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2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
4．（3分）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
5．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．
其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是 ．
8．（3分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 支．
9．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
10．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+2向左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是 ．
11．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22＝ ．
12．（3分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…，如此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解一元二次方程．
（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．
（2）x2+4x﹣3＝0．
18．（10分）疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据所给信息填空：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
85
85
八年级
80
160
（2）八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．
19．（8分）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
21．（6分）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
22．（8分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
25．（10分）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
26．（10分）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且＝，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由题意知，Δ＝4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故选：A．
4．（3分）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N，
∵∠MON＝76°．
∴∠M＝（180°﹣76°）＝52°，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝﹣1，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．
其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（﹣1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x＝3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b＝﹣4a，再根据x＝﹣1时y＝0及2＜c＜3可判断④，根据x＝1时y＞0可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一交点为（5，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，②正确．
∵﹣2＜2﹣，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，③错误．
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴x＝﹣1时，y＝a+4a+c＝5a+c＝0，
∵2＜c＜3，
∴﹣3＜5a＜﹣2，
解得﹣＜a＜﹣，
∴④正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝﹣3a+c＞0，
∴c﹣3a＞0，⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是 直线x＝2 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，然后得到对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣5＝﹣2（x﹣2）2+3，
∴抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是直线x＝2，
故答案为：直线x＝2．
8．（3分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 15 支．
【分析】用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．
【解答】解：根据题意知，粉笔总数量为10÷＝25（支），
则彩色粉笔的数量为25﹣10＝15（支），
故答案为：15．
9．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 20π ．
【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，
∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，
则圆锥的侧面积为×8π×5＝20π，
故答案为：20π．
10．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+2向左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是 y＝x2+1 ．
【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1向左移一个单位后，得到新的抛物线，
∴新的抛物线的表达式是：y＝（x﹣1﹣1）2+1，即y＝x2+1．
故答案为：y＝x2+1．
11．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22＝ ﹣3 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，再变形x12x2+x1x22得到x1•x2•（x1+x2），然后利用整体代入思想计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
所以x12x2+x1x22＝x1•x2•（x1+x2）＝﹣1×3＝﹣3．
故答案为﹣3
12．（3分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ 16 ．
【分析】先连接OB，由于OC⊥AB可知AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△OBC中，OA＝10，OE＝6，
∴AE＝＝8，
∴AB＝2AE＝2×8＝16．
故答案为：16．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 51° ．
【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
15．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∵圆的半径为2，
∴AH＝3，BC＝AB＝2，
∴AE＝，AF＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝×2×3+××1×3＝4，
故答案为：4．
16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…，如此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝ 4041 ．
【分析】根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律．
【解答】解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：（1，1），
第2段抛物线的顶点坐标为：（3，﹣1），
第3段抛物线的顶点坐标为：（5，1），
第4段抛物线的顶点坐标为：（7，﹣1），
故第2021段抛物线的顶点为：（4041，1），
∴m＝4041，
故答案为：4041．
三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解一元二次方程．
（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．
（2）x2+4x﹣3＝0．
【分析】（1）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【解答】解：（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3），
移项，得x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
提公因式，得（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2+4x﹣3＝0，
移项，得x2+4x＝3，
配方，得x2+4x+4＝3+4，
则（x+2）2＝7，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2．
18．（10分）疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据所给信息填空：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
