2021学年第30章 二次函数综合与测试综合训练题

这是一份2021学年第30章 二次函数综合与测试综合训练题，共35页。试卷主要包含了抛物线的对称轴是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
2、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
3、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）
A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)
4、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
7、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．当时，随的增大而增大
C．
D．是一元二次方程的一个根
10、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）

2、如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有_______（填序号）．

3、把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
4、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．

5、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C． 已知点E(0，3)、点F(4，t)(t＞3)，点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．

(1)直接写出二次函数的表达式：
(2)若t=5，当MN最大时，求M的坐标；
(3)在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；
(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
3、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．
5、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，

根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
2、D
【解析】
【分析】
分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】
解：∵，，，
∴BC=，
过CA点作CH⊥AB于H，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∵，
∴CH=4.8，
∴AH=，
当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，解得：x=，
∴y=•x•=x2；
当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
即，解得：x=，
∴y=•x•=；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
3、A
【解析】
【分析】
根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，
∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．
5、A
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向
【详解】
解：∵的对称轴为，且
∴若，
则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确
若，
则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确
对于B,D选项不能判断的符号
故选A
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
7、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
8、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
9、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．
【详解】
解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；
B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；
C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；
D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，
设另一交点为，
，
，
另一交点坐标是，
是一元二次方程的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．
【详解】
解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大
∴点A对称的点的坐标为
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．
【详解】
建立平面直角坐标系如图：

则抛物线顶点C坐标为（0，3），
设抛物线解析式y＝ax2+3，
将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，
当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，
将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，
解得：x＝±，
所以水面宽度为米，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
2、①④⑤
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为（﹣3，﹣6），
∴当x＝﹣3时，y最小值＝﹣6，
∴对于任意的x＝m，其函数值y＝am2＋bm＋c≥﹣6，
因此①正确；
∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
因此②不正确；
∵点（），（，y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
因此③不正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），由对称轴为x＝﹣3，根据对称性可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c还过点（﹣5，﹣4），
∴当y＝﹣4时，即方程ax2＋bx＋c＝﹣4有两个不相等的实数根﹣1和﹣5，
因此④正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣3，
∴b﹣6a＝0，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有①④⑤，
【点睛】
本题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3、
【解析】
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【详解】
解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
故答案为：（或）
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，

∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，m＋3），
∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，
∴ON＝|1-m|，
∴Q′（m＋2，1−m），
∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，
当m＝0时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
5、14
【解析】
【分析】
设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：
建成的饲养室的总面积为 ，
∴当 时，建成的饲养室面积最大，
即此时利用墙体的长度为 ．
故答案为：14
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)
(2)
(3)t≥9
【解析】
【分析】
（1）从交点式即可求得表达式；
（2）求得直线EF的关系式，设出，，表示出MN的关系式，配方求得结果；
（3）先求得直线EF的关系式，设，，进而表示出MN的关系式，进一步求得结果．
(1)
由题意得，
故答案是：；
(2)
∵t=5
∴F（4，5），
∵E（0，3），F（4，5），
∴设直线EF的关系式为y=kx+b
把E（0，3），F（4，5）代入y=kx+b得，

解得，
∴直线EF的关系式是：y=x+3，
设，，
∴，
∴当a=3时，MN最大=，
当a=3时，，
∴；
(3)
∵E（0，3），F（4，t），
∴直线EF的关系式是：，
设，
∴，
∵对称轴，0≤m≤4，
∴当时，MN随m的增大而增大，
∴t≥9．
【点睛】
本题考查了二次及其图象性质，求一次函数的关系式等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图图象性质．
2、 (1)
(2)DQ的最大值为，
(3)N点坐标为或或或，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；
（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)
解：∵在抛物线上，
∴，
∵
∴，
将代入中得，，
∴抛物线的表达式为：；
(2)
解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，
解得： ，
∴，即OC=4，
∵OA=4，
∴，
∴，
在Rt△PQD中，，
由、得直线AC解析式为：，
设，则，
∵
∴
∴
∴当时，DQ的最大值为，此时．
(3)
解：存在，N点坐标为或或或．
设平移后满足条件的抛物线为；
∵抛物线过点，∴
∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，
∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；
∴由直线过点得，，解得；
由直线过得，，则，
又∵，∴，
∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）
∴，，平移后的抛物线为．
∴对称轴为y轴，
即点M在y轴上，
当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．
∴；
当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，
∵，．
∴；
当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，
∴O N2=OB，
∴点N2；
当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．
设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴点N3；
综上所述，N点坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．
3、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为
【解析】
【分析】
（1）利用公式法，即可求解；
（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】
解：（1）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．
4、 (1)
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可
(1)
解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
(2)
点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
,，设直线的解析式为

解得
直线的解析式为
设，则

抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，


根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
(3)
①抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
又
当时，
解得，

当时，
当时，

②当时，

当时，
解得


则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为
令，则
解得






【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．
5、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．