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2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C． D．0.151151115…
2．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
3．（2分）下列命题为真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．的算术平方根是9
D．点（1，﹣a2）一定在第四象限
4．（2分）如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2分）某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2分）在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣1
9．（2分）一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3
10．（2分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）的立方根是 ．
12．（3分）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：16 9 14 11 12 10 16 8 17 19，则这组数据的极差是 ．
13．（3分）比较大小 ．
14．（3分）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 （不需要写出自变量取值范围）
15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝ ．
三、（本题16分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
四、（本题8分）
19．（8分）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为 ．
五、（本题16分）
20．（8分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．
（1）本次接受随机调查的学生有 人，扇形图中m的值为 ；
（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；
②本次调查获取的样本数据的众数为 ，中位数为 ；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（ ， ）
（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为 ；
（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为 ．
六、（本题18分）
22．（9分）某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
23．（9分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为 立方厘米．
七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝ ．
思维探索：
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），与直线y＝x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）当DE＝OA时，求△CDE的面积；
（3）当△OAD沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C． D．0.151151115…
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：＝是有理数，
，﹣，0.151151115…是无理数．
故选：C．
2．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
3．（2分）下列命题为真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．的算术平方根是9
D．点（1，﹣a2）一定在第四象限
【分析】直接利用平行线的判定和性质、算术平方根的定义以及点的坐标特点分别判断即可．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是真命题；
C、的算术平方根是3，原命题是假命题；
D、若a＝0，则﹣a2＝0，则点（1，﹣a2）在x轴上，故原命题是假命题；
故选：B．
4．（2分）如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质得出∠FED，利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝60°，
∵∠FED＝∠C+∠F，
∴∠F＝∠FED﹣∠C＝60°﹣40°＝20°，
故选：B．
5．（2分）某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据“同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元”列出方程组即可．
【解答】解：若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为：．
故选：B．
6．（2分）在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（5，﹣5）的横坐标大于0，纵坐标小于0，所以点P所在的象限是第四象限．
故选：D．
7．（2分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
8．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣1
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC＝，推出OC＝﹣1即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣1，
∴点C表示的数为1﹣．
故选：C．
9．（2分）一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】由一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m﹣2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m＝﹣3．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），
∴m2﹣3＝6，
解得：m1＝﹣3，m2＝3．
又∵y的值随着x的值的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
∴m＝﹣3．
故选：D．
10．（2分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．
【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；
B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项正确；
C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；
D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）的立方根是 ﹣ ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根根是：﹣．
故答案是：﹣．
12．（3分）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：16 9 14 11 12 10 16 8 17 19，则这组数据的极差是 11 ．
【分析】根据极差＝最大值﹣最小值求解可得．
【解答】解：这组数据的最大值为19，最小值为8，
所以这组数据的极差为19﹣8＝11，
故答案为：11．
13．（3分）比较大小 ＜ ．
【分析】先估算出的范围，再求出的范围，再得出答案即可．
【解答】解：∵2＜3，
∴﹣2＞﹣＞﹣3，
∴1＞3﹣＞0，
∴＞＞0，
即，
故答案为：＜．
14．（3分）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 y＝3x+10 （不需要写出自变量取值范围）
【分析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y＝kx+10．代入求解．
【解答】解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，