85
85
85
70
八年级
85
80
100
160
（2）八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．
【分析】（1）根据中位数、方差、平均数及众数的定义求解即可；
（2）根据方差和中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）七年级5位选手的成绩为75、80、85、85、100，
其中位数为85分，方差为×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
八年级5位选手的成绩为70、75、80、100、100，
所以其平均数为＝85（分），众数为100分，
故答案为：85、70、85、100；
（2）①七年级成绩的方差小于八年级，成绩比八年级稳定；
②七年级的中位数比八年级高，所以七年级成绩好一些．
19．（8分）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有20种可能的结果；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，
∴二次函数顶点在坐标轴上的概率为＝．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把y＝x2﹣4x+3通过配方得到y＝（x﹣2）2﹣1，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0得该二次函数与x轴的交点坐标；
（3）利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
21．（6分）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC即为所求．
（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．
（2）连接OE，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE＝OD＝1，
∴四边形OEBD是正方形，
∴BD＝BE＝1，
∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，
∴（4+x）2＝52+（1+x）2，
∴x＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝．
22．（8分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【分析】（1）扇形AOB的面积减去△AOB的面积就是弧田的实际面积；
（2）先根据弧田面积＝（弦×矢+矢2）计算出弧田的面积，再与（1）中的结果相减，即可相差的值．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝AB＝×2＝（m），
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+＝（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
＝﹣×2×1
＝（﹣）m2，
∴弧田的实际面积为（﹣）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积＝（2×1+12）
＝（+）m2，
∴两者之差为：﹣﹣（+）
≈﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论．．
【解答】解：（1）∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴x1＝m+2，x2＝1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2＝±1．
∴m＝﹣3或﹣1．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD，如图，证明∠ODA＝∠CAD，则可判断OD∥AC，再根据平行线的性质得到OD⊥BC，然后根据切线的判定定理得到BC为⊙O的切线；
（2）先利用圆周角定理得到∠BOD＝60°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出OD＝2，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，OD＝BD＝×2＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
25．（10分）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率是x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+每天增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，根据该厂要保证每天生产口罩3900万个，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要节省投入，即可得出应该增加4条生产线．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，
整理得：y2﹣31y+130＝0，
解得：y1＝5，y2＝26（不合题意舍去）．
答：应该增加5条生产线．
26．（10分）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且＝，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
【分析】连接BC，根据垂径定理得到，等量代换得到，根据圆周角定理得到∠CBF＝∠BCG，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：连接BC，
∵AB是⊙O直径，弦CG⊥AB于点D，
∴，
∵＝，
∴，
∴∠CBF＝∠BCG，
∴CE＝BE．
27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【分析】（1）先求出C点坐标为（﹣1，0），再把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c，求解即可；
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），因为PM∥x轴且点M在直线l：y＝2x+2上，所以M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），则PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，再根据二次函数的最值求法求解即可；
（3）因为抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，所以顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），由旋转可得，新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，因为向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，所以3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，所以平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，所以E （0，5）；设F（1，t），G（m，n），若以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，则需要分线段BE是对角线或BE是边两种情况，分别根据菱形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线1：y＝2x+2与抛物线相交于点C，
∴C点坐标为（﹣1，0），
把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），
∵PM∥x轴，
∴M纵坐标为a2﹣2a﹣3，
∵点M在直线l：y＝2x+2上，
∴M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），
∴PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，
∴当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）∵抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），
∵把抛物线绕点O旋转180°，
∴旋转前后对应点关于原点对称，
∴新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，
设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，
∴3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，
∴平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，
∵E是平移后抛物线与y轴的交点，
∴E （0，5），
∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
∴设F（1，t），G（m，n），
∵以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，
∴线段BE可能是对角线也可能是边，
①当BE是对角线时，
∵菱形BFEG对角线BE，FG互相垂直平分，
∵E （0，5），B （3，0），
∴BE的中点坐标为（，），
∵BE的中点坐标也是FG的中点，
∴G （2，5﹣t），
∵GE＝GB，
∴（2﹣0）2+（5﹣t﹣5）2＝（2﹣3）2+（5﹣t﹣0）2，
解得：t＝，即G点坐标（2，）；
②当BE为边长时，BE＝BF，
由距离公式得，（3﹣0）2+（0﹣5）2＝（3﹣1）2+（0﹣t）2，
解得：t＝±，
∵菱形BFGE对角线互相垂直平分，
∴由中点坐标公式可得，G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）；
