初中数学中考二轮专题练习 专题08 函数综合问题

这是一份初中数学中考二轮专题练习 专题08 函数综合问题，文件包含专题08函数综合问题教师版doc、专题08函数综合问题doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。

专题八 函数综合问题
一、单选题
1．二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是　　
[来源:Zxxk.Com]
A． B． C． D．
【答案】C

∴，
∴，故④错误，
∵x＝﹣1时，y取得最大值a﹣b+c，
∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，
∴x（ax+b）≤a﹣b，故⑤正确．
故选：C．
【关键点拨】
本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D

则△OAM和△OAC的面积相等，
∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBM与△OAM的面积相等，
∴△OBD和△OBM面积相等，
∴点B一定是MD的中点．正确；
故选：D．
【关键点拨】
本题考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
3．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（　　）

A．2 B．﹣2或﹣4 C．﹣2 D．﹣4
【答案】D

∴点C的坐标为（0，1），
∴OC＝1，
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴OC＝OB，
∴OB＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），
∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，
设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），
∴x1×1＝ ，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，
∴，
∴ ，
【关键点拨】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
4．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF． 有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（　　）
 
A．0      B．1      C．2     D．3
【答案】C
【关键点拨】
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的运用，关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
5．两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点P在y＝的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是(　 　)

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
6．如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均2cm/s，点沿向点运动，点沿向点运动，则△的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C

②1＜t≤2，P在边CD上，Q在边BC上，如图，∵DP=2(t-1)=2t-2，BQ=2(t-1)=2t-2，QC=PC=4-2t，∴S=S正方形ABCD－S△ABQ―S△ADP―S△CPQ=2×2－×2×（2t－2）－×2×（2t－2）－×（4－2t）2=－2t2+4t=，所以D错误．
故选C．

【关键点拨】
本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，二次函数的图象与性质，能够对t的取值正确分类并且分别求出S与t之间的函数关系式是解题的关键．
7．如图，正方形和正方形的顶点在轴上，顶点，在轴上，点在边上，反比例函数的图象经过点、和边的中点．若，则正方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
∵M点为EF的中点，∴M点的坐标为（）．
∵点M在反比例函数y的图象上，∴•2，整理得：3a2+2a﹣8＝0，解得：a1，a2＝﹣2（舍去），∴正方形DEFG的面积＝2•EN•DF＝2•••．
故选B．

【关键点拨】
本题是反比例函数综合题．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质，记住线段中点的坐标公式；会解一元二次方程．
8．如图，一次函数 y＝－x＋b 与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于 A，B 两点，与 x 轴、y轴分别交于C，D 两点，连接 OA，OB，过 A 作 AE⊥x 轴于点 E，交 OB 于点F，设点 A 的横坐标为 m. 若 S△OAF＋S 四边形 EFBC＝4，则 m 的值是( )

A．1 B． C． D．
【答案】C
∴EF=AM=NB，
∴EF是△OBN的中位线，
∴N（2m，0），
∴点B坐标（2m，）代入直线y=-x+m+，
∴=-2m+m+，整理得到m2=2，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
【关键点拨】
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，∵点A坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，

∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（﹣，t），
∵PB=PB′，[来源:]
∴t﹣2=|﹣|=，
整理得t2﹣2t﹣4=0，解得t1=1+，t2=1﹣（不符合题意，舍去），
∴t的值为1+，
故选D．

【关键点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；解决问题的关键是会用求根公式法解一元二次方程．
10．如图，抛物线交轴与点和，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个命题：
①当时，；
②若，则；
③抛物线上有两点和，若，且，则；
④点关于抛物线对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中真命题的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=;D′E′=,
∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．

故选：C．
【关键点拨】
考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称--最短路径问题等.
二、填空题
11．将抛物线绕顶点旋转180°，再沿对称轴平移，得到一条与直线交于点（2，）的新抛物线，新抛物线的解析式为______________．
【答案】
【关键点拨】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据题意得出抛物线y=3x2-6x+5绕顶点旋转180°后所得抛物线的解析式是解答此题的关键．
12．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取点，过点作轴于点．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，，为顶点，且以点为直角顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标是________．

