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2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A.B.C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（4分）垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
5．（4分）一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A．（5，4） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣2） D．（5，﹣1）
6．（4分）已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（4分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
9．（4分）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）甲、乙两辆汽车沿同路线从A地前往B地，A、B两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，甲、乙两车到达B地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与A地之间的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．（5分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，如果
AC＝4cm，BC＝6cm，则△ACD的周长为 cm．
13．（5分）弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AD为中线，AB＝6．
（1）若AC＝4，AD长度为a，则a的取值范围为 ；
（2）若AD⊥AC，∠BAD＝30°，则AC的长度为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．（注：点B的对应点为B1，点B1的对应点为B2）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
（1）写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；
（2）若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
18．（8分）如图，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：AD平分∠BAC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC＝BD，∠A＝∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？
20．（10分）直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过B（3，1），两直线相交于点C（m，2）．
（1）求点C的坐标和直线l2的解析式；
（2）求当x取何值，kx+b≥2x﹣2；
（3）求△ACD的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知： ．
求证： ．
证明： ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示
（1）请直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE，CD．
（1）如图1．求证：BE＝CD；
（2）如图2，延长DE交BC于点F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AD＝BE时，过点C作CP⊥BC交DF于点P，若BF＝4，求△FCP的面积．
2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A.B.C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
2．（4分）垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
3．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+4＝7＜10，
∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵8+9＝17，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵13+12＝25＞18，
∴能组成三角形，符合题意；
D．∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
【分析】由α是△BDC的外角，利用三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠α是△BDC的外角，∠D＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝∠D+∠BCD＝60°+45°＝105°，
故选：A．
5．（4分）一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A．（5，4） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣2） D．（5，﹣1）
【分析】由y的值随x值的增大而增大可得出k+1＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过第一、二、三象限，再结合四个选项中点所在的象限，即可得出结论．
【解答】解：∵y的值随x值的增大而增大，
∴k+1＞0，
又∵3＞0，
∴一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过第一、二、三象限．
∵（5，﹣1）在第四象限，
∴点P的坐标不可能为（5，﹣1）．
故选：D．
6．（4分）已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B选项进行判断；根据三角形内角和定理对C、D选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠X，∠B＝∠Y，
而AB≠XY，
∴不能判断△ABC≌△XYZ；所以A选项不符合题意；
在△XYZ中，∠Z＝180°﹣∠X﹣∠Y＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵∠D＝∠Z，
而EF≠XY，
∴不能判断△DEF≌△XYZ；所以B选项不符合题意；
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠C＝∠Z，所以C选项符合题意；
在△DEF中，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣30°＝70°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵D在直角边AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵D在∠CAB的角平分线上，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，
故选：B．
8．（4分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【分析】根据AAS证明△PMQ与△HNQ全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵H是高MQ和NR的交点，
∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠P＝∠QHN，
在△PMQ与△HNQ中，
，
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ＝HQ，MQ＝QN，
∵MH＝3，PQ＝2，
∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，
∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，
故选：B．
9．（4分）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可判断．
【解答】解：A．是“奇妙三角形”，不合题意；
B．是“奇妙三角形”，不合题意；
C．不是“奇妙三角形”，符合题意；
D．是“奇妙三角形”，不合题意；
故选：C．
