2021自治区乌兰察布集宁区高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期末考试

理科数学试卷

 第I卷（选择题）

一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题5分，共12小题，总分60分)

1、设存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A． B． C．1 D．2

2、已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3、在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A．     B．         C．               D．

4、若复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．1 B．2 C． D．

5、若曲线在点（0，n）处的切线方程x-y+1=0，则（　　）

A．， B．，

C．， D．，

6、已知实数，满足，则的最小值是（    ）

A．  B． C． D．

7、设函数的导函数，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

8、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

9、已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中 的系数(　　)

A．5 B．40 C．20 D．10

10、如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为(　　)

A．400 B．460 C．480 D．496

11、（    ）

A． B． C． D．

12、刍甍（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为（   ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(每小题5分，共20分)

13、求曲线与直线，和轴围成的区域的面积为____________．

14、已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为____________．

15、某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________．

16、定义在上的连续函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为__________．

三、解答题(共70分)

17、(本题10分)已知m∈R，复数（i是虚数单位）．

（1）若复数z是实数，求m的值；

（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．

18、(本题12分)已知在的展开式中，第6项为常数项．

（1）求含的项的系数；    （2）求展开式中所有的有理项．

19、(本题12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.

（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

（2）设曲线和曲线交于两点，求.

20、(本题12分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.

(1)求证:BD⊥平面ACFE;

(2)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

21、(本题12分)设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.

（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

22、(本题12分)已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，.

乌兰察布市集宁区2020-2021学年高二下学期期末考试

理科数学试卷参考答案

1．A   2．B  3．B  4．A  5．A 

6．D   7．D  8．D  9．D  10．C

11．B   12．C

13．      14．1       15．18            16．

17．（1）m＝3；（2）（﹣2，﹣1）．

解：（1）∵是实数，

∴，解得m＝3；

（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，

∴，解得﹣2＜m＜﹣1．

∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）．

18．(1)；(2)答案见解析.

（1）

（2）

展开式中所有的有理项为

19．（1）是以为圆心，5为半径的圆；；（2）.

（1）消去参数得到的普通方程为，

是以为圆心，5为半径的圆，

将，代人的普通方程中，

得到，

化简整理得到：.

（2）设两点所对应的极径分别为，，

将曲线的极坐标方程代人曲线的极坐标方程，得.

于是，，

.

由，得，两边平方整理得，

所以.

20．解析：(1)证明:在菱形中,可得，又因为平面   , ，且平面.

(2)取 的中点为，以为坐标原点,以为轴,以为轴，以为轴,建立空间直角坐标系，则，则,设平面的法向量，

由 ，也就是，可取 ①

则，解得，故

设平面的法向量为

设平面的法向量为 ,

同理①可得 

则，则二面角的余弦值为.

点睛：求二面角的余弦值时，如果不易构造二面角的平面角，则考虑用空间向量的方法求两个平面的法向量，通过向量的夹角来计算二面角的平面角的余弦值.

21．（1）119种（2）31种

（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.

（2）分为三类：

第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；

第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；

第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.

根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.

22．（1）由题意，函数，可得其定义域为，

且.

令，即，

由，解得或

①若，则，所以在上单调递增，

②若，此时，在上恒成立，

所以在上单调递增.

③若，此时，方程的两根为

，且，，

所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增.

综上所述；若，在上单调递增﹔

若，在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）可知当时，函数在上单调递增，

所以，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

下面证，即证，

设，可得，

设，可得在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即当时，.