冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题，共33页。试卷主要包含了二次函数y＝a+bx+c，抛物线的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
4、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
5、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
7、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
8、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
9、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
10、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．
2、将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．
3、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．

4、已知二次函数y1＝x2－2x＋b的图象过点(－2，5)，另有直线y2＝5，则符合条件y1＞y2的x的范围是________．
5、最大值与最小值之和为_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
(3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．
2、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．
3、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
4、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
5、已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；
(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.
【详解】
解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），
抛物线的对称轴为： 故①符合题意；


当时，
所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；
当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而
故③符合题意；
当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由
则或 故④符合题意，
综上：符合题意的有：①③④
故选：C
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.
2、D
【解析】
【分析】
把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．
【详解】
解：二次函数与轴的一个交点为，
时，，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．
3、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
4、B
【解析】
【分析】
看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．
【详解】
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴﹣4ac＞0；
故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，
∴a＜0，b＞0， c＞0，
∴abc＜0；
故②正确；
∵，
∴4a+b＝0，
故③正确；
x= -2时，y=4a-2b+c，
根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；
故④错误.
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
6、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，

根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8、C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9、C
【解析】
【分析】
分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】
当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
【详解】
解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，
∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，
当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，
∴y的取值范围是-3≤y≤6，
故答案为：-3≤y≤6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2、y=(x＋3)2
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．
故答案是：y=（x+3）2．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．
3、75
【解析】
【分析】
根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．
【详解】
解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，
∴OA25= •n=25，A25B25=n，
∵B25C25=8C25A25，
∴C25（25，），
∵点C25在上，
∴，
解得n=75．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．
4、x4## x＞4或x＜-2
【解析】
【分析】
先根据抛物线经过点（-2，5），求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点（4，5），从而得出结论．
【详解】
解：∵二次函数y1=x2-2x+b的图象过点（-2，5），
∴5=（-2）2-2×（-2）+b，
解得：b=-3，
∴二次函数解析式y1=x2-2x-3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-=1，
∴抛物线过点（4，5），
∴符合条件y1＞y2的x的范围是x＜-2或x＞4．
故答案为：x＜-2或x＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组），关键是对二次函数的图象与性质的掌握和应用．
5、##
【解析】
【分析】
将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．
【详解】
解：由得：，
①当时，；
②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，
即，
整理得：，
解方程得：，
则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，
综上，的取值范围为，
所以的最大值为3，最小值为，
所以的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)
(3)（1，4）或（2，3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可；
（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标
(1)
抛物线经过点，

解得
抛物线的解析式为：
(2)
抛物线的解析式为：
令，则


设直线的解析式为
则
解得
直线BC的解析式为：
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，

则Q点坐标为，
则


∴PQ的最大值是．
(3)
∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，
OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2
过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，
根据平行线分线段成比例，
OF：FD=OC：CE=3：2

∵OC=3，
∴OE=5，
∴E（0，5）
∴直线EG解析式为：y= -x+5
联立方程，得：
解得：，
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
2、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）
(2)10
(3)4
【解析】
【分析】
（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；
（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．
(1)
解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴对称轴x＝2；
令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，
解得x＝1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；
(2)
解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a＝2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；
(3)
解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴t+1≤5且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤4，
∴t的最大值为4．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．
3、 (1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
解：如图所示：

为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4、
【解析】
【分析】
根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．
【详解】
∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．


解得.
【点睛】
本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5、 (1)y=x2-4x+3；
(2)（2，1）；AE⊥BC，；
(3)存在，M点的横坐标为或；
(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．
【解析】
【分析】
（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；
（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；
（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．
(1)
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，
∵tan∠ABC=1，即，
∴OC=OB=1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
(2)
解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，
解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE=BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴E点坐标为（2，1），
∵AE=，BE=，AB=3-1=2，
，
∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE=，
∴tan∠ACE=，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；
，
(3)
解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB=∠BAM，
∴tan∠ACB= tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE，
∴tan∠BAM=，
∵AF=OF-OA=1，
∴GF=，
∴G点坐标为（2，），
同理求得直线AG的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M点的横坐标为；
当AM在x轴下方时，
同理求得直线AG1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M1点的横坐标为；
综上，存在，M点的横坐标为或；
，
(4)
解：∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=，
同（3）得H点坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q点的坐标为(，)；
当AQ在x轴下方时，
同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q1点的坐标为(，)；
综上，Q点的坐标为(，)或(，)．
,
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．