冀教版七年级下册第十一章 因式分解综合与测试课后练习题

冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）

A．xy2（x﹣1）=x2y2﹣xy2 B．2a2+4a=2a（a+2）

C．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D．x2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1

2、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

3、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

4、分解因式2a2（x－y）＋2b2（y－x）的结果是（       ）

A．（2a2＋2b2） （x－y） B．（2a2－2b2） （x－y）

C．2（a2－b2） （x－y） D．2（a－b）（a＋b）（x－y）

5、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

6、下列多项式不能用公式法因式分解的是（       ）

A．a2＋4a＋4 B．a2﹣a＋1 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣1

7、下列分解因式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8、下列因式分解正确的是（     ）

A． B．

C． D．

9、已知a+b=2，a-b=3，则等于（       ）

A．5 B．6 C．1 D．

10、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图①可以得到用完全平方公式进行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如图②是由4个长方形拼成的一个大的长方形，用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是（       ）

A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n）

B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n）

C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n）

D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n）

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝____________．

2、把多项式分解因式结果是______．

3、已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．

4、分解因式：_________．

5、因式分解：2a2﹣4ab+2b2＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．

2、问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6

问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6

然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：

(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；

(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　   　；

发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　   　；

问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　   　（结果用乘方表示）．

3、分解因式：

(1)

(2)16-8（x-y）＋（x-y）2

4、分解因式：

(1)﹣9x3y＋6x2y2﹣xy3

(2)（x2＋4）2﹣16x2

5、对于任意的两位数m＝，满足1≤a≤5，0≤b≤4，a≥b，我们称这样的数为“兄弟数”．将m的十位数字与个位数字之和，放在m的左侧，得到一个新的三位数s1，放在m的两个数字中间得到一个新的三位数s2；将m的十位数字与个位数字之差，放在m的右侧得到一个新的三位数t1，放在m的两个数字中间得到一个新的三位数t2，用s1与t1的和减去s2与t2的和的差除以9的商记为F（m）．例如，m＝41，s1＝541，s2＝451，t1＝413，t2＝431，所以F（41）＝＝8

(1)计算：F（22）；F（53）；

(2)若p，q都是“兄弟数”，其中p＝10x+1，q＝51+y（1≤x≤9，0≤y≤9，x，y是整数），规定：，当12F（p）+F（q）＝139时，求K的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意；

、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确，符合题意；

、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意；

、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是因式分解的意义，解题的关键是把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．

2、C

【解析】

【分析】

根据因式分解定义解答．

【详解】

解：A. 是整式乘法，故该项不符合题意；

B. 是整式乘法，故该项不符合题意；

C. 是因式分解，故该项符合题意；

D. 不是整式乘法也不是因式分解，故该项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得．

【详解】

解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；

B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；

C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；

D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键．

4、D

【解析】

【分析】

根据提公因式法和平方差公式分解因式．

【详解】

解：2a2（x－y）＋2b2（y－x）

=2a2（x－y）-2b2（x－y）

=（2a2－2b2）（x－y）

=2（a2－b2）（x－y）

=2（a－b）（a＋b）（x－y）．

故选：D．

【点睛】

此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义逐个判断即可．

【详解】

解：、是单项式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

、是因式分解，利用了完全平方差公式进行了因式分解，故本选项符合题意；

、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

、因式分解错误，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，解题的关键是能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6、C

【解析】

【分析】

直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式，进而得出答案．

【详解】

解：A中，故此选项不合题意；

B中，故此选项不合题意；

C中无法分解因式，故此选项符合题意；

D中，故此选项不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了利用乘法公式进行因式分解．解题的关键在于对完全平方公式和平方差公式的灵活运用．

