数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试测试题

九年级数学下册第三十章二次函数专项练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

3、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

4、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

5、抛物线的对称轴是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

6、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

7、根据表格对应值：

判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（       ）

A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定

8、下列函数中，随的增大而减小的函数是（       ）

A． B． C． D．

9、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）

A． B．5 C．或5 D．5或

10、下列函数中，二次函数是（       ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．

2、抛物线与y轴的交点坐标为_________．

3、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．

4、已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．

5、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）

(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．

(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

2、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

(2)解答：           

3、某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为p＝，且t为整数，日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函数关系如图所示．

(1)求日销售量y与时间t的函数表达式．

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

4、借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m＝　 　，n＝　 　；

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；

(3)观察函数图像：

①写出该函数的一条性质 　 　；

②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

5、抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．

【详解】

A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；

B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；

C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；

D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

4、C

【解析】

【分析】

根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．

【详解】

解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，

∵-2＜0＜2＜3＜5，

∴y3＜y2＜y4＜y1，

若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

5、C

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．

【详解】

解：，

其中：，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．

6、B

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；

B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），

故当时，，即，故B错误，符合题意；

C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；

D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．

7、B

【解析】

【分析】

利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．

【详解】

解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，

当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，

∵0.84＜2＜2.29，

∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，

故选：B

【点睛】

本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．

8、B

【解析】

【分析】

根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．

【详解】

A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意．

B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；

C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；

D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．

【详解】

解：当x＜3时，

令2x2-3=15，

解得x=-3；

当x≥3时，

令3x=15，

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．

10、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．

【详解】

解：开口向下，

中，

与轴的交点纵坐标为3，

，

抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．

2、

【解析】

【分析】

根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．

【详解】

当时，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

3、2

【解析】

【分析】

设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．

【详解】

解：设每件商品售价降低元

则每天的利润为：，

∵

∴当时，最大为968元

故答案为2．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．

4、x<−2或x>4## x＞4或x＜-2

【解析】

【分析】

先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．

【详解】

解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），

∴5=（-2）2-2×（-2）+b，

解得：b=-3，

∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，

∴抛物线过点（4，5），

∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．

故答案为：x＜-2或x＞4．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．

5、6

【解析】

【分析】

求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．

【详解】

解：二次函数的图象顶点坐标是，

设抛物线解析式为，把代入得，

，解得，

抛物线解析式为，

当y=0时，，解得，，，

线段的长为2+4=6；

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．

三、解答题

1、 (1)

(2)

(3)，当时，S有最大值

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；

（2）延长交BC于D，由，得到，，则

再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；

（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．

(1)

解：由旋转的性质可得，

∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，，

∴；

(2)

解：如图所示，延长交BC于D，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵，

∴，，

∴

∵在∠ABC的角平分线上，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

解得；

(3)

解：如图2所示，当点正好落在BC上时，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

又∵，

∴，

解得，

当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，

∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，

∴，

解得，

当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，

∴，

同理可证，

∴，即，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴即，

∴，

∴，

∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，

同理可证，

∴，即，

∴，，

∴，

∴综上所述，

∴，

∴由二次函数的性质可知，

∴当时，S有最大值．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．

2、 (1)①，②，③

(2)每天获得的最大利润为元.

【解析】

【分析】

（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；

（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.

(1)

解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的销售量为：件，

乙种礼品调价后的利润为：元，

填表如下：

(2)

解：设每天的销售利润为元，则

当时，

（元）

所以每天获得的最大利润为元.

【点睛】

本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.

3、 (1)y＝﹣2t+200（1≤t≤80，t为整数）

(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元

【解析】

【分析】

（1）设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），将（1，198）、（80，40）代入，得二元一次方程组，解得k和b的值，再代入y=kt+b即可；

（2）设日销售利润为w，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得w=（p-6）y，分两种情况讨论：①当1≤t≤40时，②当41≤t≤80时．

(1)

解：设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），

将（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：，

∴日销售量y与时间t的函数表达式为y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；

(2)

解：设日销售利润为w元，则w=（p-6）y，

①当1≤t≤40时，

w=（t+16-6）（-2t+200）=-（t-30）2+2450，

∵-＜0，

∴当t=30时，w有最大值，最大值为2450元；

②当41≤t≤80时，

w=（-t+46-6）（-2t+200）=（t-90）2-100，

∵1＞0，

∴当t≤90时，w随t的增大而减小，

∴当t=41时，w有最大值，最大值=（41-90）2-100=2301，

∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

【点睛】

本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题关键是根据等量关系写出函数解析式．

4、 (1)5，4

(2)见解析

(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3

【解析】

【分析】

（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；

（2）描点、连线画出图象即可；

（3）①根据图象即可求得；

②根据图象即可求得．

【小题1】

解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，

∴m=5，

把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，

∴n=4，

故答案为：5，4；

【小题2】

如图所示；

【小题3】

①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；

故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；

②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．

【点睛】

本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不等式，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．

5、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解；

（2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可．

(1)

解：对称轴为，

把代入得：，

解得：，

抛物线的解析式为；

(2)

解：设点D的坐标为，

点D在BC的下方，

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，

轴，

E的坐标为，

，

，

，

当时，的最大值是．

【点睛】

本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式．