故答案为：y＝3x+10
15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 13 ．
【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
在Rt△ABC中，
∵AB＝π•＝5，CB＝12，
∴AC＝＝＝13，
故答案为：13．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝ 或 ．
【分析】当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，可知BC＝BP＝1，再用面积法求出CD的长，从而得出答案；当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，利用①同理解决问题．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝3，
①当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠BPC＝，∠BPC+∠BCP＝∠ABC，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BC＝BP＝1，
∵S△ABC＝，
∴，
∴CD＝，
∴S；
②当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，
∵BQ＝BC，
∴∠BQC＝∠BCQ，
∴∠BQC＝，
∵∠BPC＝，
∴∠BPC＝∠BQC，
∴CP＝CQ，
∵CD⊥AB，
∴PD＝DQ，
由①得CD＝，
∴BD＝＝，
∴PB＝PD+BD＝DQ+BD＝BQ+2BD＝，
∴S＝，
综上，△BPC的面积为或．
三、（本题16分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×
＝﹣
＝﹣
＝；
（2）原式＝3﹣15×+×4
＝3﹣5+
＝﹣．
18．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得y﹣9+3y＝7，
解得y＝4，
把y＝4代入②，得x＝﹣5，
故方程组的解为；
（2），
①+②，得3x＝8，
解得x＝，
把x＝代入②，得y＝，
故方程组的解为．
四、（本题8分）
19．（8分）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为 34° ．
【分析】（1）由对顶角相等得∠FMB＝∠CMG，从而得∠ENC+∠ENC＝180°，则有DE∥FG，可判断∠3＝∠BFG，再由平行线的性质可得∠BFG＝∠2，从而得证∠2＝∠3；
（2）由平行线的性质得∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，结合条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠FMB＝∠CMG，
∴∠ENC+∠ENC＝180°，
∴DE∥FG，
∴∠3＝∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠2，
∴∠2＝∠3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴∠1+70°+∠ACB+∠1＝180°，
即∠1+70°+42°+∠1＝180°，
解得：∠1＝34°，
∴∠B＝∠1＝34°．
故答案为：34°．
五、（本题16分）
20．（8分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．
（1）本次接受随机调查的学生有 20 人，扇形图中m的值为 30 ；
（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；
②本次调查获取的样本数据的众数为 6本 ，中位数为 6本 ；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？
【分析】（1）根据A的人数与百分比求出总人数，用C类的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：4÷20%＝20（人），
m%＝＝30%，
∴m＝30．
故答案为：20，30；
（2）①平均数是：＝6.3（本），
②∵6出现的次数最多，出现了8次，
∴众数为6本，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10、11个数的平均数，
∴中位数为＝6（本）；
故答案为：6本，6本；
（3）根据题意得：
260×6.3＝1638（本），
答：估计这260名学生共捐赠图书1638本．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（ 5 ， ﹣2 ）
（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为 （3，0） ；
（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为 2 ．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）连接BC1交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
（3）过A作AM⊥BC于M，进而解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
C1的坐标（5，﹣2）；
故答案为：5；﹣2；
（2）如图所示：P（3，0）；
故答案为：（3，0）；
（3）AM＝2；
故答案为：2．
六、（本题18分）
22．（9分）某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
【分析】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，根据购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解．
【解答】解：设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，
由题意得，，
解得：．
答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．
23．（9分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 乙 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为 84 立方厘米．
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令两个y差值为5，求解即可；
（3）先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的，即可求出乙槽中铁块体积．
【解答】解：（1）根据题意可知甲槽中的水位逐渐降低，乙槽中的水位逐渐升高；
∴图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，
故答案为：乙；甲．
（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1＝kx+b，y2＝mx+n，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴，解得，
，解得，
∴AB解析式为y＝3x+2，DE解析式为y＝﹣2x+12，
令|3x+2﹣（﹣2x+12）|＝5，解得x＝1或3，
∴注水1分钟或3分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为（19﹣14）×＝15（厘米），
∴乙槽中铁块体积为（19﹣2﹣15）×36×＝84（立方厘米），
故答案为：84．
七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝ 2 ．
思维探索：
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC＝3，则AE＝2，证明△AED≌△BFD，得到BF＝AE即可求解；
（2）过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，证明△AED≌△BGD，得到BG＝AE，DE＝DG，根据勾股定理解答；
（3）分两种情形，当点E在线段AC上时，当点E在线段AC的延长线上时，设BF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝3，
∵CE＝1，
∴AE＝2，
∵BF∥AC．
∴∠A＝∠DBF，∠AED＝∠F，
在△AED和△BED中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴BF＝AE＝2，
