初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题，共33页。
九年级数学下册第三十章二次函数定向训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
2、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
4、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
5、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
8、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）
A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
9、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．②③
10、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：h=v0t-12gt2v0表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．
2、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．
3、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．
4、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．
5、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)若 ，求点P的坐标；
(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
2、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；
(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
4、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

…
-3
-2
-1
0
1
…

…
8
5
4
5

…
根据以上列表，回答下列问题：
(1)直接写出、的值；
(2)求此二次函数的解析式．
5、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．
【详解】
A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意．
B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；
C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；
D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可
【详解】
解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，
平移后的抛物线经过三点、、，


故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．
【详解】
解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，
∵-2＜0＜2＜3＜5，
∴y3＜y2＜y4＜y1，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
4、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
5、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
【详解】
解： 二次函数的图象经过，，
二次函数图象的对称轴为：
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.
6、D
【解析】
【分析】
由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】
解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，
其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y=（x-m）（x-n），
分别代入，，
∴


∵0＜m＜n＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
∵m＜n，
∴ab不能取16 ，
∴0＜ab＜16 ，
故选D
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.
7、D
【解析】
【分析】
分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】
解：∵，，，
∴BC=，
过CA点作CH⊥AB于H，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∵，
∴CH=4.8，
∴AH=，
当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，解得：x=，
∴y=•x•=x2；
当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
即，解得：x=，
∴y=•x•=；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
8、D
【解析】
【分析】
由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．
【详解】
解：由题意知平移后的函数关系式为：，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．
9、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M的个数为0，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．
【详解】
解：由题意得，
当h=3时，，
解得，
∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．
【详解】
解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，
∴，
∴m=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．
2、 左 1 下 2
【解析】
【分析】
根据二次函数平移的性质解答．
【详解】
解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．
故答案为：左，1，下，2．
【点睛】
此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．
3、
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），
其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线解析式为
即
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
4、
【解析】
【分析】
根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】
解：抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．
5、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
三、解答题
1、 (1)；
(2)P(，﹣2)；
(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
【解析】
【分析】
（1）由题意及抛物线解析式可得：，而OA=2OC=8OB，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；
（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；
（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与∆PHC底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．
(1)
解：抛物线，则，
∴，
∵OA=2OC=8OB，
∴，，
∴点A、B、C的坐标分别为、、，
∴，
将代入可得-2=a0+40-12，
解得：，
∴y=x+4x-12=x2+72x-2，
故抛物线的表达式为：；
(2)
解：，
其中：，，，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴点P、C的纵坐标相同，
∴根据函数的对称性得点；
(3)
解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，
将点、代入可得：
0=-4k+b-2=b，
解得：，
直线AC的解析式为：，
∴，
∴，
，
=12×4×(-12x-2-x2-72x+2)，
，
∵，
∴当时，，此时面积最大，
当时，
，
∴，
答：的面积最大为8，此时点．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．
2、 (1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；
（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；
（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．
(1)
解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令，得
即
令，即
解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
(2)
点P是直线上一动点，直线的解析式为
设点，
点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，
则在上
即
解得
或
或
(3)
依题意，设点，
设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
PEBC
设直线的解析式为
令，，则点的坐标为
，，
PEBC






是直角三角形


将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，
,

与点重合，
则
，

解得

或

即或
解得或
或

【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．
3、 (1)
(2)DQ的最大值为，
(3)N点坐标为或或或，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；
（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)
解：∵在抛物线上，
∴，
∵
∴，
将代入中得，，
∴抛物线的表达式为：；
(2)
解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，
解得： ，
∴，即OC=4，
∵OA=4，
∴，
∴，
在Rt△PQD中，，
由、得直线AC解析式为：，
设，则，
∵
∴
∴
∴当时，DQ的最大值为，此时．
(3)
解：存在，N点坐标为或或或．
设平移后满足条件的抛物线为；
∵抛物线过点，∴
∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，
∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；
∴由直线过点得，，解得；
由直线过得，，则，
又∵，∴，
∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）
∴，，平移后的抛物线为．
∴对称轴为y轴，
即点M在y轴上，
当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．
∴；
当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，
∵，．
∴；
当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，
∴O N2=OB，
∴点N2；
当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．
设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴点N3；
综上所述，N点坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．
4、 (1)c=5，m=8
(2)y=x²+2x+5
【解析】
【分析】
(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；
(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．
(1)
解：根据图表可知：
二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，
∴二次函数的对称轴为：直线，
∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，
∴(-3，8)的对称点为(1，8)，
∴m=8，
当x=0时，由表格中数据可知：c=5．
(2)
解：∵对称轴是直线x=-1，
∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，
设y=a(x+1)2+4，
将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，
解得a=1，
∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．
5、 (1)
(2)m=2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
(1)
将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
(3)
过点A作x轴的垂线交BC于点G，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．