初中数学冀教版七年级下册第十一章 因式分解综合与测试随堂练习题

冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

2、已知m＝1﹣n，则m3+m2n+2mn+n2的值为（       ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

3、下列从左到右的变形，是因式分解的是（       ）

A．（x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2﹣x﹣6＝（x＋3）（x﹣2）

C．x2＋1＝x（x＋） D．a2b＋ab2＝ab（a＋b）

4、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

5、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

6、若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（       ）

A．一定为正数 B．一定为负数

C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数

7、下列因式分解正确的是（　　）

A．a2+1＝a（a+1） B．

C．a2+a﹣5＝（a﹣2）（a+3）+1 D．

8、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A．a(a-3)=a2-3a B．(a+3)2=a2+6a+9

C．6a2+1=a2(6+) D．a2-9=(a+3)(a-3)

9、已知关于x的二次三项式分解因式的结果是，则代数式的值为（       ）

A．－3 B．－1 C．－ D．

10、下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、计算：_________，_________，_________．分解因式：_________，_________，________．

2、若，，则的值为______．

3、因式分解：________．

4、因式分解：_________．

5、因式分解：xy2﹣4x＝_____；因式分解（a﹣b）2+4ab＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”．

定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”．

例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除．

定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝．

(1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由；

(2)若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值．

2、（1）运用乘法公式计算：；

（2）分解因式：．

3、我们知道，任意一个正整数c都可以进行这样的分解：c=a×b（．b是正整数，且a≤b），在c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，我们就称a×b是c的最优分解并规定：M（c）=，例如9可以分解成1×9，3×3，因为9-1＞3-3，所以3×3是9的最优分解，所以M（9）==1

（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；

（2）如果一个两位正整数d（d=10x+y，x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和为66，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中M（d）的最大值．

4、计算：

（1）计算：（2a）3•b4÷4a3b2；

（2）计算：（a﹣2b+1）2；

（3）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．

5、分解因式：

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可．

【详解】

解：A、，选项说法正确，符合题意；

B、，选项说法错误，不符合题意；

C、是整式乘法运算，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；

D、，选项说法错误，不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义以及分解的正确性．

2、C

【解析】

【分析】

先化简代数式，再代入求值即可；

【详解】

∵m＝1﹣n，

∴m+n＝1，

∴m3+m2n+2mn+n2

＝m2（m+n）+2mn+n2

＝m2+2mn+n2

＝（m+n）2

＝12

＝1，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解或者分解因式是否正确，逐项进行判断即可．

【详解】

A、结果不是积的形式，因而不是因式分解；

B、，因式分解错误，故错误；

C、 不是整式，因而不是因式分解；

D、满足因式分解的定义且因式分解正确；

故选：D．

【点睛】

题目主要考查的是因式分解的概念及方法，熟练掌握理解因式分解的定义及方法是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

因式分解的结果是几个整式的积的形式．

【详解】

解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；

C. ，故本选项不符合题意；

D.，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

5、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义直接判断即可．

【详解】

解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

C．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

D．属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故答案为：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6、B

【解析】

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【详解】

解：∵a、b、c为一个三角形的三边，

∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，

∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0．

∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数．

故选：B．

【点睛】

本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

7、D

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义严格判断即可．

【详解】

∵+1≠a（a+1）

∴A分解不正确；

∵，不是因式分解，

∴B不符合题意；

∵（a﹣2）（a+3）+1含有加法运算，

∴C不符合题意；

∵，

∴D分解正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了因式分解，即把一个多项式写成几个因式的积，熟练进行因式分解是解题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可．

【详解】

解：A、a(a-3)=a2-3a，属于整式乘法，不符合题意；

B、(a+3)2=a2+6a+9，属于整式乘法，不符合题意；

C、6a2+1=a2(6+)不是因式分解，不符合题意；

D、a2-9=(a+3)(a3)属于因式分解，符合题意；

故选：D

【点睛】

本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式．

9、C

【解析】

【分析】

根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a与b的值，从而可求得结果的值．

【详解】

则，

∴

故选：C

【点睛】

本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是本题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式叫把这个多项式分解因式，根据定义逐一判断即可.

【详解】

解：是整式的乘法，故A不符合题意；

是因式分解，故B符合题意；

右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；

右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查的是因式分解的定义，掌握“根据因式分解的定义判断变形是否是因式分解”是解本题的关键.

