初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品测试题

九年级数学下册第三十章二次函数定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（       ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒

2、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

3、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

5、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）

A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6

6、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

7、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

8、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

9、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（       ）

A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11

10、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．

2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．

3、已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；

②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．

所有合理推断的序号是______．

4、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．

5、抛物线的顶点坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；

(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．

2、如图，直线和抛物线都经过点，．

(1)求m，n的值．

(2)求不等式的解集（直接写出答案）

3、已知二次函数y＝x2＋2x．

(1)写出该二次函数图象的对称轴．

(2)已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．

①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．

②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若 ，求点P的坐标；

(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

5、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．

【详解】

解：由题意得，

当h=3时，，

解得，

∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠CDB=30°，

∴BD=2AD=8，

当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE

=•（8-2t）•（4-t）•sin60°

=（4-t）2（0＜t＜4），

当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’

=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°

=-t2+t-16（4＜t≤8），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

3、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．

【详解】

解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；

由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；

由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；

由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2

因此④正确的，

综上所述，正确的有2个，

故选：B．

【点睛】

考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

4、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

5、C

【解析】

【分析】

根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），

∴，

解得：，

∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，

∴函数的最小值为=，即y≥-3，

故选C．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．

6、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

7、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

9、B

【解析】

【分析】

由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．

【详解】

解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，

∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，

∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，

∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，

∴3＞32+4×3+c，

∴c＜-18．

故选：B．

【点睛】

本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．

10、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；

二次函敞的图象过点，结合图象可得：

在抛物线上，

抛物线的对称轴为：

故②符合题意；

二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：

而

故③不符合题意；

当时，

又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；

综上：符合题意的有：①②④

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．

【详解】

解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

2、x＝﹣1

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.

【详解】

解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.

3、①②④

【解析】

【分析】

分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．

【详解】

解：①过，两点的直线的关系式为y=kx+b，则

，

解得，

所以直线的关系式为y=x-1，

直线y=x-1与直线y=x平行，

因此①正确；

②过，两点的双曲线的关系式为，则，

所以双曲线的关系式为

当时，

∴也在此函数的图象上，

故②正确；

③若过，两点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，

当它经过原点时，则有

解得，

对称轴x=-，

∴当对称轴0＜x=-＜时，抛物线与y轴的交点在正半轴，

当-＞时，抛物线与y轴的交点在负半轴，

因此③说法不正确；

④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b=1，即b=-a+1，

所以对称轴x=-=-=-，

因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，

故④正确，

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．

4、0

【解析】

【分析】

令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

令，则

二次函数的图像与x轴无公共点．

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．

5、 (2，-1)

【解析】

【分析】

先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．

【详解】

解：，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．

【点睛】

本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)或

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；

（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；

（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．

(1)

解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，

令，得

即

令，即

解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

(2)

点P是直线上一动点，直线的解析式为

设点，

点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，

则在上

即

解得

或

或

(3)

依题意，设点，

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

PEBC

设直线的解析式为

令，，则点的坐标为

，，

PEBC

是直角三角形

将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，

,

与点重合，

则

，

解得

或

即或

解得或

或

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．

2、 (1)m=-1，n=2

(2)x＜1或x＞3

【解析】

【分析】

（1）将点A坐标代入y=x+m可得m的值，然后把B点坐标代入直线y=x+m中求出n的值即可；

（2）根据函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，进行求解即可．

(1)

解：将点A(1，0)代入y=x+m可得1+m=0，

解得：m=-1，

∴直线AB的解析式为y=x-1，

∵点B（3，n）在直线y=x-1上，

∴n=3-1=2；

(2)

由函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，

∴不等式的解集为x＜1或x＞3．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数函数值，利用图像法解一元二次不等式，熟知相关知识是解题的关键．

3、 (1)直线x=-1

(2)①-1；②见解析

【解析】

【分析】

（1）直接根据对称轴公式求解；

（2）①将x1和x2代入函数表达式，根据y1＝y2得到方程，解之即可；

②将（x1﹣x2）（y1﹣y2）变形为（x1﹣x2）2（x1＋x2+2），再根据x1＞﹣1，x2＞﹣1判断出结果的符号，即可证明．

(1)

解：二次函数y＝x2＋2x中，

对称轴为直线x==-1；

(2)

①当x1＝3n＋4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，

y1＝（3n＋4）2＋2（3n＋4）＝9n2+30n+24，

y2＝（2n﹣1）2＋2（2n﹣1）＝4n2-1，

则9n2+30n+24＝4n2-1，

解得：n=-5或n=-1；

当时， 不符合题意，舍去，

所以

②（x1﹣x2）（y1﹣y2）

=（x1﹣x2）[（x12＋2x1）﹣（x22＋2x2）]

=（x1﹣x2）（x12＋2x1﹣x22﹣2x2）

=（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）

∵x1＞﹣1，x2＞﹣1，

∴x1＋x2+2＞-1-1+2=0，

又∵A（x1，y1），B（x2，y2）是两个不同的点，

∴x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，

∴（x1﹣x2）2（x1＋x2+2）＞0，

即（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴，解一元二次方程，因式分解的应用，解题的关键是要灵活运用因式分解将式子变形．

4、 (1)；

(2)P(，﹣2)；

(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．

【解析】

【分析】

（1）由题意及抛物线解析式可得：，而，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；

（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；

（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．

(1)

解：抛物线，则，

∴，

∵，

∴，，

∴点A、B、C的坐标分别为、、，

∴，

将代入可得，

解得：，

∴，

故抛物线的表达式为：；

(2)

解：，

其中：，，，

∴抛物线的对称轴为，

∵，

∴点P、C的纵坐标相同，

∴根据函数的对称性得点；

(3)

解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，

将点、代入可得：

，

解得：，

直线AC的解析式为：，

∴，

∴，

，

，

，

∵，

∴当时，，此时面积最大，

当时，

，

∴，

答：的面积最大为8，此时点．

【点睛】

题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．

5、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

(2)

(3)，

【解析】

【分析】

（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；

（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；

（3）根据二次函数的平移规律解答．

(1)

解：∵，∴抛物线C的开口向上．

∵，

∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．

(2)

解：当时，y随x的增大而增大；

∵当时，；当时，．

∴函数值y的取值范围是．

(3)

解：抛物线对应的函数解析式为；

抛物线对应的函数解析式为．

【点睛】

此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．