故答案为：2；
（2）线段AE，EF，BF之间的数量关系为：AE2+BF2＝EF2．
理由如下：过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，
由（1）可知，△ADE≌△BDG，
∴BG＝AE，DE＝DG，
∵FD⊥DE，
∴FE＝FG，
∵BG∥AC，
∴∠CBG＝180°﹣∠C＝90°，
∴BG2+BF2＝FG2，
∴AE2+BF2＝EF2；
（3）如图，当点E在线段AC上时，
∵AC＝3，AB＝，EC＝1，
∴AE＝2，BC＝＝5，
设BF＝x，则CF＝5﹣x．
∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴BF＝．
如图，当点E在线段AC的延长线上时，过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，
由（1）可知，△ADE≌△BDG，
∴AE＝BG，DE＝DG，
∵FD⊥DE，
∴FE＝FG，
∵BG∥AC，
∴∠GBG＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴BG2+BF2＝FG2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵AC＝3，AB＝，EC＝1，
∴AE＝4，BC＝＝5，
设BF＝x，则CF＝5﹣x．
∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴BF＝1．
综上所述，BF的长为或1．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），与直线y＝x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）当DE＝OA时，求△CDE的面积；
（3）当△OAD沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出k与b，确定出直线解析式，与直线OC联立求出C坐标即可；
（2）设D的横坐标为m，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，求出OA的长，根据DE＝OA求出m的值进而求出三角形CDE面积即可；
（3）分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），
∴，
解得：，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+25，
联立得：，
解得：，
∴点C的坐标为（12，9）；
（2）∵A（，0），
∴OA＝，
设点D的横坐标为m，则点D坐标为（m，﹣m+25），
∵DE∥y轴，
∴点E坐标为（m，m），
∴DE＝|﹣m+25﹣m|＝|﹣m+25|，
∵DE＝OA＝×＝，
∴|﹣m+25|＝，
解得：m＝6或m＝18，
当m＝6时，S△CDE＝××（12﹣6）＝；
当m＝18时，S△CDE＝××（18﹣12）＝，
综上，△CDE的面积为；
（3）过C作CG⊥OA于点G，
∵点C的坐标为（12，9），
∴OG＝12，CG＝9，OA＝，
∴AG＝﹣12＝，
∴OC2＝OG2+CG2＝144+81＝225，AC2＝AG2+CG2＝+81＝，
OC2+AC2＝，OA2＝，
∴OC2+AC2＝OA2，
∴∠OCA＝90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A1时，设DA1交x轴于点H，如图1所示：
根据折叠的性质可得：OA＝OA1，∠DAO＝∠DA1O，
又∵∠COA＝∠HOA1，
∴△COA≌△HOA1（ASA），
∴∠A1HO＝∠ACO＝90°，HO＝CO＝＝15，
∴DA1∥y轴，
当x＝﹣15时，y＝﹣×（﹣15）+25＝45，
∴D坐标为（﹣15，45）；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A2时，沿长A2D交x轴于点I，如图2所示：
根据折叠的性质可得：OA＝OA2，∠DAO＝∠DA2O，
又∵∠COA＝∠IOA2，
∴△COA≌△IOA2（ASA），
∴∠A2IO＝∠ACO＝90°，IO＝CO＝15，
∴DA2∥y轴，
当x＝15时，y＝﹣×15+25＝5，
∴点D坐标为（15，5），
综上，点D的坐标为（15，5）或（﹣15，45）．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C． D．0.151151115…
2．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
3．（2分）下列命题为真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．的算术平方根是9
D．点（1，﹣a2）一定在第四象限
4．（2分）如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2分）某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2分）在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣1
9．（2分）一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3
10．（2分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）的立方根是 ．
12．（3分）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：16 9 14 11 12 10 16 8 17 19，则这组数据的极差是 ．
13．（3分）比较大小 ．
14．（3分）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 （不需要写出自变量取值范围）
15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝ ．
三、（本题16分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
四、（本题8分）
19．（8分）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为 ．
五、（本题16分）
20．（8分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．
（1）本次接受随机调查的学生有 人，扇形图中m的值为 ；
（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；
②本次调查获取的样本数据的众数为 ，中位数为 ；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（ ， ）
（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为 ；
（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为 ．
六、（本题18分）
22．（9分）某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
23．（9分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为 立方厘米．
七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝ ．
思维探索：
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），与直线y＝x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）当DE＝OA时，求△CDE的面积；
（3）当△OAD沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．
2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B．﹣
C． D．0.151151115…
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：＝是有理数，
，﹣，0.151151115…是无理数．
故选：C．
2．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
3．（2分）下列命题为真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．的算术平方根是9
D．点（1，﹣a2）一定在第四象限
【分析】直接利用平行线的判定和性质、算术平方根的定义以及点的坐标特点分别判断即可．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是真命题；