【答案】，
②当∠POx=30°时，kOP=tan30°=，所以，直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，,解得： 或
即P.
【关键点拨】
本题考查了三角形的全等与二次函数的应用,此题的难度并不大，抓住两个关键条件：①点Q为直角顶点，②以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等是解题关键.
13．如图，点A是反比例函数y= （x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为________．

【答案】9

∴S△AHO=S△AOE=k，
∵AB=AO，
∴BH=OH，
∴S△ABH=S△AOH=k，
∴S△AOB=k，
∵点C反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴S△COD=，
∵CD∥AE，

【关键点拨】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题关键．
14．如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点P为第一象限抛物线上一点，且∠DAP=45°，则点P的坐标为______．

【答案】（，）
【解析】
如图所示：构造△AKD≌△DNM，连接AM．


设直线AM的解析式y=kx+b．将点A、点M的解析式代入得：
，
解得：．
∴直线AM的解析式为y=x+．
将y=x+与y=-x2+2x+3联立．
解得：x=，y=或x=-1，y=0（舍去）．
∴点P的坐标为（，）．
【关键点拨】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象和性质、解二元二次方程组，构造△AKD≌△DNM是解题的关键．
15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．

【答案】
【解析】
连接AC,与对称轴交于点P,



点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为：
【关键点拨】
考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
16．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．

【答案】3
【解析】
如图，

∵双曲线y=（x＞0）经过点D，
∴S△ODF=k=，
则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，
∴OA•BE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为：3．
【关键点拨】
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．
17．如图，

过抛物线上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结BD，则线段BD的最小值为______.
【答案】2

∵A、B关于对称轴对称，
∴B（4，3），
如图1中，


【关键点拨】
本题考查抛物线中最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．
18．如图，直线y=-x+b与双曲线分别相交于点A，B，C，D，已知点A的坐标为（-1，4），且AB：CD=5：2，则m=_________．

【答案】

【关键点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，已知△AOD是等腰三角形，点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1，和过P、A两点的二次函数y2，的开口均向下，它们的顶点分别为B，C，点B，C分别在OD、AD上．当OD=AD=10时，则两个二次函数的最大值之和等于_____．

【答案】8

由勾股定理得：DE==8．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM=PM=（OA-OP）=（12-2x）=6-x，[来源:Z.xx.k.Com]
即，，
解得：BF=x，CM=8-x，
∴BF+CM=8．
故答案为：8．
【关键点拨】
此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
20．卤肉店老板小王准备到批发市场购买牦牛肉和黄牛肉，总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉不少于黄牛肉质量的2倍，已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克44元，但小王在做预算时将这两种牛肉的价格记反了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉和黄牛肉的单价和数量均为整数，则小王实际购买这两种牛肉最多需花费______ 元．
【答案】2752
【关键点拨】
本题考查一元一次不等式、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．
判定的形状；
在线段BC下方的抛物线上有一点P，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
如图，过点E作轴于点H，将绕点E逆时针旋转一个角度，的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当为等腰三角形时，求此时KT的值．

【答案】 △ABC为直角三角形； 当时，面积最大，最大面积为，此时； 当是等腰三角形时，KT的值为 或．
【解析】
为直角三角形，理由如下：


点A的坐标为，点B的坐标为．
，，．
，
为直角三角形．




，
是直线BC下方抛物线上的点，
，
当时，面积最大，最大面积为，此时；
如下图中，


如图，当时，作于N，于Q，则四边形OQEH是矩形，


≌，
，
在中，易知，，
，
，
，，
，
．
综上所述，当是等腰三角形时，KT的值为 或．
【关键点拨】
本题考查二次函数综合题、涉及矩形的判定、直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，综合程度较高，属于中考压轴题．
22．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2
（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x2＋5x－3函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y＝－2x2＋5x－3函数可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y＝－2x2＋5x－3的“旋转函数”；
（2）若函数y1＝x2＋ x－n与y2＝－x2－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）2019的值；
（3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”．
【答案】（1） y＝2x2＋5x＋3 ;(2)1;(3)见解析.