10．（4分）甲、乙两辆汽车沿同路线从A地前往B地，A、B两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，甲、乙两车到达B地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与A地之间的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断哪个选项中的函数图象符合题意．
【解答】解：∵甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，
∴甲车出现故障时，行驶的路程是40×3＝120（km），此时往后1小时，甲的路程不变，故选项A、B不符合题意，
∵乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，
∴乙车行驶120km用的时间为120÷80＝1.5（小时），即乙出发1.5小时与甲相遇，故选项C正确，选项D错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】写出该命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是：有两个内角之和等于90°的三角形为直角三角形，
正确，为真命题，
故答案为：真．
12．（5分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，如果
AC＝4cm，BC＝6cm，则△ACD的周长为 10 cm．
【分析】由折叠的性质得出DE垂直平分线段AB，由垂直平分线的性质得DA＝DB，再把△ACD的周长进行线段的转化即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，
根据垂直平分线的性质可得：DA＝DB，
∴△ACD的周长＝DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝6+4＝10（cm）．
故答案为：10．
13．（5分）弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 10cm ．
【分析】观察图象找出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入x＝0求出y值即可得出结论．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（5，12.5）、（20，20）代入y＝kx+b，
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+10，
当x＝0时，y＝0.5x+10＝10，
∴弹簧本身的长度为10cm．
故答案为：10cm．
14．（5分）如图，在△ABC中，AD为中线，AB＝6．
（1）若AC＝4，AD长度为a，则a的取值范围为 1＜a＜5 ；
（2）若AD⊥AC，∠BAD＝30°，则AC的长度为 3 ．
【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB（SAS），得AC＝BE＝4，再在△ABE中，由三角形的三边关系即可求解；
（2）延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，同（1）得△ABD≌△ECD（SAS），则AB＝EC＝6，∠BAD＝∠CED＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，如图1所示：
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即6﹣4＜2a＜6+4，
∴1＜a＜5，
故答案为：1＜a＜5；
（2）延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，如图2所示：
同（1）得：△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC＝6，∠BAD＝∠CED＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴AC＝EC＝3，
故答案为：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
【分析】（1）已知给出了一个内角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立；
（2）题目给出等腰三角形有两边长为2和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）已知等腰三角形的一个内角是100°，
根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，
当100°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180°﹣100°）×＝40°；
当100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成立．
综上所述，其余两角的度数为40°，40°；
（2）解：∵2+2＝4，
∴腰的长不能为2，只能为4，
∴等腰三角形的周长＝2×4+2＝10．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．（注：点B的对应点为B1，点B1的对应点为B2）
【分析】（1）将三个顶点分别向下平移6个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为（3，﹣2）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
（1）写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；
（2）若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
【分析】（1）一张方桌坐4人，每多一张方桌就多两个人，按此规律可知x张方桌坐人的个数，即可得y与x之间的函数解析式，再根据一次函数的定义判断；
（2）把y＝42代入解析式求得x值即可．
【解答】解：（1）∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，
∴如果是x张方桌，则所坐人数是4+2（x﹣1）＝2x+2，
∴y与x之间的函数解析式为y＝2x+2，y是x的一次函数；
（2）把y＝42代入y＝2x+2，得：2x+2＝42，解得x＝20，
答：需要20张这样的方桌．
18．（8分）如图，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：AD平分∠BAC．
【分析】连接BC，由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，再证∠DBC＝∠DCB，则BD＝CD，然后由SSS证△ABD≌△ACD，得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论．
【解答】证明：连接BC，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC＝BD，∠A＝∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？
【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE＝CD即可；
（2）根据AC是公共边，∠1＝∠2，再证BC＝CD，即可得出结论；
【解答】（1）解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE＝CD即可；
（2）证明：由（1）作法可知CE＝CD，则∠CED＝∠D，
∵∠CED+∠CEA＝180°，且∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠CEA，
又∵∠1＝∠2，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴BC＝CE，
∴BC＝CD，
在△ACB与△ACD中，
，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
20．（10分）直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过B（3，1），两直线相交于点C（m，2）．
（1）求点C的坐标和直线l2的解析式；
（2）求当x取何值，kx+b≥2x﹣2；
（3）求△ACD的面积．
【分析】（1）把C（m，2）代入y＝2x﹣2中可求出m的值；然后利用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）结合图象写出直线l2在直线l1上方对应的自变量的范围；
（3）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）由题意知，把C（m，2）代入y＝2x﹣2，解得m＝2，
∴C（2，2），
把B（3，1），C（2，2）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；
