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2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）在实数0、π、、、﹣、3.1010010001中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，6 B．2，3，4 C．1，，2 D．3，4，
5．（3分）一次函数y＝kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
7．（3分）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（ ）cm．
A．13 B．17 C．13或17 D．17或11
8．（3分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．乙的速度是30km/h
B．甲出发1小时后两人第一次相遇
C．甲的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）比较大小：4 7．（填“＞”、“＝”、“＜”）
11．（3分）小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为 kg．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 cm．
13．（3分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），则方程组的解是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 ．
16．（3分）如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 ．
三、解答题。（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣；
（2）求x的值：x2﹣9＝0．
18．（6分）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．
（1）求a的值；
（2）求a+1的立方根．
19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上）
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
20．（8分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝68°，求∠EBC的度数．
21．（8分）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ．
23．（10分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）在坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 ．
24．（10分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
25．（10分）已知正比例函数与一次函数y＝﹣3x﹣5的图象交于点A，且OA＝OB．
（1）求点A坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请问这样的点P有几个不同的位置？简述理由．
26．（12分）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，和，
直角梯形的面积为．
由图形可知：＝++．
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab．
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
[类比尝试]
（1）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求：①△ABC的面积；②BD的长．
[拓展探究]
（2）如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①写出点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
27．（14分）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）直线l1的表达式为 ；
（2）若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
（3）如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解答】解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故选：D．
2．（3分）在实数0、π、、、﹣、3.1010010001中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：无理数有：π、，共2个，
故选：B．
3．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，6 B．2，3，4 C．1，，2 D．3，4，
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故符合题意；
D、32+42≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．（3分）一次函数y＝kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置．
【解答】解：因为k＜0，
一次项系数k＞0，则y随x的增大而减少，函数经过二，四象限；
常数项b＞0，则函数一定经过一、二象限；
因而一次函数y＝kx+（1+k）的图象一定经过第一、二、四象限．
故选：D．
6．（3分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）．
故选：C．
7．（3分）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（ ）cm．
A．13 B．17 C．13或17 D．17或11
【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17；
当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17．
故选：B．
8．（3分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．乙的速度是30km/h
B．甲出发1小时后两人第一次相遇
C．甲的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
乙的速度为：60÷3＝20（km/h），故选项A错误，不符合题意；
甲的速度为：（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h），故选项C正确，符合题意；
40÷60＝（小时），
即甲出发小时后两人第一次相遇，故选项B错误，不符合题意；
乙出发3小时时走了60千米，此时甲到达B地，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
10．（3分）比较大小：4 ＜ 7．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【分析】根据平方的幂越大底数越大，可得答案．
【解答】解：（4）2＝48，72＝49，
∴，
故答案为：＜．
11．（3分）小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为 44 kg．
【分析】利用四舍五入得到近似数，得到答案．
【解答】解：43.85≈44（kg）
∴小亮的体重约为44kg，
故答案为：44．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 5 cm．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB＝（cm），
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝5cm，
故答案为：5．
13．（3分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1 ＞ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣1＞﹣2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），则方程组的解是 ．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），、
∴方程组的解为．
故答案为．
15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝，
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝+＝，
∴6CD+10CD＝48，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
16．（3分）如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题。（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣；
（2）求x的值：x2﹣9＝0．
【分析】（1）先算开方，再计算减法即可；
（2）先移项，再求9的平方根即可．
【解答】解：（1）﹣
＝4﹣3
＝1；
（2）移项得，x2＝9，
开平方得，x＝±3．
18．（6分）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．
（1）求a的值；
（2）求a+1的立方根．