二、填空题

1、                             

【解析】

【分析】

根据幂的乘方运算，负整数指数幂，单项式的除法运算，公式法因式分解，提公因式法因式分解分别计算即可

【详解】

解：计算：，，．

分解因式：，，．

故答案为：；；；；；

【点睛】

本题考查了幂的乘方运算，负整数指数幂，单项式的除法运算，公式法因式分解，提公因式法因式分解，掌握以上运算法则和因式分解的方法是解题的关键．

2、±1

【解析】

【分析】

先把提取公因式，根据，求出的值，再根据，求出的值，即可得出的值．

【详解】

解：，

，

，

，

，

；

故答案为：．

【点睛】

此题考查了因式分解的应用，解决此类问题要整体观察，根据具体情况综合应用相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想．

3、m（m+1）（m﹣1）．

【解析】

【分析】

原式提取m，再利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：原式＝m（m2﹣12）

＝m（m+1）（m﹣1）．

故答案为：m（m+1）（m﹣1）．

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

4、

【解析】

【分析】

原式提取公因式y2，再利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：原式==，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

5、     x（y+2）（y-2）##x(y-2)(y+2)     (b+a)2##(a+b)2

【解析】

【分析】

原式提公因式x，再利用平方差公式分解即可；原式整理后，利用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：xy2-4x

=x（y2-4）

=x（y+2）（y-2）；

（a-b）2+4ab

=a2-2ab+b2+4ab

=a2+2ab+b2

=（a+b）2．

故答案为：x（y+2）（y-2）；（a+b）2．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式时一定要分解彻底．

三、解答题

1、 (1)6426是“三顺数”； 6726不是“三顺数”；理由见解析

(2)40

【解析】

【分析】

（1）根据“”三牛数的定义“求解．

（2）先表示n，n′和T（n），再求最值．

(1)

∵6426÷6=1071，且（6+4+2+6）÷6=3

∴6426是“三顺数”；

∵6726÷6=1121，且6+7+2+6=21不能被6整除

∴6726不是“三顺数”；

(2)

设n=，即这个四位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c．

∴n′=．

∴n=×100+，n′=×100+．

∴

=-．

当-最大时，T（n）最大，此时应该使b尽可能小．

①当b=1时，a=2b-2=0，不合题意；

②b=2时，a=2b-2=2，此时，．

6+2+2+c=10+c能被6整除，取c=2，n=6222．

6222÷6=1037．

∴T（n）的最大值=62-22=40．

【点睛】

本题考查用新定义解题，根据新定义，表示n，n′和T（n）是求解本题的关键．

2、（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）把（3y-2）看作一个整体，然后利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可；

（2）先部分提公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．

【详解】

解：（1）

=

=；

（2）

=

=．

【点睛】

本题主要考查整式的混合运算及因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．

3、（1）；；1；（2）；

【解析】

【分析】

（1）根据c=a×b中，c的所有这些分解中，如果a，b两因数之差的绝对值最小，就称a×b是c的最优分解，因此M（8）==，M（24）==，M[（c+1）2]= ；

（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，由于x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，所以满足条件的“吉祥数”有15、24、33所以M（15）=，M（24）==，M（33）=，所以所有“吉祥数”中M（d）的最大值为．

【详解】

解：（1）由题意得，

M（8）==；

M（24）==；

M[（c+1）2]=；

（2）设这个两位正整数d交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为d'，

则d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，

∵x，y都是自然数，且1≤x≤y≤9，

∴满足条件的“吉祥数”有15、24、33

∴M（15）=，M（24）==，M（33）=，

∵＞＞，

∴所有“吉祥数”中M（d）的最大值为．

【点睛】

本题考查了分解因式的应用，根据示例进行分解因式是解题的关键．

4、（1）2b2；（2）a2﹣4ab+4b2+2a﹣4b+1；（3）﹣8a（a﹣b）．

【解析】

【分析】

（1）先计算乘方，再计算除法可得；

（2）利用完全平方公式计算可得；

（3）先提公因式，再利用平方差分解可得．

【详解】

（1）原式＝8a3•b4÷4a3b2

＝8a3b4÷4a3b2

＝2b2；

（2）原式＝[（a﹣2b）+1]2

＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+12

＝a2﹣4ab+4b2+2a﹣4b+1；

（3）原式＝[（a﹣2b）+（3a﹣2b）]•[（a﹣2b）﹣（3a﹣2b）]

＝（4a﹣4b）•（﹣2a）

＝﹣8a（a﹣b）．

【点睛】

本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式和因式分解的能力，掌握基本运算是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

利用分组分解法分解因式即可．

【详解】

解：，

=，

=，

=．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题关键是恰当对多项式进行分组，熟练运用提取公因式和公式法进行分解．