新疆喀什第六中学2021-2022学年高三12月联考数学试题

高三调研测试

数学试题

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单选题

1．已知集合，则M中元素的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知向量，向量，求函数在区间上的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

3．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5

4．已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：

根据表格中的数据求得回归方程，则下列说法中正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

5．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

6．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

7．集合，，以为定义域，为值域的函数的个数为（    ）

A．60 B．150 C．540 D．

8．已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象的一个对称中心为

C．函数的图象的一条对称轴方程为

D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到

9．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）

A． B． C．2 D．

10．已知数列满足，若前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值是（    ）

A．60 B．62 C．63 D．65

11．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ）

A． B． C．7 D．

12．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

二、填空题

13．复数，则的虚部是_________________．

14．已知，，则的最大值为___________．

15．已知椭圆的长轴长为8，是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求椭圆的标准方程__________

16．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是________．

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)已知，，分别是的内角，，所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：

（1）求；

（2）若，求的周长的最大值.

条件①：；条件②：．

18．(本题12分)在正三棱台中，是边长为的等边三角形，且.已知，，，分别是线段，的中点，当直线上一动点在射线上时，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）连接，，已知点在平面投影是，平面是一个分别以，作为，轴的复平面，.当时，请直接写出的虚部（不要求写出过程）.

19．(本题12分)已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于两点

（1）若直线的斜率为1，求；

（2）若，求直线的方程.

20．(本题12分)在一种称为“幸运35”的福利彩票中，规定从01，02，…，35这35个号码中任选7个不同号码组成一注，并通过摇奖机从这35个号码中摇出7个不同的号码作为特等奖.与特等奖号码仅6个相同的为一等奖，仅5个相同的为二等奖，仅4个相同的为三等奖，其他的情况不得奖比.为了便于计算，假定每个投注号只有1次中奖机会（只计奖金额最大的奖），该期的每组号码均有人买，且彩票无重复号码比.若每注彩票为2元，特等奖奖金为100万元/注，一等奖奖金为1万元/注，二等奖奖金为100元/注，三等奖奖金为10元/注，试求：

（1）奖金额X（元）的概率分布；

（2）这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金（不计发售彩票的费用）？

21．(本题12分)已知（a>0且），.

（1）讨论h（x）的单调性；

（2）已知当a=e时，在h（x）的定义域内有，且满足，证明：（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

22．(本题12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程；

（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．

附：23．(本题12分)已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数，对，有，求实数的取值范围．

参考答案

1．A

2．C

3．C

4．B

5．B

6．B

7．B

8．D

9．C

10．C

11．B

12．B

13．##

14．

15．

16．

17．

（1）条件选择见解析，

（2）

18．

（1）证明见解析

（2）

（3）

19．

（1）；

（2）或.

20．

（1）分布列见解析

（2）元

21．

（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，

          当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明见解析.

22．

（1）；(为参数）；

（2）（为参数）；与没有公共点.

23．

（1）

（2）