【分析】（1）根据正数的平方根的性质解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）由题得，x+5+4x﹣15＝0．
∴5x＝10．
∴x＝2．
∴x+5＝7．
∴a＝49．
（2）由（1）得，a＝49．
∴＝8．
∴a+1的立方根是2．
19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上）
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
【分析】（1）根据网格即可在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）根据网格即可在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
【解答】解：（1）如图，直角三角形ABC即为所求；
（2）如图，等腰三角形DEF即为所求．
20．（8分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝68°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CE，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形外角的性质计算即可得解．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝68°，
∴∠EBC＝34°．
21．（8分）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】（1）根据点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．即可在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）根据轴对称的性质即可写出点B关于x轴对称点的坐标．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系xOy即为所求；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）∵B（﹣2，2），
∴点B关于x轴对称点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
23．（10分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）在坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 x＜2 ．
【分析】（1）利用正比例的函数的定义，设y﹣2＝kx，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数表达式；
（2）利用一次函数解析式确定一次函数x轴和y轴的交点坐标，然后描点画一次函数图象；
（3）利用函数图象，找出直线在x轴上所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设y﹣2＝kx，
把x＝﹣2，y＝4代入得4﹣2＝﹣2k，
解得k＝﹣1，
∴y﹣2＝﹣x，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，则一次函数y轴的交点坐标为（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝2，则一次函数x轴的交点坐标为（2，0）；
如图，
（3）当y＞0时，x＜2．
故答案为：x＜2．
24．（10分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，根据“1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于b，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，
依题意，得：y＝20x+10（50﹣x）＝10x+500，
即y与x的函数关系式：y＝10x+500；
（3）∵y＝10x+500，10＞0，
∴y随x的增大而增大，
依题意，得：50﹣x≤2x，
解得：x≥，
∴≤x≤50，
∵x是整数，
∴当x＝17时，y最小值＝10×17+500＝670（元），
50﹣17＝33（件），
∴当购买甲种奖品17件，乙种奖品33件时，所需费用最少，最少费用为670元．
25．（10分）已知正比例函数与一次函数y＝﹣3x﹣5的图象交于点A，且OA＝OB．
（1）求点A坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请问这样的点P有几个不同的位置？简述理由．
【分析】（1）联立方程组求解即可得出点A的坐标；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，即可得到点B的坐标，根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，分别进行讨论计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
∴A（﹣3，4）；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，
∴B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∴S△AOB＝×5×3＝；
（3）由（2）知，OB＝5．
∵OA＝OB，
∴OA＝5．
设P（m，0），
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP．
①当OA＝OP时，
∴|m|＝5，
解得：m＝﹣5或5，
∴P1（5，0），P2（﹣5，0）；
②当OA＝AP时，点O与点P关于直线x＝﹣3对称，
∴P（﹣6，0）；
③当OP＝AP时，点P为线段OA的垂直平分线与x轴的交点，
OA的中点坐标为（﹣，2），
设过OA中点且与OA垂直的直线解析式为y＝x+b，
将（﹣，2）代入，得：2＝﹣×+b，
解得：b＝，
∴y＝x+，
令y＝0，得0＝x+，
解得：x＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（﹣6，0）或（﹣，0），共有4个点符合题意．
26．（12分）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，和，
直角梯形的面积为．
由图形可知：＝++．
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab．
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
[类比尝试]
（1）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求：①△ABC的面积；②BD的长．
[拓展探究]
（2）如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①写出点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
【分析】（1）①利用矩形面积减去周围三个三角形面积即可得出答案；
②利用面积法可求出BD的长；
（2）①令x＝0时，y＝6，令y＝0时，x＝﹣8，即可求出点A、B的坐标；
②由面积得OC＝＝＝，再利用勾股定理求出AC的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）①△ABC的面积为4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；
由勾股定理知AC＝＝2，
∴×AC×BD＝7，
∴×2×BD＝7，
解得BD＝；
（2）①由y＝x+6得，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，6）；
②由A（﹣8，0），B（0，6）得OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，
由面积得OC＝＝＝，
在△AOC中，由勾股定理得AC＝＝＝，
设点C到x轴的距离为h，
∴AC×OC＝OA×h，
∴×＝8×h，
解得h＝，
∴点C到x轴的距离为．
27．（14分）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）直线l1的表达式为 y＝﹣x﹣3 ；
（2）若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
（3）如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
【解答】解：（1）由题意知：
A（﹣6，0，B（0，﹣3），
设直线l1 的表达式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x﹣3；
故答案为：y＝﹣x﹣3；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∴AM+MN最小，
∴△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
∴直线CM的解析式为y＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）如图2，
由得，
∴，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y＝mx+n，
∴，解得，
∴y＝x+3，
令y＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝＝9，
∵S△CDG＝，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）在实数0、π、、、﹣、3.1010010001中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，6 B．2，3，4 C．1，，2 D．3，4，
