2022年新高考数学二轮提升数列专题第20讲《数列中的存在性问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第20讲 数列中的存在性问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2021•永州月考）在数列中，，则　　
A．25 B．32 C．62 D．72
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】令，，，可得函数的单调性，进而去掉的绝对值符号，即可得出结论．
【解答】解：令，，，
则在，上单调递减，在上单调递增，




，
故选：．
2．（2021•龙岩期末）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【专题】35：转化思想；：分类法；55：点列、递归数列与数学归纳法
【分析】求出，运用裂项相消求和，可得前项和为，判断可得为递增数列，求得最值，讨论为奇数和偶数，由恒成立问题解法，求得的范围，即可得到所求范围．
【解答】解：，
前项和为
，
可得为递增数列，且有取得最小值；
且，
当为偶数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得①
当为奇数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故选：．
二．填空题（共1小题）
3．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，对于任意的，总存在，使得成立，则　2　，　　．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算
【分析】先利用，，以及，都是大于1的正整数求出，再利用求出满足条件的的值即可求出等差数列的通项公式．
【解答】解：，，
以及
，
，
，都是大于1的正整数，
．
又因为．
又，，则．
又，由数的整除性，得是5的约数．
故，，
．
故答案为：2；．
三．解答题（共19小题）
4．（2021•天津模拟）设是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项，数列的前项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，是和的等比中项，所以，
即，解得或．
又因为，所以．
所以．
因为，
所以，当时，，
所以，所以，即．
当时，，
又因为，所以，
所以数列是以2为首项、3为公比的等比数列．
所以．
（2）因为，
故数列的前项和为．
5．（2021春•南京月考）已知数列数列的前项和且，，，且．
（1）求的值，并证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算
【分析】（1）令，可求得的值，由，可得，两式相减即可得；
（2）由（1）可知数列的奇数项和偶数项均成等差数列，利用等差数列通项公式分别求奇数项和偶数项的表达式，最后写出分段函数形式即可；
（3）利用等差数列前项和公式，分别求出前100项中奇数项和偶数项的和，即可求解．
【解答】解：（1）令，得，又，所以，
由题可得，，①
，②
②①得，，
因为，所以．
（2）由（1）可知：数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为1，
所以，即为奇数时，；
数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为，所以，
即为偶数时，，
综上所述，．
（3）由（2）可知




．
6．（2021•徐州三模）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及数列的前项和为；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
【专题】计算题
【分析】（1）把等差数列的求和公式代入整理后可求得，代入利用裂项法求得．
（2）根据（1）中求得分别表示出，，根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得的范围，进而根据和均为正整数求得，进而
【解答】解：（1）因为是等差数列，
由，
又因为，所以，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若，，成等比数列，则，
即．
由，
可得，
所以，
从而：，又，且，
所以，此时．
故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．
7．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，数列满足，为数列的前项和．
（1）求数列的通项公式和数列的前项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算
【分析】（1）先利用等差数列的前项和公式及性质求得，然后求得，再利用裂项相消法求得数列的前项和；
（2）先对分奇数、偶数两种情况分别求出使不等式恒成立的的取值范围，再求其交集即可．
【解答】解：（1），，，
，，
，
；
（2）恒成立，
恒成立，
①当为奇数时，有恒成立，解得：；
②当为偶数时，有恒成立，解得：；
综合①②知：，
的取值范围为．
8．（2021•广陵区校级期中）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设，为数列的前项和，求不超过的最大整数．
【专题】34：方程思想；：作差法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；
（3）求得，．，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和，计算可得所求最大值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
由，得，而，．
由，解得．．
由，可得①，
由，可得②，
联立①②，解得，，由此可得．
数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，
由，，有，
，，
上述两式相减，得．
得．数列的前项和为．
（3）由（1）知：，则．
，
，
，
不超过的最大整数为2021．
9．（2021春•宜昌月考）已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由．
【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列
【分析】（1）由数列的前项和结合求得数列的通项公式，再由，可得为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列，的通项公式代入，然后利用裂项相消法求和，可得使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）分为偶数和奇数分类分析得答案．
【解答】解：（1）由．
故当时，．
时，，而当时，，
，
又，即，
为等差数列，于是．
而，故，，
因此，，即；
（2）