C、的算术平方根是3，原命题是假命题；
D、若a＝0，则﹣a2＝0，则点（1，﹣a2）在x轴上，故原命题是假命题；
故选：B．
4．（2分）如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质得出∠FED，利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝60°，
∵∠FED＝∠C+∠F，
∴∠F＝∠FED﹣∠C＝60°﹣40°＝20°，
故选：B．
5．（2分）某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据“同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元”列出方程组即可．
【解答】解：若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为：．
故选：B．
6．（2分）在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（5，﹣5）的横坐标大于0，纵坐标小于0，所以点P所在的象限是第四象限．
故选：D．
7．（2分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
8．（2分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣1
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC＝，推出OC＝﹣1即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣1，
∴点C表示的数为1﹣．
故选：C．
9．（2分）一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】由一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m﹣2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m＝﹣3．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），
∴m2﹣3＝6，
解得：m1＝﹣3，m2＝3．
又∵y的值随着x的值的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
∴m＝﹣3．
故选：D．
10．（2分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．
【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；
B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项正确；
C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；
D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）的立方根是 ﹣ ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根根是：﹣．
故答案是：﹣．
12．（3分）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：16 9 14 11 12 10 16 8 17 19，则这组数据的极差是 11 ．
【分析】根据极差＝最大值﹣最小值求解可得．
【解答】解：这组数据的最大值为19，最小值为8，
所以这组数据的极差为19﹣8＝11，
故答案为：11．
13．（3分）比较大小 ＜ ．
【分析】先估算出的范围，再求出的范围，再得出答案即可．
【解答】解：∵2＜3，
∴﹣2＞﹣＞﹣3，
∴1＞3﹣＞0，
∴＞＞0，
即，
故答案为：＜．
14．（3分）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为 y＝3x+10 （不需要写出自变量取值范围）
【分析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y＝kx+10．代入求解．
【解答】解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，
故答案为：y＝3x+10
15．（3分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 13 ．
【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
在Rt△ABC中，
∵AB＝π•＝5，CB＝12，
∴AC＝＝＝13，
故答案为：13．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝ 或 ．
【分析】当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，可知BC＝BP＝1，再用面积法求出CD的长，从而得出答案；当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，利用①同理解决问题．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝3，
①当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠BPC＝，∠BPC+∠BCP＝∠ABC，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BC＝BP＝1，
∵S△ABC＝，
∴，
∴CD＝，
∴S；
②当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，
∵BQ＝BC，
∴∠BQC＝∠BCQ，
∴∠BQC＝，
∵∠BPC＝，
∴∠BPC＝∠BQC，
∴CP＝CQ，
∵CD⊥AB，
∴PD＝DQ，
由①得CD＝，
∴BD＝＝，
∴PB＝PD+BD＝DQ+BD＝BQ+2BD＝，
∴S＝，
综上，△BPC的面积为或．
三、（本题16分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×
＝﹣
＝﹣
＝；
（2）原式＝3﹣15×+×4
＝3﹣5+
＝﹣．
18．（8分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得y﹣9+3y＝7，
解得y＝4，
把y＝4代入②，得x＝﹣5，
故方程组的解为；
（2），
①+②，得3x＝8，
解得x＝，
把x＝代入②，得y＝，
故方程组的解为．
四、（本题8分）
19．（8分）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为 34° ．
【分析】（1）由对顶角相等得∠FMB＝∠CMG，从而得∠ENC+∠ENC＝180°，则有DE∥FG，可判断∠3＝∠BFG，再由平行线的性质可得∠BFG＝∠2，从而得证∠2＝∠3；
（2）由平行线的性质得∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，结合条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠FMB＝∠CMG，
∴∠ENC+∠ENC＝180°，
∴DE∥FG，
∴∠3＝∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠2，
∴∠2＝∠3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴∠1+70°+∠ACB+∠1＝180°，
即∠1+70°+42°+∠1＝180°，
解得：∠1＝34°，
∴∠B＝∠1＝34°．
故答案为：34°．
五、（本题16分）
20．（8分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．
（1）本次接受随机调查的学生有 20 人，扇形图中m的值为 30 ；
（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；
②本次调查获取的样本数据的众数为 6本 ，中位数为 6本 ；
（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？
【分析】（1）根据A的人数与百分比求出总人数，用C类的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：4÷20%＝20（人），
m%＝＝30%，
∴m＝30．
故答案为：20，30；
（2）①平均数是：＝6.3（本），
②∵6出现的次数最多，出现了8次，
∴众数为6本，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10、11个数的平均数，
∴中位数为＝6（本）；
