初中数学第30章 二次函数综合与测试优秀同步测试题

这是一份初中数学第30章 二次函数综合与测试优秀同步测试题，共32页。试卷主要包含了同一直角坐标系中，函数和等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
2、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
3、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
7、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（ ）
A． B．5 C．或5 D．5或
10、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．
2、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______．

3、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．
4、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

5、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
2、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．

(1)①写出A，B，C的坐标：A（ ），B（ ），C（ ）；
②求证：是直角三角形；
(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；
(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
3、抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值．
4、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．
5、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
得到：，，，，
A、，，，得，故选项错误，不符合题意；
B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意；
C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意；
D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
3、D
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．
【详解】
抛物线的对称轴为直线，
∵，，
当点和在直线的右侧，则，
解得，
当点和在直线的两侧，则，
解得，
综上所述，的范围为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
5、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；
由图象可知：抛物线开口向上，
∴a>0，
由对称轴可知：−<0，
∴b>0，故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；
所以，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
6、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
7、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
8、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：




A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
9、D
【解析】
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．
【详解】
解：当x＜3时，
令2x2-3=15，
解得x=-3；
当x≥3时，
令3x=15，
解得x=5；
由上可得，x的值是-3或5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
10、A
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．
【详解】
解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
二、填空题
1、2
【解析】
【分析】
把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．
【详解】
解：∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．
2、或## 或
【解析】
【分析】
根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．
【详解】
如图所示，抛物线与直线的交点为，，
∴当时，或．
故答案为：或．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．
3、
【解析】
【分析】
函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】
解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4、3≤a＜4或a≤-5
【解析】
【分析】
先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】
∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，
∴，
解得a＜4；
当a＞0时，，
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
当a＜0时，，
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
5、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为
又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，


故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)，C（1，0）；
(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；
(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）
【解析】
【分析】
（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．
（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．
(1)
解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（1，0）；
(2)
解：如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），
∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；
△ABP的形状为直角三角形，
证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，
∴BA2+BP2＝AP2，
∴△ABP的形状为直角三角形；
(3)
解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，
代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，
解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，
∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，
∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，
∴直线l'：y＝x，
令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
【点睛】
此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
2、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析
(2)
(3)存在，当时，最大，最大为.
【解析】
【分析】
（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；
（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可
(1)
①由，
令，则，

令，即
解得
，，
故答案为：-1，0；4，0；0，-2；
②证明：∵，，
∴，，
∴
∴是．
(2)
连接OQ，如图所示

设点Q的坐标为

(3)
过点Q作于点H，如图所示



∴
∵
∴
∴当时，最大，最大为．
【点睛】
本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．
3、 (1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解；
（2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可．
(1)
解：对称轴为，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
(2)
解：设点D的坐标为，
点D在BC的下方，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
轴，
E的坐标为，
，
，
，
当时，的最大值是．
【点睛】
本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式．
4、 (1)y=-x+120；
(2)最大日利润是2025元．
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．
(1)
解：设解析式为y=kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，
解得：，
所以y与x的关系式为y=-x+120；
(2)
解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）
=-x2+150x-3600
=-（x-75）2+2025，
∵x-30≥0，-x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x=75时，w最大=2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
【点睛】
本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
5、 (1)
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可
(1)
解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
(2)
点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
,，设直线的解析式为

解得
直线的解析式为
设，则

抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，


根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
(3)
①抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
又
当时，
解得，

当时，
当时，

②当时，

当时，
解得


则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为
令，则
解得






【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．