初中冀教版第30章 二次函数综合与测试课时作业

九年级数学下册第三十章二次函数章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

2、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

3、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（       ）

A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3

5、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

6、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ）

A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1

7、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（   ）

A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④

8、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

9、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

10、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、二次函数的对称轴是________．

2、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．

3、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

4、如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．

5、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知函数（为常数）．

(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；

(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；

(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．

2、红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．

(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？

(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？

3、如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；

(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

5、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠CDB=30°，

∴BD=2AD=8，

当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE

=•（8-2t）•（4-t）•sin60°

=（4-t）2（0＜t＜4），

当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’

=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°

=-t2+t-16（4＜t≤8），

观察图象可知，选项D满足条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

2、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

4、C

【解析】

【分析】

一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．

【详解】

解：一元二次方程的两个根分别是和5，

则二次函数图象与轴的交点坐标为、，

根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，

故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．

5、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

6、B

【解析】

【分析】

由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．

【详解】

解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大

∴点A对称的点的坐标为

∵

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．

7、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；

②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；

因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；

③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；

④对称轴为x=，∴，故④正确；

⑤当y＝2时，，故⑤错误；

∴正确的是③④

故选：D

【点睛】

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．

（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．

8、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

9、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.

【详解】

解： 二次函数的图象经过，，

二次函数图象的对称轴为：

解得：

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.

10、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

二、填空题

1、直线

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.

【详解】

解：二次函数的对称轴是直线（或轴）

故答案为：直线

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.

2、

【解析】

【分析】

利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【详解】

y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2

故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．

【点睛】

本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．

3、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

4、（，）

【解析】

【分析】

设A（x，x2），根据平移、旋转的性质求出C点坐标，代入抛物线求出x，故可求解．

【详解】

解：∵点A是抛物线图像上一点

故设A（x，x2），

∵将点A向下平移2个单位到点B，

故B（x，x2-2）

∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，

过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，

AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，

∴∠DBC=30°

故CD=，BD=，

故C（x+，x2-3），

把C（x+，x2-3）代入，

∴x2-3=（x+）2，

解得x=-

∴A（-，3）

故答案为：（，3）．

【点睛】

此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质．

5、5

【解析】

【分析】

先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．

【详解】

解：多项式除以的余数为1，

，

当时，，

同理可得：，

设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），

则，

因此有，

解得，

所以余式为，

由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．

三、解答题

1、 (1)经过，理由见解析

(2)n＝﹣m2﹣6m．

(3)4或6

【解析】

【分析】

（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；

（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．

（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．

(1)

解：经过，

把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：

4﹣2b+3b＝4，

解得b＝0，

∴此函数表达式为：y＝x2，

当x＝2时，y＝4，

∴图象经过点（2，4）；

(2)

解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），

∴﹣＝m，＝n，

∴b＝﹣2m，

把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．

即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．

(3)

把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，

∵抛物线不经过第三象限，

∴3b≥0，即b≥0，

∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，

∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），

∵﹣≤0，

∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，

解得b≤12，

∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，

∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，

把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，

把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，

当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．

当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．

综上所述，b＝4或6．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．

2、 (1)（）；

(2)销售单价为57元时，最大利润为2890万元；

(3)240

【解析】

【分析】

（1）用300减去减少的数量即可得到函数解析式，根据利润率不能超过50%求出自变量的取值范围；

（2）根据利润率公式得出函数解析式，由函数的性质得到最值；

（3）当w=2400时，解方程，求出解，得到使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，， 根据一次函数的性质求出销售量的最大值．

(1)

解： ，

∵，

∴，

∴（）；

(2)

解：，

当x<57时，w随x的增大而增大，

而，

∴当x=57即销售单价为57元时，w有最大值，最大利润为2890万元；

(3)

解：当w=2400时，，

解得，

∴使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，，

∵，y随着x的增大而减小，

∴当x=50时，销售量最多，最多销售量为万件，

∴每月的销售量最多应为240万件．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的知识点及一次函数的知识点是解题的关键．

3、 (1)

(2)（-2，2）或（0，4）

(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；

（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；

（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．

(1)

解：将A(−4，0)、B(2，6)代入可得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

(2)

解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC

∴C点坐标为（0,4）

设直线AB的解析式为：，则

，解得：，

∴直线AB的解析式为：，

设点D的坐标为（m，m+4），

∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，

∴或，解得：或m=0

∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；

(3)

解：存在；

设点P的坐标为（xp，yp），

①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，

轴，，

∵B（2，6），

∴点P的坐标为（-2，6）；

②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，

点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，

点P的坐标为（6，6）；

③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，

，，

∴，，

即，，

解得：，，

此时点P的坐标为（-6，-6）；

综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【点睛】

本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

5、 (1)y= -5x+1000

(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；

(3)140元

【解析】

【分析】

（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；

（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；

（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．

(1)

∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，

∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．

(2)

根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）

= ，

∵抛物线开口向下，

∴当x=150时，w有最大值，且为12500，

此时应降价160-150=10元，

故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．

(3)

根据题意，得-500≥11500，

当-500=11500时，

解得，，

∵抛物线w= 开口向下，

∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，

∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．

【点睛】

本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．