7、C

【解析】

【分析】

根据因式分解的方法逐个判断即可．

【详解】

解：A. ，原选项错误，不符合题意；

B. ，原选项错误，不符合题意；

C. ，正确，符合题意；

D. ，原选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解．

8、C

【解析】

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义和方法即可求解．

【详解】

解：A、，错误，故该选项不符合题意；

B、，错误，故该选项不符合题意；

C、，正确，故该选项符合题意；

D、，不能进行因式分解，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

根据平方差公式因式分解即可求解

【详解】

∵a+b=2，a-b=3，

∴

故选B

【点睛】

本题考查了根据平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

由面积的和差关系以及S长方形ABCD＝（a+b）（m+n）求解即可

【详解】

解：如图②，S长方形ABCD＝（a+b）（m+n），

A．S长方形ABCD＝S长方形ABFH+S长方形HFCD＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n），不符合题意；

B．S长方形ABCD＝S长方形AEGD+S长方形BCGE＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n），不符合题意；

C．S长方形ABCD＝S长方形AEQH+S长方形HQGD+S长方形EBFQ+S长方形QFCG＝am+bm+an+bn＝（a+b）（m+n），不符合题意；

D．不能得到ab+mn+am+bn＝（a+b）（m+n），故D符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了因式分解，整式乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键．

二、填空题

1、±1或±19或±8

【解析】

【分析】

把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案．

【详解】

解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8，

当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1，

当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19，

综上所述：整数a的值为±1或±19或±8．

故答案为：±1或±19或±8．

【点睛】

本题主要考查对因式分解−十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键．

2、

【解析】

【分析】

利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．

【详解】

解：

=

=

故答案为：

【点睛】

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

3、16

【解析】

【分析】

先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可．

【详解】

解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2

=1×42

=16．

故答案是16．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键．

4、##(a+1)( a-5)

【解析】

【分析】

根据十字相乘法进行因式分解即可．

【详解】

解：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

5、

【解析】

【分析】

先提取公因式2，再利用完全平方公式计算可得．

【详解】

解：原式=．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

三、解答题

1、是等边三角形，理由见解析

【解析】

【分析】

利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状．

【详解】

解：是等边三角形

证明：∵，

∴．

∴，

即，

∴，

∴，即，

∴是等边三角形．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系．

2、 (1)（1+a）4

(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47

【解析】

【分析】

（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；

（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，

发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；

问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．

(1)

解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3

＝（1+a）3+a（1+a）3

＝（1+a）3（1+a）

＝（1+a）4；

(2)

解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4

＝（1+a）4+a（1+a）4

＝（1+a）4（1+a）

＝（1+a）5；

故答案为：（1+a）5；

发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；

故答案为：（1+a）n+1；

问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6

＝（1+3）6（1+3）

＝（1+3）7

＝47．

故答案为：47．

【点睛】

此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．

3、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先提公因式x，再利用完全平方公式分解因式；

（2）根据完全平方公式分解即可．

(1)

解：原式=

=

(2)

解：原式=．

【点睛】

此题考查了因式分解：将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫将多项式分解因式，熟记因式分解的定义并掌握因式分解的方法是解题的关键．

4、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先提出公因式，再利用完全平方公式因式分解，即可求解；

（2）先用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解，即可求解．

(1)

解： ；

(2)

解：

．

【点睛】

本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行解答是解题的关键．

5、 (1)22；31

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据例题，分别求出s1，s2，t1，t2代入即可；

（2）由p，q都是“兄弟数”，可以进一步确定x与y的范围为1≤x≤5，0≤y≤3，可以确定p与q的所有取值，再由12F（p）+F（q）=139进行验证即可确定符合条件的F（P），F（q）即可解题．

(1)

∵，

∴

∴；

∵

∴

∴；

(2)

∵p，q都是“兄弟数”，

∴1≤x≤5，0≤y≤3，

∴p为11，21，31，41，51；q为51，52，53，54；

∴F（11）=11，F（21）=10，F（31）=9，F（41）=8，F（51）=7；F（52）=19，F（54）=43；

∵12F（p）+F（q）=139，

∴F（P）=11，F（q）=7；

F（p）=10，F（q）=19；

F（p）=9，F（q）=31；

F（p）=8，F（q）=43；

∵，

∴K的值分别为，

∴K的最大值为．

【点睛】

本题考查因式分解的应用；能够正确理解题意，根据已知条件逐步缩小p与q的范围，确定满足条件的p与q是解题的关键．