冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀综合训练题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀综合训练题，共31页。试卷主要包含了下列函数中，二次函数是，对于抛物线下列说法正确的是，抛物线，，的图象开口最大的是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）
2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
3、下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
4、下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝
5、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）

A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
6、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
7、抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（ ）

A． B． C． D．
9、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
10、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．
2、最大值与最小值之和为_________．
3、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）
4、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．

5、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
3、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？
(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品

①
乙种礼品
③
②
(2)解答：
4、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？
5、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积
(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
3、C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；
C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
4、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
5、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
7、A
【解析】
【分析】
先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
【详解】
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．
8、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【详解】
解：A、由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
；
故选项正确，不符合题意；
B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；
C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；
D、当时，，
，即，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
9、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点睛】
本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．
2、##
【解析】
【分析】
将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．
【详解】
解：由得：，
①当时，；
②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，
即，
整理得：，
解方程得：，
则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，
综上，的取值范围为，
所以的最大值为3，最小值为，
所以的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．
3、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．
4、x=-5或x=0##或
【解析】
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
5、-3
【解析】
【分析】
根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．
【详解】
解：抛物线与轴交于原点，
当时，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)m=2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
(1)
将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
(3)
过点A作x轴的垂线交BC于点G，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．
2、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．
3、 (1)①，②，③
(2)每天获得的最大利润为元.
【解析】
【分析】
（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；
（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.
(1)
解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，
乙种礼品调价后的销售量为：件，
乙种礼品调价后的利润为：元，
填表如下：

调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品


乙种礼品



(2)
解：设每天的销售利润为元，则



当时，
（元）
所以每天获得的最大利润为元.
【点睛】
本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.
4、 (1)
(2)货车可以通过，说明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．
(1)
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）
设抛物线的解析式为
又∵点A（0，2）在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的表达式为：．
(2)
解：令y=4，则有
解得，
∵
∴货车可以通过．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．
5、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
(1)
解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
(2)
解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
(3)
解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．