∴（m＋n）2019＝（3－2）2019 ＝1

【关键点拨】
此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力，掌握旋转函数的规律是解题的关键.
23．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．
①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；
②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①点P坐标为（﹣2，6），点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；②△CPD的面积为或4．

（2）①∵四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，
当OD垂直于AC时，OD最小（即EF最小），
∵OA＝OC，
∴点D为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），
故点P坐标为（﹣2，6），
把点D纵坐标代入二次函数表达式得：﹣x2﹣3x+4＝2，
解得：x＝，
故点M、N的坐标分别为（，2）、（，2）；
②当△ADE∽△CDP时，则∠CPD＝90°，PC＝PD，
则PC∥x轴，则点P的纵坐标为4，则点P坐标为（﹣3，4），
点D在直线AC：y＝x+4上，则点D坐标为（﹣3，1），
则PD＝4﹣1＝3＝PC，
则S△CPD＝×PC•PD＝；
当△ADE∽△PDC时，
同理可得：S△CPD＝×PD•CH＝4，
故：△CPD的面积为或4．
【关键点拨】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点，其中（2），利用矩形性质OD＝EF，确定EF最小值，是本题的难点．
24．已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的顶点为A，与y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．
(1)当a=﹣2时，求线段OB的长．
(2)是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出a的值；若不存在，请说明理由．
(3)设△OBD的外心M的坐标为(m，n)，求m与n的数量关系式．

【答案】（1）2 （2）a=﹣1或- （3）m=3n2+2

∴点B(4，﹣6)，
∴BC=4，OC=6，
∴OB═ =2 ；
(2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中，令x═0，得y═3a，
∴C(0，3a)，B(4，3a)，
∵点A是抛物线的顶点，
∴A(2，－a)，
过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，
将BD与x轴的交点记为点G，
则E为OG的中点，
∵AE∥BD，
∴DG=2AE=﹣2a，
∴BD=DG+BG=﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：

(3)∵BD=DG+BG=﹣5a，


【关键点拨】
本题考查二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题关键．
25．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B(，2)，C(2，)．请根据以上信息，解答下列问题；
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+，喷水装置OA的高度是米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是米；(3)水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．

(2)∵y＝﹣x2+2x+＝﹣(x﹣1)2+，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝，
答：喷出的水流距水面的最大高度是米；
(3)令﹣x2+2x+＝0，
解得，x1＝﹣0.5，x2＝2.5，
答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【关键点拨】
本题主要考察二次函数的实际应用问题，正确理解题意是解题的关键.
26．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（，﹣）；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
（2）连接BE、OE．


设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，
得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，
∵点E在第四象限，
∴E点坐标为（，﹣）；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，
∴S△ACF＝2S△AOC，
∴AF＝2OA＝2，
∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，

【关键点拨】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
27．已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）写出点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2）分别求出这两个函数的表达式；
（3）求∠P′AO的正切值．

【答案】（1）（﹣，﹣8）；（2）y＝﹣2x+9；（3）．



【关键点拨】
本题主要考查了反比例函数综合题型，需要掌握反比例函数与一次函数的交点问题，中心对称以及解直角三角形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
28．如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M、N ，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），
(1))函数的顶点坐标为 ；当二次函数L1 ，L2 的值同时随着的增大而增大时，的取值范围是 ；
(2)当AD=MN时，求的值，并判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
(3)当B，C是线段AD的三等分点时，求a的值.

【答案】（1）顶点坐标为M（-1，-2），；（2）四边形AMDN是矩形，理由见解析；（3）

（2）如图1，=5，
当y=0时，即，解得，，
当y=0时，即，，，
∴AD=（）-（）=，
当AD=MN时，即=5，解得a=2 .
当 a=2时，
=-2，=3，
∵AN=,DM=,
∴AN=DM,
∵AM=,DN=,
∴AM=DN,
∴四边形AMDN是平行四边形，
∵AD=3-(-2)=5,MN=5,
∴AD=MN,
∴四边形AMDN是矩形 ;

（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况： [来源:ZXXK]
①点C在点B的左边，如图2，BC=（）-（）=，AC=BD=3 ，
即 =3，解得 ;

【关键点拨】
本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.
29．数学问题：如何计算平面直角坐标系中任意两点之间的距离？