（2）由图象知，当x≤2时，kx+b≥2x﹣2；
（3）当y＝0时，2x﹣2＝0，解得x＝1，则D（1，0），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∴S△ACD＝×（4﹣1）×2＝3．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 2 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知： AC＝DC；BC＝EC，AB＝DE ．
求证： ∠DCA＝∠ECB ．
证明： 在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD ．
【分析】在4个条件中任取三个条件，共有4种情况，然后根据全等三角形的判定条件即可求出答案．
【解答】解：（1）任取三个为条件，余下一个为结论，正确的有①②③；①②④；
（2）已知：AC＝DC，BC＝EC，AB＝DE，
求证：∠DCA＝∠ECB；
证明：在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD．
故答案为：（1）2；
（2）AC＝DC；BC＝EC，AB＝DE，∠DCA＝∠ECB；
在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示
（1）请直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx，
则20k＝2400，得k＝120，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x，
设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个，
50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30，
∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480，
∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20，
答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE，CD．
（1）如图1．求证：BE＝CD；
（2）如图2，延长DE交BC于点F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AD＝BE时，过点C作CP⊥BC交DF于点P，若BF＝4，求△FCP的面积．
【分析】（1）根据SAS证明△BAE与△CAD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和互余解答即可；
（3）根据SAS证明△BEF与△CDP全等，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：如图2中，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠ADE+∠CDF，
∵∠BEF＝∠CDF，
∴∠AEB＝∠AED+∠BEF，
∵∠AEB+∠AED+∠BEF＝180°，
∴∠AEB＝90°；
（3）解：如图3中，
∵AD＝BE，AD＝AE，
∴BE＝AE，
∴∠EBA＝∠EAB，
∵∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠EBA＝∠EAB＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE＝45°，
∵∠ADE＝90°﹣∠EAD，∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠AOF＝∠OAD+∠ODA，∠AOF＝∠OFC+∠OCF，
∴∠OAD＝∠OFC＝45°，
∵PC⊥CF，
∴∠PCF＝90°，
∴∠CFP＝∠CPF＝45°，
∴CF＝CP，∠BFE＝∠CPD＝135°，
在△BEF与△CDP中，
，
∴△BEF≌△CDP（SAS），
∴BF＝CP，
∴CP＝CF＝BF＝4，
∴S△PFC＝•CF•CP＝8．
2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A.B.C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（4分）垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
5．（4分）一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A．（5，4） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣2） D．（5，﹣1）
6．（4分）已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（4分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
9．（4分）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）甲、乙两辆汽车沿同路线从A地前往B地，A、B两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，甲、乙两车到达B地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与A地之间的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．（5分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，如果
AC＝4cm，BC＝6cm，则△ACD的周长为 cm．
13．（5分）弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AD为中线，AB＝6．
（1）若AC＝4，AD长度为a，则a的取值范围为 ；
（2）若AD⊥AC，∠BAD＝30°，则AC的长度为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．（注：点B的对应点为B1，点B1的对应点为B2）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
（1）写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；
（2）若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
18．（8分）如图，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：AD平分∠BAC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC＝BD，∠A＝∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？
20．（10分）直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过B（3，1），两直线相交于点C（m，2）．
（1）求点C的坐标和直线l2的解析式；
（2）求当x取何值，kx+b≥2x﹣2；
（3）求△ACD的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知： ．
求证： ．
证明： ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示
（1）请直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE，CD．
（1）如图1．求证：BE＝CD；
（2）如图2，延长DE交BC于点F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AD＝BE时，过点C作CP⊥BC交DF于点P，若BF＝4，求△FCP的面积．
2021-2022学年安徽省亳州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A.B.C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
2．（4分）垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
3．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+4＝7＜10，
∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵8+9＝17，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵13+12＝25＞18，
∴能组成三角形，符合题意；
D．∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
