内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题（含答案）

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期末考试

文科数学试卷

 第I卷（选择题）

一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题5分，共12小题，总分60分)

1、命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2、已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3、设存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A． B． C．1 D．2

4、设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

5、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

6、若曲线在点（0，n）处的切线方程x-y+1=0，则（　　）

A．， B．，

C．， D．，

7、若复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．-1 B．-2 C． D．

8、以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　　)

①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；

②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；

③已知直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；

④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．

A．0 B．1 C．2 D．3

9、若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10、已知圆C的参数方程为 (α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)

A．          B．              C．            D．－

11、已知，为排零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

12、已知下列命题：

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；

③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；

④在回归直线方程 中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；

⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；

⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大．

⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.  

则正确命题的个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

第II卷（非选择题）

二、填空题(每小题5分，共20分)

13、已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为________．

14、若集合，，，则集合的子集个数为______．

15、已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．

16．(本题0分)定义在上的连续函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为__________．

三、解答题(共70分)

17、(10分)已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”，

（1）写出命题q的否定；    

（2）若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

18、(12分)集合.

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求的范围.

19、(12分)已知m∈R，复数（i是虚数单位）．

（1）若复数z是实数，求m的值；

（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．

20、(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.

（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

（2）设曲线和曲线交于两点，求.

21、(12分)随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈，统计结果如下表.

（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？

（2）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.

（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；

参考公式：，其中.

22、(12分)已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，

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文科数学试卷参考答案

1．D    2．B     3．A      4．C       5．D

6．A    7．A     8．D      9．B       10．D

11．C   12．B

13．1      14．4       15．           16．

17．（1）∀x∈R，使x2+2ax+2﹣a≠0；（2）(﹣∞，﹣2]∪{1}.

【详解】

（1）∵特称命题的否定是全称命题，

∴命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”的否定是：∀x∈R，x2+2ax+2﹣a≠0.

（2）命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，即对∀x∈[1，2]恒成立，∴a≤1；

命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”，

∴＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2，

若命题“p且q”是真命题，则p真q真，

则a≤﹣2或a＝1.

实数a的取值范围(﹣∞，﹣2]∪{1}.

18．（1）或；（2）.

【详解】

（1）由得即，解得或，

所以或；

当时，，由得，即，

所以，

所以或.

（2）∵或，∴，

由，得，∴

是的充分不必要条件

∴，

∴，解得，

∴的范围为

19．（1）m＝3；（2）（﹣2，﹣1）．

【详解】

解：（1）∵是实数，

∴，解得m＝3；

（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，

∴，解得﹣2＜m＜﹣1．

∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）．

20．（1）是以为圆心，5为半径的圆；；（2）.

【详解】

（1）消去参数得到的普通方程为，

是以为圆心，5为半径的圆，

将，代人的普通方程中，

得到，

化简整理得到：.

（2）设两点所对应的极径分别为，，

将曲线的极坐标方程代人曲线的极坐标方程，得.

于是，，

.

由，得，两边平方整理得，

所以.

21．（1）各组分别为5人，6人，4人；（2）；（3）在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.

解：（1）因为，所以第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，各组分别为5人，6人，4人.

（2）设第5组中不愿意选择此款“流量包”套餐A,B,C,D,愿意选择此款“流量包”套餐人为a,b,则愿意从6人中选取2人有：共15个结果，其中至少有1人愿意选择此款“流量包”共9个结果，所以求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.

（3）2×2列联表

∴

∴在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.

22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题意，函数，可得其定义域为，

且.

令，即，

由，解得或

①若，则，所以在上单调递增，

②若，此时，在上恒成立，

所以在上单调递增.

③若，此时，方程的两根为

，且，，

所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增.

综上所述；若，在上单调递增﹔

若，在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）可知当时，函数在上单调递增，

所以，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

下面证，即证，

设，可得，

设，可得在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即当时，.