故答案为：6本，6本；
（3）根据题意得：
260×6.3＝1638（本），
答：估计这260名学生共捐赠图书1638本．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（ 5 ， ﹣2 ）
（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为 （3，0） ；
（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为 2 ．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）连接BC1交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
（3）过A作AM⊥BC于M，进而解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
C1的坐标（5，﹣2）；
故答案为：5；﹣2；
（2）如图所示：P（3，0）；
故答案为：（3，0）；
（3）AM＝2；
故答案为：2．
六、（本题18分）
22．（9分）某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
【分析】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，根据购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解．
【解答】解：设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，
由题意得，，
解得：．
答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．
23．（9分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 乙 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为 84 立方厘米．
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令两个y差值为5，求解即可；
（3）先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的，即可求出乙槽中铁块体积．
【解答】解：（1）根据题意可知甲槽中的水位逐渐降低，乙槽中的水位逐渐升高；
∴图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，
故答案为：乙；甲．
（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1＝kx+b，y2＝mx+n，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴，解得，
，解得，
∴AB解析式为y＝3x+2，DE解析式为y＝﹣2x+12，
令|3x+2﹣（﹣2x+12）|＝5，解得x＝1或3，
∴注水1分钟或3分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；
（3）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为（19﹣14）×＝15（厘米），
∴乙槽中铁块体积为（19﹣2﹣15）×36×＝84（立方厘米），
故答案为：84．
七、（本题12分）
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝ 2 ．
思维探索：
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC＝3，则AE＝2，证明△AED≌△BFD，得到BF＝AE即可求解；
（2）过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，证明△AED≌△BGD，得到BG＝AE，DE＝DG，根据勾股定理解答；
（3）分两种情形，当点E在线段AC上时，当点E在线段AC的延长线上时，设BF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝3，
∵CE＝1，
∴AE＝2，
∵BF∥AC．
∴∠A＝∠DBF，∠AED＝∠F，
在△AED和△BED中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴BF＝AE＝2，
故答案为：2；
（2）线段AE，EF，BF之间的数量关系为：AE2+BF2＝EF2．
理由如下：过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，
由（1）可知，△ADE≌△BDG，
∴BG＝AE，DE＝DG，
∵FD⊥DE，
∴FE＝FG，
∵BG∥AC，
∴∠CBG＝180°﹣∠C＝90°，
∴BG2+BF2＝FG2，
∴AE2+BF2＝EF2；
（3）如图，当点E在线段AC上时，
∵AC＝3，AB＝，EC＝1，
∴AE＝2，BC＝＝5，
设BF＝x，则CF＝5﹣x．
∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴BF＝．
如图，当点E在线段AC的延长线上时，过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，
由（1）可知，△ADE≌△BDG，
∴AE＝BG，DE＝DG，
∵FD⊥DE，
∴FE＝FG，
∵BG∥AC，
∴∠GBG＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴BG2+BF2＝FG2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵AC＝3，AB＝，EC＝1，
∴AE＝4，BC＝＝5，
设BF＝x，则CF＝5﹣x．
∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴BF＝1．
综上所述，BF的长为或1．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），与直线y＝x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）当DE＝OA时，求△CDE的面积；
（3）当△OAD沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出k与b，确定出直线解析式，与直线OC联立求出C坐标即可；
（2）设D的横坐标为m，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，求出OA的长，根据DE＝OA求出m的值进而求出三角形CDE面积即可；
（3）分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），
∴，
解得：，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+25，
联立得：，
解得：，
∴点C的坐标为（12，9）；
（2）∵A（，0），
∴OA＝，
设点D的横坐标为m，则点D坐标为（m，﹣m+25），
∵DE∥y轴，
∴点E坐标为（m，m），
∴DE＝|﹣m+25﹣m|＝|﹣m+25|，
∵DE＝OA＝×＝，
∴|﹣m+25|＝，
解得：m＝6或m＝18，
当m＝6时，S△CDE＝××（12﹣6）＝；
当m＝18时，S△CDE＝××（18﹣12）＝，
综上，△CDE的面积为；
（3）过C作CG⊥OA于点G，
∵点C的坐标为（12，9），
∴OG＝12，CG＝9，OA＝，
∴AG＝﹣12＝，
∴OC2＝OG2+CG2＝144+81＝225，AC2＝AG2+CG2＝+81＝，
OC2+AC2＝，OA2＝，
∴OC2+AC2＝OA2，
∴∠OCA＝90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A1时，设DA1交x轴于点H，如图1所示：
根据折叠的性质可得：OA＝OA1，∠DAO＝∠DA1O，
又∵∠COA＝∠HOA1，
∴△COA≌△HOA1（ASA），
∴∠A1HO＝∠ACO＝90°，HO＝CO＝＝15，
∴DA1∥y轴，
当x＝﹣15时，y＝﹣×（﹣15）+25＝45，
∴D坐标为（﹣15，45）；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A2时，沿长A2D交x轴于点I，如图2所示：
根据折叠的性质可得：OA＝OA2，∠DAO＝∠DA2O，
又∵∠COA＝∠IOA2，
∴△COA≌△IOA2（ASA），
∴∠A2IO＝∠ACO＝90°，IO＝CO＝15，
∴DA2∥y轴，
当x＝15时，y＝﹣×15+25＝5，
∴点D坐标为（15，5），
综上，点D的坐标为（15，5）或（﹣15，45）．
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