初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品课后测评

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品课后测评，共30页。试卷主要包含了抛物线，，的图象开口最大的是，二次函数y＝ax2+bx+c，下列函数中，随的增大而减小的是，已知点，，都在函数的图象上，则等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专项训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）A． B． C． D．2、抛物线的顶点坐标为（　　）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）3、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）A． B．C． D．4、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞05、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（       ）A． B． C． D．6、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）A． B． C． D．无法确定7、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）A． B．C． D．9、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）A． B． C． D．10、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（   ）A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）2、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．3、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．4、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．5、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若、（）的长分别是方程的两根，且．(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点，设点、点到直线的距离分别为、，试求的最大值．2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？3、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；②求证：是直角三角形；(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．5、已知二次函数的图像经过点，，．(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0）， 所以可设交点式y=（x-m）（x-n）， 分别代入，， ∴ ∵0＜m＜n＜3， ∴0＜≤4 ，0＜≤4 ， ∵m＜n， ∴ab不能取16 ， ∴0＜ab＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.2、A【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．3、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．4、D【解析】【分析】由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．【详解】解：二次函数的图象全部在轴的上方，，，，，．，．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．5、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断．【详解】解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，得到：，，，，A、，，，得，故选项错误，不符合题意；B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意；C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意；D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．6、A【解析】【分析】先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），∵||＜|1|＜|-3|，∴抛物线开口最大．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．7、C【解析】【分析】根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．【详解】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝1，∴−＝1，∴b＝−2a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①说法正确，由图象可知抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac＞0，∴②错误，由图象可知，当x＝−2时，y＜0，∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，∴③正确，由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，∵对称轴是x＝1，∴另一个根为x＝5，∴④正确，∴正确的有①③④，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．8、C【解析】【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．9、C【解析】【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．【详解】解：点，，都在函数的图象上，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．10、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；④对称轴为x=，∴，故④正确；⑤当y＝2时，，故⑤错误；∴正确的是③④故选：D【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．二、填空题1、【解析】【分析】将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．【详解】=2时：时：∴故答案为：<【点睛】本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．2、3≤a＜4或a≤-5【解析】【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，∴直线AB与y轴的交点为（0，1），设直线AB的解析式为y=kx+1，∴-k+1=0，解得k=1，∴直线AB的解析式为y=x+1，∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，∴x+1=有两个不相等实数根，∴有两个不相等实数根，∴，解得a＜4；当a＞0时，，∴a≥3，∴3≤a＜4，当a＜0时，，∴a≤-5，∴3≤a＜4或a≤-5，故答案为：3≤a＜4或a≤-5．【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．3、2【解析】【分析】把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．【详解】解：∵，∴二次函数顶点坐标为．∵顶点在x轴上，∴，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．4、0【解析】【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】令，则二次函数的图像与x轴无公共点．故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．5、2（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数图象可以直接得到答案．【详解】解：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，则当的的取值范围是：，的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．三、解答题1、 (1)(2)点的坐标为(3)【解析】【分析】（1）先求出的两根，可得点的坐标为，点的坐标为．从而得到的坐标为．再由．可得的坐标为．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为．把点代入，即可求解；（2）根据题意可设点的坐标为，则有．再由点在抛物线上，可得．从而得到，即可求解；（3）由（2）知：，而，可得到，然后过点A作．根据三角形的面积，可得．再由，可得，即可求解．(1)解：如图，过点作轴于，则为的中点．解方程得：或． 而，则点的坐标为，点的坐标为．∴的坐标为．又因为，∴．∴的坐标为． 设抛物线对应的二次函数的解析式为．∵抛物线过点，则，解得：．故抛物线对应的二次函数的解析式为．(2)∵，∴．又∵，设点的坐标为，则有．∵点在抛物线上，∴．化简得：．解得：，（舍去）．故点的坐标为．(3)由（2）知：，而，∴．过点A作．∵，∴．∵，∴．即此时的最大值为．【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．2、 (1)(2)这辆货车能安全通过，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．(1)解：∴ ，设抛物线的函数表达式为 ，∴ ，解得： ，∴抛物线的函数表达式为；(2)解：这辆货车能安全通过，理由如下：根据题意得：当 时， ，∴这辆货车能安全通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．3、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析(2)(3)存在，当时，最大，最大为.【解析】【分析】（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可(1)①由，令，则，令，即解得，，故答案为：-1，0；4，0；0，-2； ②证明：∵，，∴，，∴∴是．(2)连接OQ，如图所示设点Q的坐标为(3)过点Q作于点H，如图所示∴∵∴∴当时，最大，最大为．【点睛】本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．4、 (1)y=-x2-2x+3(2)P1（-2，3）或P2(，)(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．【解析】【分析】（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．(1)把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；(2)∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），∴OC=3，OB=1，∴设P（m，-m2-2m+3），∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，根据题意得：，解得：m1=-2，m2=-3（舍去），∴-m2-2m+3= ∴P1（-2，3），或，解得：m1＝，m2＝−3（舍去），∴ ∴P2(，)，综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．(3)连接AC交PE于点H，由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），∴PH=-m2-3m∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．5、 (1)(2)18(3)1或5【解析】【分析】（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．(1)解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），由题意知，该函数图象经过点，，，得，解得，∴二次函数的表达式为.(2)解：∵当y=0时，解得：x1=1，x2=5∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；当x=0时，y=-5，∴点C坐标为(0，-5)；把化为y=-(x-3)2+4∴点P坐标为(3，4)；由题意可画图如下： ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC=＝18，故答案是：18；(3)由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．故：m=1或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．