探究问题：
为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行研究．
探究一：在图1中，已知线段AB，A（﹣2，0），B（0，3），写出线段AO的长，BO的长，所以线段AB的长为多少；把Rt△AOB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到Rt△CDE，写出Rt△CDE的顶点坐标C，D，E，此时线段CD的长为多少，DE的长为多少，所以线段CE的长为多少．
探究二：在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB的长（用含a，b，c，d的代数式表示，不必证明）．
归纳总结：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）时线段AB的长为多少（用含x1，y1，x2，y2的代数式表示，不必证明）．
拓展与应用：
运用在图3中，一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=的图象交点为A、B，交点的坐标分别是A（1，2），B（2，1）．
①求线段AB的长；
②若点P是x轴上动点，求PA+PB的最小值．
【答案】探究一：AO＝2，BO＝3，AB＝；Rt△CDE的顶点坐标分别为C（1，2），D（3，2），E（3，5），CD＝2，DE＝3，CE＝；探究二： AB＝；归纳总结：AB＝；拓展与应用：①AB＝，②PA+PB的最小值是．
探究二：在图2中，过B作BC∥y轴，过A作AC∥x轴，交于C．
∵A（a，b），B（c，d），∴AC=c﹣a，BC=d﹣b，由勾股定理得：AB．
故答案为：AB=；
归纳总结：
∵A（x1，y1），B（x2，y2）
∴同理得：AB．
故答案为：；
拓展与应用：
①∵A（1，2），B（2，1），∴AB；
②作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．
∵A（1，2），∴A'（1，﹣2），∴PA+PB=A'B，即PA+PB的最小值是．

【关键点拨】
本题是反比例函数综合题目，考查了两点之间的距离公式、勾股定理和最短路径问题，本题难度适中，本题两点距离公式的得出需要通过作辅助线构建直角三角形完成．
30．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集．
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

【答案】（1）y＝，y=﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）点P的坐标为（，0）
【解析】

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；
∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，﹣1），
设直线AB′的解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得﹣x+＝0，
解得x＝，
∴点P的坐标为（，0）．

【关键点拨】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
31．如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的值为1或﹣4；（3）点Q的坐标为（1，）或（， ）．

（2）设直线AC的解析式为y=kx+p，
把A（3，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4；
令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，

当x=1时，y=﹣x+4=，则D（1，），
∴DE=，
在Rt△ADE中，AD==，
设P（1，m），则PD=﹣m，PH=PE=|m|，
∵∠PDH=∠ADE，
∴△DPH∽△DAE，
∴，即，解得m=1或m=﹣4，
即m的值为1或﹣4；
当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，
∴N（t，﹣t+4），
∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，
而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，
∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，），
综上所述，点Q的坐标为（1，）或（，）．

【关键点拨】
本题主要考查了二次函数的综合，相似三角形的判定与性质，菱形的判定等，综合性强，难度较大，属于中考压轴题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
32．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+2与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA＝OB，直线l2：y＝k2x+b经过点C（1，﹣），与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图①：若EC＝ED，求点D的坐标和△BFD的面积；
（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）D（3，），面积为6；（3）存在，满足条件的点P坐标为（0，4﹣6）或（2，0），理由见解析
【解析】
（1）∵直线y＝k1x+2与y轴B点，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵OA＝OB＝6，
∴A（6，0），
把A（6，0）代入y＝k1x+2得到，k1＝﹣，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2．
（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．


解得，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，
∴F（0，﹣2），
∴S△BFD＝×4×3＝6．
（3）①如图③﹣1中，当PC＝PD，∠CPD＝90°时，作DM⊥OB于M，CN⊥y轴于N．设P（0，m）．



【关键点拨】
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
33．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．[来源:Zxxk.Com]
求一次函数与反比例函数的表达式；
求的面积；
根据所给条件，请直接写出不等式的解集．

【答案】 ，； ；，．

即点A的坐标为：，点B的坐标为：，
把点和点代入一次函数得：
，
解得：，
即一次函数的表达式为：，
把代入一次函数得：
，

【关键点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
（1）点A的坐标为　 　．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．
（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．

【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或

（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），
∵且∠BFE＝∠AEP，
∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，
则有BE⊥PE，
∴E点的纵坐标为2，
∴解得m＝0（舍去）或m＝，
如图1，过点E作EC⊥y轴于点C，
则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEC，
∴Rt△ECB∽Rt△BOA，
∴,
∴,解得m＝0（舍去）或m＝，
解得，m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，

【关键点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质,相似三角形的性质,二次函数与动点的问题,综合性强,难度较大,熟悉二次函数的性质是解题关键.