初中数学中考二轮专题练习 专题02 一次函数的图像性质

知识梳理

一、一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝__________时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．

二、一次函数的图象与性质

1．一次函数的图象

(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．

(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

2．一次函数图象的性质

一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．

三、利用待定系数法求一次函数的解析式

因为在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．

四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系

1．y＝kx＋b与kx＋b＝0

直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．

2．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．

3.一次函数的平移

y＝kx＋b遵循左加右减原则

如果向左平移a个单位，可得y＝k(x+a)＋b

如果向上平移a个单位，可得y＝kx＋b+a

考点一、一次函数的图象与性质

【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．

答案：　k＜0

方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.

触类旁通1  已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是(　　)

A．m＞0，n＜2    B．m＞0，n＞2　　C．m＜0，n＜2    D．m＜0，n＞2

【解析】1．D　因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.

自主练习：如图，若一次函数y＝（m－2）x－1的图象经过

第二、三、四象限，则m的取值范围是    (    )

A．m>0        B．m<0

C．m>2        D．m<2

【解析】由图像可知直线从左往右下降，所以k<0,解得m<2，所以选D

考点二、确定一次函数的解析式

【例2】如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.

(1)求该一次函数的解析式；

(2)试求△DOC的面积．

方法总结  用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．

触类旁通2  已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．

(1)求k，b的值；

(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．

解：(1)把M(0,2)，N(1,3)代入y＝kx＋b，

得解得∴y＝x＋2.

(2)由题意得a＋2＝0，

∴a＝－2.

考点三、一次函数与一次方程（组）

【例3】如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．

答案：

方法总结  两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．

触类旁通3

如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　x=2　．

考点四、一次函数与一元一次不等式

【例4】如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（　　）

A．x＞2 　　　　B．x＜2 　　　　C．x≥2 　　　　D．x≤2

【解析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得到2k+3=0，解得k=﹣1.5，然后解不等式﹣1.5x+3＞0即可．

【解答】解：∵直线y=kx+3经过点P（2，0）

∴2k+3=0，解得k=﹣1.5，

∴直线解析式为y=﹣1.5x+3，

解不等式﹣1.5x+3＞0，得x＜2，

即关于x的不等式kx+3＞0的解集为x＜2，

故选：B．

补充：方法二，kx+3＞0也就是函数y>0，结合图像x轴上方的部分，此时x＜2

方法总结  先把已知点的坐标代入求出解析式，然后在解不等式求出解集。或者利用函数图像分析来解答，函数大于0也就是对应图像中在x轴以上的部分函数，再找出对应的x的取值范围即可。

触类旁通4  如图，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是__________．

考点五、一次函数与图形面积问题

【例5】已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB。

（1）          求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；

【解析】由A点坐标以及OA=OB可以求出正比例函数解析式以及一次函数解析式。求三角形面积找准底和高去计算。

解：（1）设直线OA为y=kx．∵y=kx经过点（3，4），∴3k=4，k=，∴y=x．

设直线AB为y=ax+b，∵y=ax+b经过（3，4），（0，﹣5），

∴，解得：，∴y=3x﹣5．

（2）S△AOB=|OB|×3=×5×3=7.5

方法总结  两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；

复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；

往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高

触类旁通5如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为　2　．

【解析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4，0），利用三角函数得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD=∠COE=60°，所以∠EOF=30°，则EF=OE=1，然后根据三角形面积公式计算．

考点六、一次函数的平移

y＝kx＋b遵循左加右减原则

如果向左平移a个单位，可得y＝k(x+a)＋b

如果向上平移a个单位，可得y＝kx＋b+a

【例6】将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）

A．y=2x﹣4 　  　B．y=2x+4 　 　 C．y=2x+2 　  　D．y=2x﹣2

【解析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．

解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．

触类旁通5直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（　　）

A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 　D．y=2x+2

1．若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)

2．若y＝kx－4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的(　　)

A．－4   　　  B．－      　　　C．0     　　　　 D．3

3．将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）

A．y=2x﹣4 　　B．y=2x+4 　　C．y=2x+2 　　D．y=2x﹣2

4．一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．

5．如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．

品鉴经典考题答案

1．A　∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，

∴a＜0，c＞0(b的正负情况不能确定)．

a＜0，则函数y＝ax＋c的图象经过第二、四象限，

c＞0，则函数y＝ax＋c的图象与y轴正半轴相交．

由图可知选A.

2．D　因为函数值y随x的增大而增大，则k＞0，故选D.

3．解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．

化简，得y=2x﹣4，故选：A．

4．四　因为k＝1＞0，所以图象经过第一、三象限；

因为b＝2＞0，所以图象经过第一、二象限，所以函数图象不经过第四象限．

5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB＝∠CDA＝90°.

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.

又∵AB＝AC，

∴△ABO≌△CAD，

∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3.

∵一次函数y＝－x＋2中，令x＝0，