．
．
易知单调递增，由，得，而，故，；
（3），
①当为奇数时，为偶数．
此时，，
，．
②当为偶数时，为奇数．
此时，．
，
（舍去）．
综上，存在唯一正整数，使得成立．
10．（2014•菏泽一模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有．
（Ⅰ）若的首项为4，公比为2，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，可得数列的通项，即可求数列的前项和；
（Ⅱ）因为，，所以，假设数列中第项可以表示为该数列中其它，，项，，，的和，可得根据等比数列的求和公式，可得，从而可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以当时，，
两式相减，得，
而当时，，适合上式，从而，（3分）
又因为是首项为4，公比为2的等比数列，即，
所以，（4分）
从而数列的前项和；（6分）
（Ⅱ）因为，，所以，．（8分）
假设数列中第项可以表示为该数列中其它，，项，，，的和，
即，从而，易知，（9分）
又，
所以，此与矛盾，从而这样的项不存在．（12分）
11．（2021•岳阳县模拟）在数列中，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
【专题】方程思想；反证法；转化法；等差数列与等比数列；数学运算
【分析】（1）由，得，变形为，即可证明结论．
（2）由（1）可得：，可得：．假设存在正整数、、满足题意，则，可得，整理化简，利用数的奇偶性进而得出结论．
【解答】（1）证明：由，得，从而，
，
又，故数列为等比数列；
（2）解：由（1）可得：，可得：．
假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
即
两边同除以得，
由得，，；
所以为奇数，而，均为偶数，
故式不能成立；
即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列．
12．（2021•重庆模拟）已知数列的前项和为，且6，，成等差数列．
（1）求；
（2）是否存在，使得对任意成立？若存在，求的所有取值；否则，请说明理由．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用数列的前项和公式和恒成立问题的应用求出的值．
【解答】解：（1）数列的前项和为，且6，，成等差数列．
故①，
当时，解得，
当时，②，
①②得：（常数），
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列；
所以．
（2）由（1）得：，
所以，
所以对任意的恒成立．
由于且时，，
所以，故为偶数，
当时成立，
当时，，
故．
13．（2021•黄浦区校级月考）已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，，，数列满足，．
（1）求，；
（2）求；
（3）设有穷数列，，2，，的前项和为，是否存在，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）由数列的递推式可得，结合，依次求得，的值；
（2）由，得，两式作差可得，结合等差数列的通项公式和前项和求；
（3）运用组合数公式的性质求得，再由二项式系数的性质可得，即可判断存在性．
【解答】解：（1）由，，，
可得，
由，
可得，
由，可得，即，解得；
由，即，解得；
（2）由，
得，
两式作差可得：．
即，
又，
两式相减可得，
可得数列中奇数项和偶数均为公差为2的等差数列，
且，，，
可得，；
（3）由，