5．（3分）一次函数y＝kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
7．（3分）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（ ）cm．
A．13 B．17 C．13或17 D．17或11
8．（3分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．乙的速度是30km/h
B．甲出发1小时后两人第一次相遇
C．甲的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）比较大小：4 7．（填“＞”、“＝”、“＜”）
11．（3分）小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为 kg．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 cm．
13．（3分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），则方程组的解是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 ．
16．（3分）如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 ．
三、解答题。（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣；
（2）求x的值：x2﹣9＝0．
18．（6分）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．
（1）求a的值；
（2）求a+1的立方根．
19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上）
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
20．（8分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝68°，求∠EBC的度数．
21．（8分）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ．
23．（10分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）在坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 ．
24．（10分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
25．（10分）已知正比例函数与一次函数y＝﹣3x﹣5的图象交于点A，且OA＝OB．
（1）求点A坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请问这样的点P有几个不同的位置？简述理由．
26．（12分）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，和，
直角梯形的面积为．
由图形可知：＝++．
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab．
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
[类比尝试]
（1）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求：①△ABC的面积；②BD的长．
[拓展探究]
（2）如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①写出点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
27．（14分）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）直线l1的表达式为 ；
（2）若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
（3）如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市大丰区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解答】解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故选：D．
2．（3分）在实数0、π、、、﹣、3.1010010001中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：无理数有：π、，共2个，
故选：B．
3．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，6 B．2，3，4 C．1，，2 D．3，4，
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故符合题意；
D、32+42≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．（3分）一次函数y＝kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置．
【解答】解：因为k＜0，
一次项系数k＞0，则y随x的增大而减少，函数经过二，四象限；
常数项b＞0，则函数一定经过一、二象限；
因而一次函数y＝kx+（1+k）的图象一定经过第一、二、四象限．
故选：D．
6．（3分）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）．
故选：C．
7．（3分）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（ ）cm．
A．13 B．17 C．13或17 D．17或11
【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17；
当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17．
故选：B．
8．（3分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．乙的速度是30km/h
B．甲出发1小时后两人第一次相遇
C．甲的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
乙的速度为：60÷3＝20（km/h），故选项A错误，不符合题意；
甲的速度为：（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h），故选项C正确，符合题意；
40÷60＝（小时），
即甲出发小时后两人第一次相遇，故选项B错误，不符合题意；
乙出发3小时时走了60千米，此时甲到达B地，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
10．（3分）比较大小：4 ＜ 7．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【分析】根据平方的幂越大底数越大，可得答案．
【解答】解：（4）2＝48，72＝49，
∴，
故答案为：＜．
11．（3分）小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为 44 kg．
【分析】利用四舍五入得到近似数，得到答案．
【解答】解：43.85≈44（kg）
∴小亮的体重约为44kg，
故答案为：44．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 5 cm．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB＝（cm），
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝5cm，
故答案为：5．
13．（3分）已知P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1 ＞ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣1＞﹣2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），则方程组的解是 ．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n交于P（1，），、
∴方程组的解为．
故答案为．
15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝，
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝+＝，
∴6CD+10CD＝48，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
16．（3分）如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题。（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣；
（2）求x的值：x2﹣9＝0．
【分析】（1）先算开方，再计算减法即可；
（2）先移项，再求9的平方根即可．
【解答】解：（1）﹣
＝4﹣3
＝1；
（2）移项得，x2＝9，
开平方得，x＝±3．
18．（6分）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．
（1）求a的值；
（2）求a+1的立方根．
【分析】（1）根据正数的平方根的性质解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）由题得，x+5+4x﹣15＝0．
∴5x＝10．
∴x＝2．
∴x+5＝7．
∴a＝49．
