂项相消法即可.
【详解】
（1）解：∵，∴时，.又时，满足上式，
∴，∵，，∴，，
又∵，，解得，，∴，.
（2）∵，
∴
【点睛】
本题考查数列中与的关系，等比数列中基本量思想，数列求和中分组求和法，裂项相消法，注意裂项的运用，考查运算能力，属于基础题.
18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

（1）求的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
列联表

男性
女性
合计
消费金额



消费金额



合计



临界值表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
，其中
【答案】（1），（2）详见解析（3）395元
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值.
（2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，，
由中间三组的人数成等差数列可知，
可解得，
（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为

男性
女性
合计
消费金额
20
40
60
消费金额
25
15
40
合计
45
55
100

所以有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）调查对象的周平均消费为
，
由题意，∴
.
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.
【点睛】
（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是；
（2）两类变量是否相关，应先计算的值，再与临界值比较后可判断是否相关.
（3）线性回归方程对应的直线必经过.
19．如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC=4，AB=8，D，E分别是AB，AC的中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，且⊥BD，连接，，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点.

图 甲 图乙

（1）证明：平面⊥平面DBCE；
（2）过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥的体积．
①BM=BE；②直线EM与BC所成角的大小为45°；③三棱锥的体积是三棱锥体积的
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）证明见解析
（2）条件选择见解析，
【分析】
（1）先根据折叠前后的变化得到线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；
（2）先分别选择条件得到M为的中点，再利用等体积法合理转化顶点进行求解.
（1）
解：∵D，E分别为，的中点，
∴．∵，
∴，∴．
∵，平面，平面，，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
（2）
解：选①：
∵，，
∴．∴．
∴M为的中点，
选②：
∵．
∴直线与所成角为．
又直线与所成角的大小为．
∴．∵．
∴．
∴M为的中点．
选③：
∵,
，
又，即
∴．
∴M为的中点．
∵过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，
，平面，
∴平面，
又平面平面，
∴，
∴N为的中点．
∵，又平面，
∴，
易知平面．
∴．
∴三棱锥的体积为．

20．已知函数，．
（1）时，求函数在区间上的最值；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为
（2）
【分析】
（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值；
（2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造，通过二次求导研究函数的单调性求其最值.
（1）
解：由题意，．
因为，所以当时，恒成立．
所以在上单调递减，
所以当时，取得最大值为0；
当时，取得最小值为.
（2）
解：不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，．
则．
设，
则．
∵，∴，即．
∴函数在上单调递减，
∵，∴当时，，即．
∴函数在上单调递减．
∵当时，．
∴当时，有．
∴．
∴a的取值范围是．
21．椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据短轴长和离心率可求，从而得到椭圆的标准方程；
（2）假设存在直线，则其斜率为，设的方程为，，由为垂心可得，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可得关于的方程，解该方程后可得所求的直线方程.
【详解】
（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.
，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，的方程为，所以，
所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.
设的斜率为，则，所以.
设的方程为,.
由，得，
由，得，
.
因为，所以，因为，
所以，
即，

整理得，
所以，
整理得，解得或，
当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；
当时，满足，
所以存在直线，使得是的垂心，的方程为.
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，点是曲线C上任意点，求面积的最大值，并求此时M的极径．
【答案】
（1）
（2）最大值，
【分析】
(1)化曲线的参数方程为普通方程，再借助极坐标与直角坐标互化公式化成极坐标方程即可.
(2)设出点M的坐标，求出点M到直线AB距离及线段AB长即可推理、计算作答.
（1）
曲线的参数方程(为参数)化成普通方程为：，把代入得：
，即，
所以曲线的极坐标方程是：.
（2）
依题意，设，显然，， 直线方程为，
则到直线的距离，
，
当，即，时，取得最大值，
此时，点的极径，
所以面积的最大值为，此时M的极径是.
23．已知，函数的最大值为4．
（1）求的值；
（2）求的最小值，并求此时的值．
【答案】
（1）
（2）最小值，，，
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式进行求解；（2）在第一问的基础上，利用柯西不等式进行求解.
（1）
∵，，，
，
∴．
（2）
由（1），根据柯西不等式，有
，
∴，当且仅当，即，，时，
取得最小值．