，
由于为正整数，可得为奇数，即为奇数，
故不存在，使得成立．
14．（2021•九龙坡区期中）设等差数列的前项和为，已知，．数列满足，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算
【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和叠加法的应用求出数列的通过项公式；
（Ⅱ）利用存在性问题的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为的等差数列的前项和为，已知，
所以，解得，
由于．则
所以，解得，
故，
所以．
数列满足，，
所以，，，
所有项的和为，
整理得，（首项符合通项），
所以．
（Ⅱ）假设存在这样的正整数和使得，，成等差数列，
所以，
由于，，，
所以，
整理得，
化简得：，
当时，即，（舍去），
当，即，，符合题意，
故存在这样的正整数和，使得，，成等差数列．
15．（2021•鼓楼区校级模拟）已知是各项均为正数的无穷数列，且满足，．
（1）若，，求的值；
（2）设数列满足，其前项的和为．
①求证：是等差数列；
②若对于任意的，都存在，使得成立．求证：．
【专题】综合题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1）由条件分别令，，解方程可得的值；
（2）①由题意可得，分别考虑，，结合等差数列的定义和作差法，化简整理即可；
②运用等差数列的求和公式，结合构造数列法，运用数列的单调性，即可得证．
【解答】解：（1）因为，，
所以令，得，
即，平方整理得．
因为，所以，
同理令，得，
即，平方整理得．
因为，所以，因此．
（2）证明：①由题意，得．
当时，，所以是公差为0的等差数列．
当时，因为，
所以　①，
从而有　②．
①②，得，
化简得．
因为，且数列的各项均为正数，，
所以，从而，因此．
因为，所以．
综上，是公差为的等差数列．
②因为是公差为的等差数列，所以．
因为对于任意的，都存在，使得，
所以有，
整理得．
ⅰ．若，则，结论成立．
ⅱ．若，．
当时，；
当时，必为整数，即．
因为，所以，，所以，
从而．
要证．
下证，即证，
从而只要证，
因此要证．
记，则．
记，则，
所以（1），
从而，
所以（1）．
16．（2021•思明区校级期中）在数列中，前项和为，且．记为等比数列的前项和，且，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）记，是否存在，，使得，若存在，求出所有满足题意的，若不存在，请说明理由．
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算
【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：时，；时，，化简可得的通项公式；等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到的通项公式；
（Ⅱ）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和，由不等式的性质和解方程可判断存在，．
【解答】解：（Ⅰ），可得时，；
时，，对也成立，
则数列的通项公式为；
等比数列的公比设为，由，，
可得，则，，
解得，即；
（Ⅱ），
则，
，
相减可得
，
可得，
假设存在，，使得，
可得，
则，解得，
故存在，，且，，使得，
17．（2021春•启东市校级月考）设是公差不为零的等差数列，满足，数列的通项公式为
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列，中的公共项按从小到大的顺序构成数列，请直接写出数列的通项公式；
（3）记，是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【专题】32：分类讨论；49：综合法；54：等差数列与等比数列；11：计算题
【分析】（1）设公差为，则，由性质得，由此能求出的通项公式．
（2）．
（3）假设存在正整数、，使得，，成等差数列，则．从而，由此存在正整数，；，；，使得，，成等差数列．
【解答】解：（1）设公差为，则，
由性质得，
因为，所以，即，
又由得，解得，，
所以的通项公式为．（5分）
（2）（10分）
（3）假设存在正整数、，使得，，成等差数列，
则．
所以，化简得：．（13分）
当，即时，，符合题意；
当，即时，，符合题意
当，即时，（舍去）；
当，即时，，符合题意．
所以存在正整数，；，；，
使得，，成等差数列．（16分）
18．（2021•徐州期中）已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，
（ⅰ）求证：数列是等差数列；
（ⅱ）在数列中，对任意，总存在，，（其中，使，，构成等比数列，求出符合条件的一组．
【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列
【分析】（1）令数列为，则，从而，，由此能求出．
（2）由，得到，由此能证明数列是等差数列．
由，各，假设一奇数使得：，则，由此能求出结果．
【解答】解：（1）数列各项均为正数，，，
且对任意恒成立．
令数列为，
，
，
，，
．
证明：（2），，
．
数列是等差数列．
解：，
，
假设一奇数使得：，
则，
，，
综合，得：
可构造一组解为，，，
，．
19．（2021•通州区期中）已知数列的前项和满足，数列满足．
（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；
（Ⅱ）令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）数列中是否存在，使，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，请说明理由．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过，说明数列是首项为1，公比为2的等比数列．求出通项公式，然后求解的通项公式．
（Ⅱ）求出，判断数列的单调性，结合对于一切的正整数恒成立，得到求解即可．
（Ⅲ）假设存在，使，，成等差数列，推出．说明是与条件矛盾，得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列满足，
当时，． （1分）
当时，，，
即． （2分）
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列． （3分）
所以，； （4分）
又由已知，得． （5分）
（Ⅱ）依题意得，． （6分）
因为， （7分）
所以当时，取得最大值． （8分）
因为对于一切的正整数恒成立，
所以． （9分）
解得或，
所以实数的取值范围是或； （10分）
（Ⅲ）假设存在，使，，成等差数列，
则，即． （11分）
两边同时除以，得①． （12分）
因为为偶数，为奇数，这与①矛盾． （13分）
所以不存在，使，，成等差数列． （14分）
20．（2021•钦州三模）数列中，，，，数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在，，使得，若存在，求出所有满足题意的，，若不存在，请说明理由．
【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）对等式两边同除以，结合等差数列的定义和通项公式可得所求通项；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，可得，再由方程思想，可得，的值．
【解答】解：（1），，，
，
数列是等差数列，公差为1，首项为1．
，可得；
（2）由题意，易得，
，
则，
两式相减得

，
所以，
由于，又，
，解得．
故存在，使得．
21．（2021•武侯区校级一模）已知是递增数列，其前项和为，，且，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）是否存在，，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由．
【专题】34：方程思想；：转化法；54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）由已知可得：，得，，解得，因为，时，．相减利用数列的单调性、等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）满足条件的正整数，，不存在，分析如下：假设存在，，，使得成立，
则．利用通项公式代入得出矛盾即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，得，，解得，
因为，时，．
故，
整理，得．
因为是递增数列，且，故，．
则数列是以2为首项，为公差的等差数列．
所以．
（Ⅱ）满足条件的正整数，，不存在，证明如下：
假设存在，，，使得成立，
则．
整理，得，①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数，，不存在．
22．（2021春•陆川县校级月考）已知数列的前项和为，点在直线上．数列满足，且，前11项和为154．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）将点代入直线上，求得，当时，，当时，．由即，为等差数列，．，即可求得公差，即可求得的通项公式；
（2）由题意可知，当为奇数时，为偶数，，求得，舍去，同理当为偶数时，为奇数，求得（舍去），故不存在正整数，使得成立．
【解答】解：（1）由题意，得，即．
故当时，．
注意到时，，而当时，，
．
又，即，
为等差数列，于是．
而，故，，
，
即． （6分）
（2），
①当为奇数时，为偶数．
此时，
，（舍去）
②当为偶数时，为奇数．
此时，，，
所以，（舍去）．
综上，不存在正整数，使得成立． （12分）