2020-2021学年四川省射洪中学校高一上学期期中考试数学试题

【考试时间:年月】

射洪中学高2020级高一上期半期考试

数学试题

（考试时间：分钟  试卷满分：分）

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷

一、选择题（本题共小题共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则（ ▲ ）

A．       B．     C．    D．

2．函数的零点所在的区间为（ ▲ ）

A．    B．            C．    D．

3．设函数，则（ ▲ ）

A．    B．     C．    D．3

4. 函数（且）恒过定点（ ▲ ）

A．         B．            C．         D．

5．函数的定义域为（ ▲ ）

A．    B．      

C．      D．

6．已知函数，则（ ▲ ）

A．是偶函数，又是增函数 B．是奇函数，又是增函数

C．是偶函数，又是减函数 D．是奇函数，又是减函数

7.设，，，则的大小关系是（ ▲ ）

A．    B．  

C．    D．

8．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ▲ ）

A．[0，4]    B．[4，6]  

C．[2，4]    D．[2，6]

9．在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ▲ ）

A．   B．   C．   D．

10．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ▲ ）

A． B．

C． D．

11．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ▲ ）

A．             B．           

C．              D．

12．已知函数是上的增函数，且，定义在上的奇函数在上为增函数且，则不等式的解集为（ ▲ ）

A．     B．   

C．     D．

第II卷

二、填空题（本题共小题，每小题分，共分）

13．函数是上的增函数，则实数的取值范围为   ▲   .

14．幂函数的图象如右图所示，则的值为   ▲  .

15．若，则    ▲    .

16．已知，若互不相等，

且，则的范围是  ▲  .

三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

.（本小题满分分）

已知集合，，全集．

当时，求；

若，求实数的取值范围．

.（本小题满分分）

计算下列各式的值：

（1）；

（2）

.（本小题满分分）

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵。研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数.

（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？

（2）若一条鲑鱼的游速在内变化，计算其耗氧量的单位数的变化范围.

.（本小题满分分）

已知函数.

（1）求函数的定义域;

（2）求函数的零点;

（3）若函数的最小值为,求的值．

.（本小题满分分）

已知定义在函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断的单调性,并用单调性定义证明；

（3）若对于任意的,不等式恒成立，求实数的取值范围.

.（本小题满分分）

已知函数：且.

（1）证明：对定义域内的所有都成立；

（2）当的定义域为时，求证：的值域为；

（3）设函数，求的最小值.

 （二○二○年十一月印制）

射洪中学高2020级高一上期半期考试

数学答案

一、选择题

1-5：A B C B D       6-10： B A C A C     11-12：D C

11、解析

利用半保值函数的定义结合函数的单调性，用函数与轴交点的横坐标与方程的根的等价关系即可求出的取值范围.

【详解】

因为函数（，且）是“半保值函数”，且定义域是，

当时，在上单调递增，在单调递增，

所以为上递增函数，

当时，在上单调递减，在单调递减，

所以为上递增函数，

所以函数（，且）为上递增函数.

又因为函数（，且）是“半保值函数”，

所以与的图象有两个不同的交点，

即有两个不同的根，所以，令 ，

则有两个不等的正根，可得，且 ，

解得或，故.故选：D

12、【详解】解：

对于，  若，则与矛盾；

若，则与矛盾；

，

当时，，当时，

对于，  为奇函数且在上为增函数

在上也为增函数，

又，    当或时，，当或时，，

即，

或        解得或，      故选：C 。

二、填空题（本题共小题，每小题分，共分）

13．   14．    或0       15.            16．         

16、【详解】

解：画出的图像，如图所示，

设，则，有，，且,,

当时，单调递减，可得其与轴交于点，可得，

故可得：，

由，可得，   故可得，

由对勾函数性质及，可得，

故可得的范围是

三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

.（本小题满分分）

解：（1）当a=2时，A=，…………………………………2分

所以A∪B=，…………………………………5分

（2）因为A∩B=A，所以A⊆B，

①当A=∅，即a-1≥2a+3即a≤-4时满足题意，…………………………………7分

②当A≠∅时，由A⊆B，有，

解得-1，…………………………………10分

综合①②得：

实数a的取值范围为：，…………………………………12分

.（本小题满分分）

解：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，

可得

.…………………………………6分

（2）原式

…………………………………12分

.（本小题满分分）

解：（1）由题，将代入函数可得，…………………………………3分

计算可得，

即它的游速为…………………………………5分

（2）由函数可知，其为单调递增函数，由，

可得…………………………………8分

所以有，即，…………………………………10分

所以鲑鱼的耗氧量的单位数的变化范围为。…………………………………12分

.（本小题满分分）

解：（1）由已知得, 解得所以函数的定义域为…………………………………3分

（2）

令,得,,…………………………………5分

即,解得,

∵,∴函数的零点是…………………………………7分

（3）由2知,,

∵,∴.,…………………………………9分

∵,∴,

∴,

∴.,…………………………………12分

.（本小题满分分）

解：（1）因为为奇函数，

所以，  即，

解得，,…………………………………3分

（3）为上的减函数，

证明如下：

任取，，且，

则，,…………………………………5分

因为，所以

所以，

所以为上的单调递减函数；,…………………………………7分

（3）由函数为奇函数，可，

又因函数为减函数，所以有，所以,…………………………………10分

因对于任意恒成立，所以，

所以实数的取值范围为。,…………………………………12分

.（本小题满分分）

【分析】

（1）代入的解析式即可证明结论正确；

（2）分离常数后，根据解析式判断出函数在上的单调性，根据单调性求出最值后可得值域；

（3），当，且时，，再分类讨论与的大小，求出最小值；当时，，再分类讨论与的大小，求出最小值.

解：（1）因为

，

所以对定义域且内的所有都成立；,…………………………………3分

（2）因为在上单调递增，

所以当时，取得最小值，最小值为，

当时，取得最大值，最大值为，

所以的值域为.,…………………………………5分

（3），,…………………………………6分

当，且时，，

若，即时，函数在和上为增函数，所以，

若，即且时，，

若时，的最小值不存在，,…………………………………8分

当时，，

若，即时，，

若，即时，在上为减函数，的最小值不存在，

又因为时，，,…………………………………10分

综上所述：当且时，，

当时，的最小值不存在，

当时，，

当时，，,…………………………………12分