（2）由（1）得，a＝49．
∴＝8．
∴a+1的立方根是2．
19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上）
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
【分析】（1）根据网格即可在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）根据网格即可在图（2）中，画一个等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
【解答】解：（1）如图，直角三角形ABC即为所求；
（2）如图，等腰三角形DEF即为所求．
20．（8分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝68°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CE，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形外角的性质计算即可得解．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝68°，
∴∠EBC＝34°．
21．（8分）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】（1）根据点A坐标为（﹣4，6），点C坐标为（﹣1，4）．即可在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）根据轴对称的性质即可写出点B关于x轴对称点的坐标．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系xOy即为所求；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）∵B（﹣2，2），
∴点B关于x轴对称点的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
23．（10分）已知y﹣2与x成正比，且当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）在坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 x＜2 ．
【分析】（1）利用正比例的函数的定义，设y﹣2＝kx，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数表达式；
（2）利用一次函数解析式确定一次函数x轴和y轴的交点坐标，然后描点画一次函数图象；
（3）利用函数图象，找出直线在x轴上所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设y﹣2＝kx，
把x＝﹣2，y＝4代入得4﹣2＝﹣2k，
解得k＝﹣1，
∴y﹣2＝﹣x，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，则一次函数y轴的交点坐标为（0，2）；
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝2，则一次函数x轴的交点坐标为（2，0）；
如图，
（3）当y＞0时，x＜2．
故答案为：x＜2．
24．（10分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，根据“1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于b，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，
依题意，得：y＝20x+10（50﹣x）＝10x+500，
即y与x的函数关系式：y＝10x+500；
（3）∵y＝10x+500，10＞0，
∴y随x的增大而增大，
依题意，得：50﹣x≤2x，
解得：x≥，
∴≤x≤50，
∵x是整数，
∴当x＝17时，y最小值＝10×17+500＝670（元），
50﹣17＝33（件），
∴当购买甲种奖品17件，乙种奖品33件时，所需费用最少，最少费用为670元．
25．（10分）已知正比例函数与一次函数y＝﹣3x﹣5的图象交于点A，且OA＝OB．
（1）求点A坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请问这样的点P有几个不同的位置？简述理由．
【分析】（1）联立方程组求解即可得出点A的坐标；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，即可得到点B的坐标，根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP，分别进行讨论计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
∴A（﹣3，4）；
（2）在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0，得y＝﹣5，
∴B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∴S△AOB＝×5×3＝；
（3）由（2）知，OB＝5．
∵OA＝OB，
∴OA＝5．
设P（m，0），
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况：OA＝OP或OA＝AP或OP＝AP．
①当OA＝OP时，
∴|m|＝5，
解得：m＝﹣5或5，
∴P1（5，0），P2（﹣5，0）；
②当OA＝AP时，点O与点P关于直线x＝﹣3对称，
∴P（﹣6，0）；
③当OP＝AP时，点P为线段OA的垂直平分线与x轴的交点，
OA的中点坐标为（﹣，2），
设过OA中点且与OA垂直的直线解析式为y＝x+b，
将（﹣，2）代入，得：2＝﹣×+b，
解得：b＝，
∴y＝x+，
令y＝0，得0＝x+，
解得：x＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（﹣6，0）或（﹣，0），共有4个点符合题意．
26．（12分）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法．如图1，两个直角边分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，和，
直角梯形的面积为．
由图形可知：＝++．
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝c2+2ab．
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角边长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
[类比尝试]
（1）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，求：①△ABC的面积；②BD的长．
[拓展探究]
（2）如图3坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和B，直线l2经过坐标原点，且l2⊥l1，垂足为C．
求：①写出点A和点B的坐标．②点C到x轴的距离．
【分析】（1）①利用矩形面积减去周围三个三角形面积即可得出答案；
②利用面积法可求出BD的长；
（2）①令x＝0时，y＝6，令y＝0时，x＝﹣8，即可求出点A、B的坐标；
②由面积得OC＝＝＝，再利用勾股定理求出AC的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）①△ABC的面积为4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；
由勾股定理知AC＝＝2，
∴×AC×BD＝7，
∴×2×BD＝7，
解得BD＝；
（2）①由y＝x+6得，
当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，6）；
②由A（﹣8，0），B（0，6）得OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，
由面积得OC＝＝＝，
在△AOC中，由勾股定理得AC＝＝＝，
设点C到x轴的距离为h，
∴AC×OC＝OA×h，
∴×＝8×h，
解得h＝，
∴点C到x轴的距离为．
27．（14分）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）直线l1的表达式为 y＝﹣x﹣3 ；
（2）若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
（3）如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
【解答】解：（1）由题意知：
A（﹣6，0，B（0，﹣3），
设直线l1 的表达式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x﹣3；
故答案为：y＝﹣x﹣3；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∴AM+MN最小，
∴△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
∴直线CM的解析式为y＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）如图2，
由得，
∴，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y＝mx+n，
∴，解得，
∴y＝x+3，
令y＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝＝9，
∵S△CDG＝，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
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