初中数学中考二轮专题练习 专题03 一次函数的应用

一次函数的应用包括这样几大类：

1.一次函数图像的应用

2.表格信息类

3. 文字信息类方案最优问题

方法总结  用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．

考点一、一次函数图像的应用

【例1】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分；

(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系；

(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

解：(1)15　

(2)由图象可知，s是t的正比例函数．

设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式为s＝t(0≤t≤45)．

触类旁通一、甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图3－1－4所示．则下列结论：①A，B两城相距300 km；②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；③乙车出发后2.5 h追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km/h，t＝或.其中不正确的结论是 __③④__(填序号)．

【解析】 由图象可知A，B两城市之间的距离为300 km，甲行驶的时间为5 h，而乙是在甲出发1 h后出发的，且用时3 h，即比甲早到1 h，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把(5，300)代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt＋n，把(1，0)和(4，300)代入，得 解得

∴y乙＝100t－100，令y甲＝y乙，可得60t＝100t－100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5 h，即乙车出发1.5 h后追上甲车，∴

考点二、表格信息类

【例2】某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天租赁价格如下表：

(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79 600元，试写出满足条件的所有分派方案；

(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得的租金最高，并说明理由．

解：(1)由于派往A地区的乙型收割机x台，则派往B地区的乙型收割机为(30－x)台，派往A，B地区的甲型收割机分别为(30－x)台和(x－10)台．

∴y＝1 600x＋1 200(30－x)＋1 800(30－x)＋1 600·(x－10)

＝200x＋74 000(10≤x≤30)；

(3)∵y＝200x＋74 000中，y随x的增大而增大，

∴当x＝30时，y取得最大值，此时，y＝200×30＋74 000＝80 000(元)．

答：建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得的租金最高，最高租金为80 000元．

触类旁通二、数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度－20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到－4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至－20℃时，制冷再次停止，…按照以上方式循环进行．

同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况，制成下表：

(1)通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．

①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－__；

②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－4x＋76__；

(2)a的值为__－12__；

(3)如图3－1－5，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．

图3－1－5

解：(1)①∵4×(－20)＝－80，8×(－10)＝－80，10×(－8)＝－80，

16×(－5)＝－80，20×(－4)＝－80，

∴当4≤x＜20时，y＝－.

(2)观察表格，可知该冷柜的工作周期为20 min，

∴当x＝42时，与x＝22时的y值相同，∴a＝－12.

(3)描点、连线，画出函数图象如答图所示．

考点三、文字信息类方案最优问题

【例3】某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．

(1)求甲、乙商品的进货单价；

(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有几种进货方案？

(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？

解：(1)设甲商品的进货单价是m元，乙商品的进货单价是n元．

根据题意，得解得

答：甲商品的进货单价是100元，乙商品的进货单价是80元；

(2)设甲商品进货x件，乙商品进货(100－x)件．

根据题意，

得

解得48≤x≤50.

又∵x是正整数，∴x的正整数值是48或49或50，∴有三种进货方案：第一种：甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种：甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种：甲商品进货50件，乙商品进货50件；

触类旁通三、江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图3－1－6所示：

(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；

(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾能更省钱？

解：(1)设y甲＝kx，把(2 000，1 600)代入，

得2 000x＝1 600，解得k＝0.8，则y甲＝0.8x；

当0＜x＜2 000时，设y乙＝ax，

把(2 000，2 000)代入，得2 000x＝2 000，解得k＝1，则y乙＝x；

当x≥2 000时，设y乙＝mx＋n，

把(2 000，2 000)，(4 000，3 400)代入，

得解得

∴y乙＝

(2)当0＜x＜2 000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6 000，若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6 000.

故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．

学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车需租金1 240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1 760元．

(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？

(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？

(2)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆，再设租车费用为y元，则y＝400x＋280(8－x)＝120x＋2 240.

又∵45x＋30(8－x)≥330，解得x≥6.

∴x的取值范围是6≤x≤8的整数．

在函数y＝120x＋2 240中，k＝120＞0，∴y随x的增大而增大．

∴当x＝6时，y有最小值120×6＋2 240＝2 960(元)．

端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是                                                                                      (　D　)

A．乙队比甲队提前0.25 min到达终点

B．当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m

C．0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m

D．自1.5 min开始，若甲队要与乙队同时到达终点，则甲队的速度需要提高

到255 m/min