【分析】由α是△BDC的外角，利用三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠α是△BDC的外角，∠D＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝∠D+∠BCD＝60°+45°＝105°，
故选：A．
5．（4分）一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A．（5，4） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣2） D．（5，﹣1）
【分析】由y的值随x值的增大而增大可得出k+1＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过第一、二、三象限，再结合四个选项中点所在的象限，即可得出结论．
【解答】解：∵y的值随x值的增大而增大，
∴k+1＞0，
又∵3＞0，
∴一次函数y＝（k+1）x+3的图象经过第一、二、三象限．
∵（5，﹣1）在第四象限，
∴点P的坐标不可能为（5，﹣1）．
故选：D．
6．（4分）已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZ B．△DEF≌△XYZ C．∠C＝∠Z D．∠F＝80°
【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B选项进行判断；根据三角形内角和定理对C、D选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠X，∠B＝∠Y，
而AB≠XY，
∴不能判断△ABC≌△XYZ；所以A选项不符合题意；
在△XYZ中，∠Z＝180°﹣∠X﹣∠Y＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵∠D＝∠Z，
而EF≠XY，
∴不能判断△DEF≌△XYZ；所以B选项不符合题意；
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠C＝∠Z，所以C选项符合题意；
在△DEF中，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣80°﹣30°＝70°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵D在直角边AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵D在∠CAB的角平分线上，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，
故选：B．
8．（4分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【分析】根据AAS证明△PMQ与△HNQ全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵H是高MQ和NR的交点，
∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠P＝∠QHN，
在△PMQ与△HNQ中，
，
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ＝HQ，MQ＝QN，
∵MH＝3，PQ＝2，
∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，
∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，
故选：B．
9．（4分）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可判断．
【解答】解：A．是“奇妙三角形”，不合题意；
B．是“奇妙三角形”，不合题意；
C．不是“奇妙三角形”，符合题意；
D．是“奇妙三角形”，不合题意；
故选：C．
10．（4分）甲、乙两辆汽车沿同路线从A地前往B地，A、B两地间的距离为240千米，甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，修好后以80千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，甲、乙两车到达B地后均作停留，下列选项中，能正确反映两车与A地之间的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断哪个选项中的函数图象符合题意．
【解答】解：∵甲车以40千米时的速度匀速行驶，行驶3小时后出现故障，停车维修1小时，
∴甲车出现故障时，行驶的路程是40×3＝120（km），此时往后1小时，甲的路程不变，故选项A、B不符合题意，
∵乙车在甲车出发2小时后以80千米/时的速度匀速前往B地，
∴乙车行驶120km用的时间为120÷80＝1.5（小时），即乙出发1.5小时与甲相遇，故选项C正确，选项D错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】写出该命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：命题“直角三角形中一定有两个内角之和等于90°”的逆命题是：有两个内角之和等于90°的三角形为直角三角形，
正确，为真命题，
故答案为：真．
12．（5分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，如果
AC＝4cm，BC＝6cm，则△ACD的周长为 10 cm．
【分析】由折叠的性质得出DE垂直平分线段AB，由垂直平分线的性质得DA＝DB，再把△ACD的周长进行线段的转化即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，
根据垂直平分线的性质可得：DA＝DB，
∴△ACD的周长＝DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝6+4＝10（cm）．
故答案为：10．
13．（5分）弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 10cm ．
【分析】观察图象找出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入x＝0求出y值即可得出结论．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（5，12.5）、（20，20）代入y＝kx+b，
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+10，
当x＝0时，y＝0.5x+10＝10，
∴弹簧本身的长度为10cm．
故答案为：10cm．
14．（5分）如图，在△ABC中，AD为中线，AB＝6．
（1）若AC＝4，AD长度为a，则a的取值范围为 1＜a＜5 ；
（2）若AD⊥AC，∠BAD＝30°，则AC的长度为 3 ．
【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB（SAS），得AC＝BE＝4，再在△ABE中，由三角形的三边关系即可求解；
（2）延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，同（1）得△ABD≌△ECD（SAS），则AB＝EC＝6，∠BAD＝∠CED＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，如图1所示：
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即6﹣4＜2a＜6+4，
∴1＜a＜5，
故答案为：1＜a＜5；
（2）延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，如图2所示：
同（1）得：△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC＝6，∠BAD＝∠CED＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴AC＝EC＝3，
故答案为：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知△ABC为等腰三角形，请解答下列问题：
（1）若此三角形的一个内角为100°，求其余两角的度数；
（2）若该三角形两边长为2和4，求此三角形的周长．
【分析】（1）已知给出了一个内角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立；
（2）题目给出等腰三角形有两边长为2和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）已知等腰三角形的一个内角是100°，
根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，
