高中数学北师大版必修3第三章 概率综合与测试课后练习题
展开第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件中,是必然事件的是( C )
A.打雷后会下雨 B.明天下雪
C.1小时等于60分钟D.下雨后有彩虹
[解析] 选项A、B、D中的事件都可能发生,也可能不发生,都是随机事件,只有C中为必然事件.
2.某校团委要组建诗歌、绘画、演讲三个协会,某位学生只报了其中的2个,则基本事件共有( C )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
[解析] 这个同学选报的协会可能为(诗歌,绘画),(诗歌,演讲),(绘画,演讲),即有3个基本事件.
3.抛掷一只骰子,落地时向上的点数是5的概率是( D )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,5)D.eq \f(1,6)
[解析] 掷一次骰子相当于做一次试验,因为骰子是均匀的,它有6个面,每个面朝上的机会是均等的,故出现5点的可能性是eq \f(1,6).
4.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( C )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(1,5)
[解析] 所有基本事件总数为4,分别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),故两胎均是女孩的概率是eq \f(1,4).
5.某医院治疗一种疾病的治愈率为eq \f(1,5),前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为( B )
A.1B.eq \f(1,5)
C.eq \f(4,5)D.0
[解析] 治愈率为eq \f(1,5),表明第n个病人被治愈的概率为eq \f(1,5),并不是5个人中必有1个人治愈.
6.设p在[0,5]上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为( C )
A.eq \f(1,5)B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
[解析] 0≤p≤5且方程有实根满足p2-4≥0,则2≤p≤5,所以对应的概率为P=eq \f(5-2,5-0)=eq \f(3,5).
7.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得结果如下表:
则这批产品的不合格率为( D )
A.eq \f(5,80) B.eq \f(7,80)
C.eq \f(17,20) D.eq \f(3,20)
[解析] P=eq \f(5+7,5+68+7)=eq \f(3,20).
8.甲、乙两人随意住两间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是( C )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
[解析] 不妨设两间空房为A、B,则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为:甲、乙都住A;甲、乙都住B;甲住A,乙住B;甲住B,乙住A共4种情况.其中甲、乙两人各住一间的情形有2种,故所求的概率P=eq \f(2,4)=eq \f(1,2).
9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( B )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,8)
[解析] 总面积2×1=2.
半圆面积eq \f(1,2)×π×12=eq \f(π,2).∴p=eq \f(\f(π,2),2)=eq \f(π,4).
10.一个球形容器的半径为3 cm,里面装满纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1 mL水含有感冒病毒的概率为( C )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,3π)
C.eq \f(1,36π)D.eq \f(4,9π)
[解析] 纯净水的体积为eq \f(4,3)π×33=36π(cm3)=36π(mL),任取1 mL水含有感冒病毒的概率P=eq \f(1,36π).
11.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点x0∈[-5,5]使f(x0)≤0的概率是( C )
A.1B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,10)D.eq \f(2,5)
[解析] 任取一点x0∈[-5,5]的结果有无限多个,属于几何概型.画出函数f(x)的图像(图略),由图像得当x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0.设“使f(x0)≤0”为事件A,则事件A构成的区域长度是2-(-1)=3,全部结果构成的区域长度是5-(-5)=10,则P(A)=eq \f(3,10).故选C.
12.(2019·山西柳林县高一期末测试)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形.若直角三角形中较小的锐角θ=30°,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( A )
A.eq \f(2-\r(3),2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(1,2)
[解析] 大正方形面积为2×2=4,小正方形的边长为2cs30°-2sin30°=eq \r(3)-1,∴小正方形的面积为(eq \r(3)-1)2=4-2eq \r(3),∴飞镖落在小正方形内的概率是P=eq \f(4-2\r(3),4)=eq \f(2-\r(3),2),故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)
13.下列试验是古典概型的为_①②④__.
①从6名同学中选出4名参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小;
②同时掷两颗骰子,点数和为7的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
[解析] ①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,受多方面因素影响.
14.如图所示,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为eq \f(1,3)a与eq \f(1,2)a,高为b.向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 eq \f(5,12) .
[解析] S矩形=ab,S梯形=eq \f(1,2)(eq \f(1,3)a+eq \f(1,2)a)·b=eq \f(5,12)ab,
故所投的点落在梯形内部的概率为eq \f(S梯形,S矩形)=eq \f(\f(5,12)ab,ab)=eq \f(5,12).
15.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 eq \f(2,5) .
[解析] 基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个,含a的有4个,故概率为eq \f(4,10)=eq \f(2,5).写全基本事件个数是解决问题的关键.
