九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

这是一份九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题，共31页。试卷主要包含了若二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知点，，都在函数的图象上，则等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（ ）
A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3
2、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（ ）
A． B． C． D．
4、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
5、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取1和3时，所得到的的值相同
D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象
6、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
7、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
9、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；
②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．
所有合理推断的序号是______．
2、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．

3、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．
4、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．
5、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．

(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
2、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；
(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．
3、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．
4、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．

(1)求AB的长；
(2)①当时，抛物线L的函数表达式为 ；
②当时．求抛物线L的函数表达式 ；
(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，
①求与n的关系式；
②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．
5、红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．
(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？
(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．
【详解】
解：一元二次方程的两个根分别是和5，
则二次函数图象与轴的交点坐标为、，
根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．
2、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
3、C
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】
解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．
所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
4、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
5、C
【解析】
【分析】
把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．
【详解】
∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，
∴A选项错误；
∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，的值随值的增大而增大，
∴B选项错误；
∵当取和时，所得到的的值都是11，
∴C选项正确；
∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，
∴D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
7、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
9、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
二、填空题
1、①②④
【解析】
【分析】
分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：①过，两点的直线的关系式为y=kx+b，则
，
解得，
所以直线的关系式为y=x-1，
直线y=x-1与直线y=x平行，
因此①正确；
②过，两点的双曲线的关系式为，则，
所以双曲线的关系式为
当时，
∴也在此函数的图象上，
故②正确；
③若过，两点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
当它经过原点时，则有
解得，
对称轴x=-，
∴当对称轴0＜x=-＜时，抛物线与y轴的交点在正半轴，
当-＞时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③说法不正确；
④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b=1，即b=-a+1，
所以对称轴x=-=-=-，
因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．
2、x=-5或x=0##或
【解析】
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
3、5
【解析】
【分析】
先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
解：多项式除以的余数为1，
，
当时，，
同理可得：，
设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），
则，
因此有，
解得a=-1b=6c=-4，
所以余式为，
由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．
4、4
【解析】
【分析】
先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．
【详解】
解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
5、
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
【详解】
解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，
∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，
当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，
∴y的取值范围是-3≤y≤6，
故答案为：-3≤y≤6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题
1、 (1)
(2)；
(3)1＜a＜3
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；
（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；
（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解
(1)
解：拋物线 ，
∴顶点C的坐标为；
(2)
解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵顶点 在 内部， 且 ，
∴，
∴a=2，
∴拋物线的表达式为 ；
(3)
解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，
∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，
∴，
解得：1＜a＜3，
即 的取值范围为1＜a＜3．
【点睛】
本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．
2、 (1)AD=20米；
(2)当x=100时，S最大=5000米2．
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；
（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=x100-12x然后配方为S即可．
(1)
解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，
∴根据题意得：，
整理得，
解得：，
∵a＝30，
∴AD=20米；
(2)
解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，
则S=，
∵a＝150＞100，
∴当x=100时，S最大=5000米2．
【点睛】
本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．
3、 (1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；
（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；
（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．
(1)
解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得．
(2)
证明：如图，分别过点作交点分别为

∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴

∵，
∴
∴
∴．
(3)
解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．
4、 (1)
(2)①；②
(3)①；②或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；
（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；
（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．
(1)
解：联立直线与抛物线组成方程组，
消去y得：，
解得，
故点A、B的坐标分别为、，
∴；
(2)
解：①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故答案为：；
②当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的表达式为：；
(3)
①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故点P的横坐标也为，
设OB的解析式为y=sx，
点B代入得1=，
解得，
直线OB的表达式为，
∵点P在直线OB 上，
当时，，故点P的坐标为；
则抛物线E的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：；
②，
，
，
，
当时，，
当时，，
∵，即，即，
∵k，t为正整数，，，
∴，或，满足上述条件，
即或10，
由①知，，
∴或．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键
5、 (1)（）；
(2)销售单价为57元时，最大利润为2890万元；
(3)240
【解析】
【分析】
（1）用300减去减少的数量即可得到函数解析式，根据利润率不能超过50%求出自变量的取值范围；
（2）根据利润率公式得出函数解析式，由函数的性质得到最值；
（3）当w=2400时，解方程，求出解，得到使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，， 根据一次函数的性质求出销售量的最大值．
(1)
解： ，
∵，
∴，
∴（）；
(2)
解：，
当x