高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布达标测试

7.4.2 超几何分布

一、选择题

1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)

A．N＝15，M＝7，n＝10                  B．N＝15，M＝10，n＝7

C．N＝22，M＝10，n＝7                  D．N＝22，M＝7，n＝10

【答案】A

【详解】根据超几何分布概率模型知选A.

2．（2021·石家庄市正中实验中学高二月考）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，故选：D

3．（2021·安徽省蚌埠第三中学高二月考）校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】超几何分布列如下

,

．

4．（2021·黑龙江实验中学高二月考）在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意知：若表示抽到高二年级同学的作品数，则服从，可类比：在含有5件次品的10件商品中取7次，恰好将5件次品全部取出的概率，即，

∴.故选：A.

5．（多选题）（2021·江苏高二）一个袋中有个同样大小的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为.现从中任取个球，下列变量服从超几何分布的是（    ）

A．表示取出的最大号码

B．表示取出的最小号码

C．取出一个黑球记分，取出一个白球记分，表示取出的个球的总得分

D．表示取出的黑球个数

【答案】CD

【详解】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错；

CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD正确；故选：CD.

6．（多选题）（2021·山东淄博市高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的黑球，个白球，现从中任取个小球，设取出的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．随机变量服从二项分布

C．随机变量服从超几何分布 D．

【答案】ACD

【详解】由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；随机变量的所有可能为，，，，，，，，

，，

故，故A，D正确．故选：ACD．

二、填空题

7．（2021·江苏省海头高级中学高二月考）一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．

【答案】　

【详解】设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

8．（2021·山东淄博市高二期末）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)

【答案】　

【详解】从这30瓶饮料中任取2瓶．设至少取到1瓶已过保质期为事件A，则P(A)＝＋＝.

9．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高二）一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是______，若表示取到黄球球的个数，则______.

【答案】;     

【详解】一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，

从中任意取出3个，基本事件总数n＝＝10，

其中有黄球包含的基本事件个数m＝＝9．∴有黄球的概率是p＝＝．

ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，

P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，∴E（ξ）＝0×＝．

10．（2021·全国高二专题练习）10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=________. 

【答案】2或8

【详解】根据题意,得=,解得a=2或a=8.

三、解答题

11．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围是[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)为畅通；T∈[2,4)为基本畅通；T∈[4,6)为轻度拥堵；T∈[6,8)为中度拥堵；T∈[8,10]为严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：

(1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．

【详解】(1)轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为

12．（2021·全国高二课时练）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.

【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.

【详解】

（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.

（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，

=，=，故，

所以，事件A发生的概率为.

②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

.随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望.