内蒙古自治区乌兰察布市凉城县2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

凉城县2020-2021学年高二下学期期末考试

数学试卷

考试范围：必修三、必修五、选修部分；考试时间：120分钟

第I卷

一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)

1、若“，则”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2、如图，六边形是圆的内接正六边形，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形内部的概率是（    ）

 A．       B．        C．        D．

3、若，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

4、在x轴的上方的动点M到定点的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

5、执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

 A．42         B．         C．        D．

6、若实数满足约束条件，则的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

8、已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线的斜率为（  ）

A． B． C． D．

9、在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（     ）

A．810 B．830 C．840 D．900

10、已知椭圆与直线只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为（    ）

A．    B．     C．   D．

11、在中，角的对边分别为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

12、已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（   ）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形

第II卷（非选择题）

二、填空题(每题5分，共20分)

13、已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是___________          ①②③④

14、已知中，，，，则面积为______

15、正实数，满足：，则当取最小值时，___________.

16、数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.

三、解答题(共70分)

17、（本题10分）已知关于x的方程有实数根.

（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若为假命题，为真命题，求实数a的取值范围.

18、(本题12分)已知抛物线的焦点为，直线斜率为1，直线与抛物线交于､两点，与轴交于点.

（1）若，求直线方程；

（2）若，求.

19、(本题12分)某刚开业的大型百货商场进行促销活动，计得刚开始的五天内的客流量如下表：

（1）求出日客流量（千人）关于开业天数之间的线性回归方程；

（2）根据市场经验，在促销活动期间，流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

20、(本题12分)已知为的三内角，且其对边分别为，若.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

21、(本题12分)已知等差数列数列的前项和为，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求．

22、(本题12分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

凉城县2020-2021学年高二下学期期末考试

数学试卷参考答案

1．C    2．B    3．D    4．D   5．C   

6．C    7．A    8．C    9．C    10．B 

11．B   12．D

13．②      14．    15．      16．

17．解：（1）因为q为真命题，

即关于x的方程有实数根，

故，

解得.

（2）由为假命题，为真命题，

所以P是真命题，为假命题，

所以，

解得..

18（1）由题意，直线斜率为1，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，则

又由，可得，所以，

即，解得，所以直线方程为.

（2）由，消得，即，

则，①  ②

又由，可得，

可得代入①式，可得，

再代入②得，即，，

所以.

19．解：（1）由表中数据可知，，．

，，

所以，则，

所以回归方程为；

（2）由题意可知，进行消费的人所占总人数的比例为，

在促销活动第20天时，客流量，

因为，故可以实现目标．

20．解：（1）∵，

∴由正弦定理可得：，

整理得，

即：，

所以，

∵，∴，

∵，∴.

（2）由，，由余弦定理得，

∴，即有，

∴，

∴的面积为.

21．(1) 由题可知，从而有.

 (2) 由(1)知，从而   

22．（1）抛物线的焦点为，则.

椭圆的离心率，则.

故椭圆的标准方程为.

（2）方法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得.

设，，则，解得.

因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.

令，此时，于是直线过定点.

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.

综上所述，直线过定点.

方法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，设，，

则有，，

两式相减得.

由线段的中点为，则，

故直线的斜率.

因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.

令，此时，于是直线过定点.

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.

综上所述，直线过定点.