16.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于eq \f(1,2),则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于eq \f(1,4),则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 eq \f(13,16) .
[解析] 本题主要考查几何概型.
∵去看电影的概率P1=eq \f(π×12-π×\f(1,2)2,π×12)=eq \f(3,4);
∴去打篮球的概率P2=eq \f(π×\f(1,4)2,π×12)=eq \f(1,16).
小波不在家看书的概率P=eq \f(3,4)+eq \f(1,16)=eq \f(13,16).
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)高一军训时,某同学射击1次,命中10环、9环、8环的概率分别是0.13,0.28,0.31.
(1)求射击1次,命中10环或9环的概率;
(2)求射击1次,至少命中8环的概率.
[解析] 设事件“射击1次,命中k环”为事件Ak(k∈N且k≤10)且事件Ak两两互斥.由题意,知P(A10)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31.
(1)记“射击1次,命中10环或9环”的事件为A,那么P(A)=P(A10)+P(A9)=0.13+0.28=0.41.
(2)记“射击1次,至少命中8环”的事件为B,那么P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.13+0.28+0.31=0.72.
18.(本小题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较,在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.
(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率;
(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率.
[解析] 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.六种添加剂中任选两种有15种不同选法.
(1)芳香度之和等于4的取法有2种:(0,4),(1,3),故P(A)=eq \f(2,15).
(2)芳香度之和等于1的取法有1种:(0,1);芳香度之和等于2的法取有1种:(0,2),所以事件B的对立事件eq \x\t(B)是“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和小于3”,所以P(eq \x\t(B))=eq \f(2,15),故P(B)=1-P(eq \x\t(B))=eq \f(13,15).
19.(本小题满分12分)现从A、B、C、D,E五人中选取三人参加一个重要会议,五人被选中的机会均等.求:
(1)A被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率.
[解析] 基本事件有“ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,CDE,BCD,BCE,BDE,ADE”共10个.
(1)事件A被选中包含6个基本事件,即ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE.
∴P1=eq \f(6,10)=0.6.
(2)事件A和B同时被选中包含3个基本事件,
即ABC,ABD,ABE,∴P2=eq \f(3,10)=0.3.
(3)A、B都不被选中只有事件CDE一种,所以事件A或B被选中包含9个基本事件,∴P3=eq \f(9,10)=0.90.
20.(本小题满分12分)据《中国新闻网》10月21日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3 600人进行调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%,则认为本次调查“失效”),就“是否取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表:
已知在样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)已知y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率.
[解析] (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,∴eq \f(120+x,3 600)=0.05,解得x=60.∴持“无所谓”态度的人数为3 600-2 100-120-600-60=720.
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×eq \f(360,3 600)=72人.
(2)∵y+z=720,且y,z∈N,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有(657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664,56),(665,55),共9种情况.
记本次调查“失效”为事件A,若调查“失效”,则2 100+120+y<3 600×0.8,解得y<660.
∴事件A包含(657,63),(658,62),(659,61),共3种情况,∴P(A)=eq \f(3,9)=eq \f(1,3).
21.(本小题满分12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排1人,每人最多排一天).
(1)一共有多少种安排方法?
(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少?
(3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少?
[解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务,安排乙担任周日值班任务,则所有的安排情况如下:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙,共有12种安排方法.
(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个,属于古典概型.甲、乙2人都被安排的情况包括:甲乙,乙甲,共2种,所以甲、乙2人都被安排(记为事件A)的概率P(A)=eq \f(2,12)=eq \f(1,6).
(3)解法一:“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件,因为甲、乙2人都不被安排的情况包括:丙丁,丁丙,共2种,则甲、乙两人都不被安排的概率为eq \f(2,12)=eq \f(1,6),所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1-eq \f(1,6)=eq \f(5,6).
解法二:甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丁甲,丁乙,共10种,所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=eq \f(10,12)=eq \f(5,6).
22.(本小题满分12分)砂糖橘是柑橘类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖橘,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图.已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的eq \f(4,3)倍.
(1)求a、b的值;
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株,求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率.
[解析] (1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a×5×20=100a(株),
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(株),
依题意,有100a=eq \f(4,3)×100(b+0.02).
即a=eq \f(4,3)(b+0.02).①
根据频率分布直方图可知
(0.02+b+0.06+a)×5=1,②.
解①②组成的方程组得a=0.08,b=0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20=4(株),分别记为A1,A2,A3,A4,产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20=2(株),分别记为B1,B2.
从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).
记从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株,产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中为事件M,则P(M)=eq \f(9,15)=eq \f(3,5).
长度(cm)
19.5以下
19.5~20.5
20.5以上
件数
5
68
7
态度
调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2 100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
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