当100°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180°﹣100°）×＝40°；
当100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成立．
综上所述，其余两角的度数为40°，40°；
（2）解：∵2+2＝4，
∴腰的长不能为2，只能为4，
∴等腰三角形的周长＝2×4+2＝10．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．（注：点B的对应点为B1，点B1的对应点为B2）
【分析】（1）将三个顶点分别向下平移6个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为（3，﹣2）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
（1）写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；
（2）若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
【分析】（1）一张方桌坐4人，每多一张方桌就多两个人，按此规律可知x张方桌坐人的个数，即可得y与x之间的函数解析式，再根据一次函数的定义判断；
（2）把y＝42代入解析式求得x值即可．
【解答】解：（1）∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，
∴如果是x张方桌，则所坐人数是4+2（x﹣1）＝2x+2，
∴y与x之间的函数解析式为y＝2x+2，y是x的一次函数；
（2）把y＝42代入y＝2x+2，得：2x+2＝42，解得x＝20，
答：需要20张这样的方桌．
18．（8分）如图，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：AD平分∠BAC．
【分析】连接BC，由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，再证∠DBC＝∠DCB，则BD＝CD，然后由SSS证△ABD≌△ACD，得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论．
【解答】证明：连接BC，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC＝BD，∠A＝∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．
（1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
（2）在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？
【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE＝CD即可；
（2）根据AC是公共边，∠1＝∠2，再证BC＝CD，即可得出结论；
【解答】（1）解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE＝CD即可；
（2）证明：由（1）作法可知CE＝CD，则∠CED＝∠D，
∵∠CED+∠CEA＝180°，且∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠CEA，
又∵∠1＝∠2，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴BC＝CE，
∴BC＝CD，
在△ACB与△ACD中，
，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
20．（10分）直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，且经过B（3，1），两直线相交于点C（m，2）．
（1）求点C的坐标和直线l2的解析式；
（2）求当x取何值，kx+b≥2x﹣2；
（3）求△ACD的面积．
【分析】（1）把C（m，2）代入y＝2x﹣2中可求出m的值；然后利用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）结合图象写出直线l2在直线l1上方对应的自变量的范围；
（3）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）由题意知，把C（m，2）代入y＝2x﹣2，解得m＝2，
∴C（2，2），
把B（3，1），C（2，2）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；
（2）由图象知，当x≤2时，kx+b≥2x﹣2；
（3）当y＝0时，2x﹣2＝0，解得x＝1，则D（1，0），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∴S△ACD＝×（4﹣1）×2＝3．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB；④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 2 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知： AC＝DC；BC＝EC，AB＝DE ．
求证： ∠DCA＝∠ECB ．
证明： 在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD ．
【分析】在4个条件中任取三个条件，共有4种情况，然后根据全等三角形的判定条件即可求出答案．
【解答】解：（1）任取三个为条件，余下一个为结论，正确的有①②③；①②④；
（2）已知：AC＝DC，BC＝EC，AB＝DE，
求证：∠DCA＝∠ECB；
证明：在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD．
故答案为：（1）2；
（2）AC＝DC；BC＝EC，AB＝DE，∠DCA＝∠ECB；
在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示
（1）请直接写出y与x之间的函数解析式；
（2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx，
则20k＝2400，得k＝120，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x，
设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个，
50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30，
∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480，
∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20，
答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE，CD．
（1）如图1．求证：BE＝CD；
（2）如图2，延长DE交BC于点F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AD＝BE时，过点C作CP⊥BC交DF于点P，若BF＝4，求△FCP的面积．
【分析】（1）根据SAS证明△BAE与△CAD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和互余解答即可；
（3）根据SAS证明△BEF与△CDP全等，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：如图2中，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠ADE+∠CDF，
∵∠BEF＝∠CDF，
∴∠AEB＝∠AED+∠BEF，
∵∠AEB+∠AED+∠BEF＝180°，
∴∠AEB＝90°；
（3）解：如图3中，
∵AD＝BE，AD＝AE，
∴BE＝AE，
∴∠EBA＝∠EAB，
∵∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠EBA＝∠EAB＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE＝45°，
∵∠ADE＝90°﹣∠EAD，∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠AOF＝∠OAD+∠ODA，∠AOF＝∠OFC+∠OCF，
∴∠OAD＝∠OFC＝45°，
∵PC⊥CF，
∴∠PCF＝90°，
∴∠CFP＝∠CPF＝45°，
∴CF＝CP，∠BFE＝∠CPD＝135°，
在△BEF与△CDP中，
，
∴△BEF≌△CDP（SAS），
∴BF＝CP，
∴CP＝CF＝BF＝4，
∴S△PFC＝•CF•CP＝8．
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