初中数学中考二轮专题练习 专题04 反比例函数的图像与性质

知识梳理

一、反比例函数的概念

一般地，形如________________(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．

1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量________，函数与x轴、y轴无交点．

2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.

二、反比例函数的图象与性质

1．图象

反比例函数的图象是双曲线．

2．性质

(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________；当k＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

反比例函数基础知识考察

1.已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（　　）

A．a≠2 　　　　B．a≠﹣2 　　　C．a≠±2 　　　D．a=±2

【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．

【解答】解：由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．

2.对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（　　）

A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 　　B．它的图象在第一、三象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大　　D．当x＜0时，y随x的增大而减小

【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．

3.对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）

A．图象分布在第二、四象限

B．当x＞0时，y随x的增大而增大

C．图象经过点（1，﹣2）

D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2

【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；

B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；

C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；

D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．

故选：D．

4.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（　　）

A．①③ 　　　　B．③④ 　　　　C．②④ 　　　　D．②③

【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．

考点一、反比例函数的图象与性质

【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________．

【分析】∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.

【解答】：m＞1

方法总结  1．由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．

2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限．

触类旁通1  若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是__________．

【分析】：k＜　∵图象经过第二、四象限，

∴2k－1＜0，∴k＜.

考点二、反比例函数图像与一次函数二次函数图像的性质考察

【例2】函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx﹣3和y=（k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．

【解答】解：∵当k＞0时，y=kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，

当k＜0时，y=kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限，

∴B正确；故选：B．

触类旁通2在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．

【例3】在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．

【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；

B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；

D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；

故选：D．

触类旁通3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．

1． (2012浙江台州)点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A．y3＜y2＜y1      B．y2＜y3＜y1　　　　C．y1＜y2＜y3      D．y1＜y3＜y2

2．(2012湖南常德)对于函数y＝，下列说法错误的是(　　)

A．它的图象分布在第一、三象限　　B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大　D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小

3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝x－1与函数y＝的图象可能是  (    )

4.已知A（－1，y1），B(2，y2)两点在双曲线y＝上，若y1> y2，则m的取值范围是    (  )

A．m>0      B．m<0      C．m>－     D．m<－

5如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)（y2－y1）的值为_______．

6.若反比例函数y＝的图象过点(－2，1)，则一次函数y＝kx－k的图象过(    )

  A．第一、二、四象限    B．第一、三、四象限

  C．第二、三、四象限    D．第一、二、三象限

7.已知正比例函数y＝－4x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点A的坐标为(x，4)，则点B的坐标为_______．

品鉴经典考题参考答案

1．D　因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，所以0＜y3＜y2，点(－1，y1)在第三象限，所以y1＜0＜y3，所以y1＜y3＜y2.

2．C　因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A，B，D正确，C错误．

3．C  因为反比例函数K＞0，所以在一三象限，排除B,D，一次函数K＞0，从左到右上升趋势所以选C

4.D 先假设反比例函数在一三象限，画出相应的点坐标，与y1> y2进行比较，如果符合那么K＞0，如果不符合，那么位于二四象限，K＜0

5.24 根据反比例函数图象的对称性可知：点A和点B关于原点对称，所以x2= -x1，y2= -y1。因为点A在函数图像上，所以x1y1=6，所以化简展开可得24。

6. A　先计算得K=-2，所以一次函数的K<0,b>0,所以选A

7.（1，－4）先代入直线解析式算出x，因为点A和点B关于原点对称，所以B坐标为（1，－4）