综上，满足题意的点G的坐标为：（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
4．（3分）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
5．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．
其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是 ．
8．（3分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 支．
9．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
10．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+2向左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是 ．
11．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22＝ ．
12．（3分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…，如此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解一元二次方程．
（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．
（2）x2+4x﹣3＝0．
18．（10分）疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据所给信息填空：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
85
85
八年级
80
160
（2）八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．
19．（8分）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
21．（6分）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
22．（8分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
25．（10分）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
26．（10分）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且＝，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由题意知，Δ＝4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故选：A．
4．（3分）如图，MN为⊙O的弦，∠MON＝76°，则∠OMN的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N，
∵∠MON＝76°．
∴∠M＝（180°﹣76°）＝52°，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝﹣1，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．
其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（﹣1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x＝3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b＝﹣4a，再根据x＝﹣1时y＝0及2＜c＜3可判断④，根据x＝1时y＞0可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一交点为（5，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，②正确．
∵﹣2＜2﹣，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，③错误．
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴x＝﹣1时，y＝a+4a+c＝5a+c＝0，
∵2＜c＜3，
∴﹣3＜5a＜﹣2，
解得﹣＜a＜﹣，
∴④正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝﹣3a+c＞0，
∴c﹣3a＞0，⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是 直线x＝2 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，然后得到对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣5＝﹣2（x﹣2）2+3，
∴抛物线y＝﹣2x2+8x﹣5的对称轴是直线x＝2，
故答案为：直线x＝2．
8．（3分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 15 支．
【分析】用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．
【解答】解：根据题意知，粉笔总数量为10÷＝25（支），
则彩色粉笔的数量为25﹣10＝15（支），
故答案为：15．
9．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 20π ．
【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，
∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，
则圆锥的侧面积为×8π×5＝20π，
故答案为：20π．
10．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+2向左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是 y＝x2+1 ．
【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1向左移一个单位后，得到新的抛物线，
∴新的抛物线的表达式是：y＝（x﹣1﹣1）2+1，即y＝x2+1．
故答案为：y＝x2+1．
11．（3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22＝ ﹣3 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，再变形x12x2+x1x22得到x1•x2•（x1+x2），然后利用整体代入思想计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
所以x12x2+x1x22＝x1•x2•（x1+x2）＝﹣1×3＝﹣3．
故答案为﹣3
12．（3分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ 16 ．
【分析】先连接OB，由于OC⊥AB可知AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△OBC中，OA＝10，OE＝6，
∴AE＝＝8，
∴AB＝2AE＝2×8＝16．
故答案为：16．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 51° ．
【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
15．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∵圆的半径为2，
∴AH＝3，BC＝AB＝2，
∴AE＝，AF＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝×2×3+××1×3＝4，
故答案为：4．
16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…，如此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝ 4041 ．
【分析】根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律．
【解答】解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：（1，1），
第2段抛物线的顶点坐标为：（3，﹣1），
第3段抛物线的顶点坐标为：（5，1），
第4段抛物线的顶点坐标为：（7，﹣1），
故第2021段抛物线的顶点为：（4041，1），
∴m＝4041，
故答案为：4041．
三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解一元二次方程．
（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．
（2）x2+4x﹣3＝0．
【分析】（1）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【解答】解：（1）x（x﹣3）＝﹣（x﹣3），
移项，得x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
提公因式，得（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2+4x﹣3＝0，
移项，得x2+4x＝3，
配方，得x2+4x+4＝3+4，
则（x+2）2＝7，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2．
18．（10分）疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据所给信息填空：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
85
85
85
70
八年级
85
80
100
160
（2）八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．
