初中人教版第十八章 平行四边形综合与测试学案及答案

第十八章 平行四边形本章小结

学习目标

1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点)

2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点)

3.总结本章的重要思想方法.

学习过程

一、合作探究

阅读第十八章全章内容,回答下列问题:

1.填写下表:总结

2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件.

3.三角形的中位线及其性质是什么?

4.直角三角形斜边上的中线有何性质?

5.矩形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四个　　　　三角形;菱形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四　　　　三角形;正方形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形. 

6.矩形有　　　　条对称轴,菱形有　　　　条对称轴,正方形有　　　　条对称轴. 

二、自主练习

【例1】 如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件　　　　,使四边形AECF是平行四边形,并证明你的结论. 

【例2】 如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.

【例3】 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的长.

【例4】 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)

【例5】 如图,△ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断△DEF的形状,并说明理由.

三、跟踪练习

1.已知▱ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD= (　　)

A.21 cm B.6 cm

C.10.5 cm D.3 cm

2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长(　　)

A.12 cm B.6 cm

C.16 cm D.8 cm

3.在△ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE=　　　　cm. 

4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是　　　　cm. 

5.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积是　　　　. 

6.已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长.

四、变式演练

1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.

(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是　　　　,并证明; 

(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由.

2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B'.

(1)请用尺规在图中作出△AEB'(保留作图痕迹);

(2)试求B',C两点之间的距离.

五、达标检测

(一)选择题

1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是(　　)

A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD

B.AD∥BC,∠A=∠C

C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是(　　)

A. B.2

C. D.2

3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知点A(2,0),B,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,则长方形花坛ABCD的周长是(　　)

A.36 m B.48 m

C.96 m D.60 m

(二)填空题

6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于　　　　. 

7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为　　　　　. 

8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为　　　　. 

9.如图,▱ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为10,△FCB的周长为22,则FC的长为　　　　. 

10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到　　　条折痕,如果对折n次,可以得到　　　条折痕. 

(三)解答题

11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD.

12.已知:在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,∠1=∠2.

(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;

(2)求证:∠CEG=∠AGE.

参考答案

一、合作探究

1.

续　表

2.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角.

3.略

4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

5.略

6.2　2　4.

二、自主练习

【例1】选①(答案不唯一)

证明:如图,连接AC交BD于O.

∴AO=CO,OB=OD.

又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF.

又∵AO=CO,

∴四边形AECF为平行四边形.

【例2】 解:四边形EFGH为平行四边形.

如图,连接AC,在△ACD中,H,G分别为AD,CD的中点,

∴HG∥AC,HG=AC.

同理:EF∥AC,EF=AC.

∴HG∥EF,HG=EF.

∴四边形EFGH为平行四边形.

【例3】 解:∵四边形ABCD为菱形,

∴AO=AC=4 cm,OB=BD=3 cm.

AC⊥BD,

∴在Rt△AOB中,AB==5(cm).

又∵S△ABD=DH·AB=AO·BD.

∴DH=(cm).

【例4】 解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE.

又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF.

∴S△AOE=S△BOF.

∴S四边形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=S正方形ABCD.

【例5】 解:△DEF为等腰三角形.

在Rt△BEC中,∵F为BC的中点,∴EF=BC,

同理:FD=BC,∴FD=EF.

∴△DEF为等腰三角形.

三、跟踪练习

1.D　2.A　3.2　4.34　5.10

6.解:由菱形的性质得:AB=BC,

又∵∠B=60°,

∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4.

∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16.

四、变式演练

1.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).

证明:如题图,∵BE∥CF,∴∠1=∠2.

∵点H是边BC的中点,∴BH=CH.

又∵∠3=∠4,

∴△BEH≌△CFH.

(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下:

如图,连接BF,CE,∵△BEH≌△CFH,

∴BH=CH,EH=FH.

∴四边形BFCE是平行四边形.

又∵BH=EH,∴BC=EF,

∴四边形BFCE是矩形.

2.解:(1)如图所示.

(2)如图,连接BB',B'C,设BB'与AE交于点F.

因为点B,B'关于直线AE对称,

所以BE=B'E,

所以∠EBB'=∠EB'B.

因为BE=EC,所以B'E=EC,

所以∠ECB'=∠EB'C.

因为∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°,

所以∠BB'C=90°.

因为BC=6 cm,E是BC的中点,

所以BE=3 cm.

在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF= cm,所以BB'= cm.

在Rt△BB'C中,根据勾股定理,得

B'C=.

故B',C'两点之间的距离为cm.

五、达标检测

1.C　2.D　3.C　4.C　5.C

6.30°　7.5　8.20　9.6　10.15　2n-1

11.证明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b,

∴∠CDE=∠CBE=90°,

∴△CBE,△CDE为直角三角形,

∵点M是EC的中点,

∴DM=BM=EC,

∴DM=BM;

(2)∵DM=BM,

∴△MDB为等腰三角形,

又∵N为BD的中点,

∴MN为BD边上的中线,

∴MN⊥BD(三线合一).

12.解:(1)∵点F为CE的中点,

∴CE=CD=2CF=4.

又∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AB=CD=4.

在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=.

(2)证明:如图,延长AG,BC交于点H.

∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C,

∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF.

∵点F为CE的中点,即CF=EF=CE,

又CE=CD,∴CG=GD=CD.

∵AD∥BC,

∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH.

∴△ADG≌△HCG.

∴AG=HG.

∵∠AEH=90°,

∴EG=AH=GH.

∴∠GEH=∠H=∠AGE.