【分析】（1）根据中位数、方差、平均数及众数的定义求解即可；
（2）根据方差和中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）七年级5位选手的成绩为75、80、85、85、100，
其中位数为85分，方差为×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
八年级5位选手的成绩为70、75、80、100、100，
所以其平均数为＝85（分），众数为100分，
故答案为：85、70、85、100；
（2）①七年级成绩的方差小于八年级，成绩比八年级稳定；
②七年级的中位数比八年级高，所以七年级成绩好一些．
19．（8分）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有20种可能的结果；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，
∴二次函数顶点在坐标轴上的概率为＝．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把y＝x2﹣4x+3通过配方得到y＝（x﹣2）2﹣1，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0得该二次函数与x轴的交点坐标；
（3）利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
21．（6分）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC即为所求．
（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．
（2）连接OE，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE＝OD＝1，
∴四边形OEBD是正方形，
∴BD＝BE＝1，
∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，
∴（4+x）2＝52+（1+x）2，
∴x＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝．
22．（8分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【分析】（1）扇形AOB的面积减去△AOB的面积就是弧田的实际面积；
（2）先根据弧田面积＝（弦×矢+矢2）计算出弧田的面积，再与（1）中的结果相减，即可相差的值．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝AB＝×2＝（m），
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+＝（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
＝﹣×2×1
＝（﹣）m2，
∴弧田的实际面积为（﹣）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积＝（2×1+12）
＝（+）m2，
∴两者之差为：﹣﹣（+）
≈﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论．．
【解答】解：（1）∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴x1＝m+2，x2＝1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2＝±1．
∴m＝﹣3或﹣1．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD，如图，证明∠ODA＝∠CAD，则可判断OD∥AC，再根据平行线的性质得到OD⊥BC，然后根据切线的判定定理得到BC为⊙O的切线；
（2）先利用圆周角定理得到∠BOD＝60°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出OD＝2，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，OD＝BD＝×2＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
25．（10分）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率是x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+每天增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，根据该厂要保证每天生产口罩3900万个，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要节省投入，即可得出应该增加4条生产线．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，
整理得：y2﹣31y+130＝0，
解得：y1＝5，y2＝26（不合题意舍去）．
答：应该增加5条生产线．
26．（10分）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且＝，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
【分析】连接BC，根据垂径定理得到，等量代换得到，根据圆周角定理得到∠CBF＝∠BCG，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：连接BC，
∵AB是⊙O直径，弦CG⊥AB于点D，
∴，
∵＝，
∴，
∴∠CBF＝∠BCG，
∴CE＝BE．
27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【分析】（1）先求出C点坐标为（﹣1，0），再把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c，求解即可；
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），因为PM∥x轴且点M在直线l：y＝2x+2上，所以M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），则PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，再根据二次函数的最值求法求解即可；
（3）因为抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，所以顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），由旋转可得，新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，因为向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，所以3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，所以平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，所以E （0，5）；设F（1，t），G（m，n），若以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，则需要分线段BE是对角线或BE是边两种情况，分别根据菱形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线1：y＝2x+2与抛物线相交于点C，
∴C点坐标为（﹣1，0），
把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），
∵PM∥x轴，
∴M纵坐标为a2﹣2a﹣3，
∵点M在直线l：y＝2x+2上，
∴M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），
∴PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，
∴当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）∵抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），
∵把抛物线绕点O旋转180°，
∴旋转前后对应点关于原点对称，
∴新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，
设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，
∴3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，
∴平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，
∵E是平移后抛物线与y轴的交点，
∴E （0，5），
∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
∴设F（1，t），G（m，n），
∵以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，
∴线段BE可能是对角线也可能是边，
①当BE是对角线时，
∵菱形BFEG对角线BE，FG互相垂直平分，
∵E （0，5），B （3，0），
∴BE的中点坐标为（，），
∵BE的中点坐标也是FG的中点，
∴G （2，5﹣t），
∵GE＝GB，
∴（2﹣0）2+（5﹣t﹣5）2＝（2﹣3）2+（5﹣t﹣0）2，
解得：t＝，即G点坐标（2，）；
②当BE为边长时，BE＝BF，
由距离公式得，（3﹣0）2+（0﹣5）2＝（3﹣1）2+（0﹣t）2，
解得：t＝±，
∵菱形BFGE对角线互相垂直平分，
∴由中点坐标公式可得，G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）；
综上，满足题意的点G的坐标为：（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
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