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    北师版七年级下册数学 期末提分练案 6.2.3 分类讨论思想在等腰三角形中的六种应用类型 习题课件

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    第6讲 轴对称和轴对称图形2 素养专项提升专项3 分类讨论思想在等腰三角形中的六种应用类型期末提分练案 北师版 七年级下答案显示1234见习题5见习题6见习题见习题见习题见习题【点拨】分类讨论思想是一种常用的、重要的解题思想,它在解决叙述过程复杂或条件不确定的问题时使用,分类的标准是:不重复、不遗漏.分类一方面可将复杂问题分解成若干个简单问题来解决;另一方面,恰当的分类可以避免漏解,从而提高全面考虑问题的能力,培养周密严谨的数学素养.1.若等腰三角形中有一个内角为40°,求这个等腰三角形顶角的度数.解:分两种情况讨论:(1)顶角为40°;(2)若底角为40°,则顶角为180°-40°×2=100°.综上可知,这个等腰三角形顶角的度数为40°或100°.2.若x,y满足|x-4|+(y-8)2=0,求以x,y的值为边长的等腰三角形的周长.解:因为|x-4|+(y-8)2=0,所以x-4=0,y-8=0.所以x=4,y=8.下面分两种情况讨论:(1)当腰长为4,底边长为8时,因为4+4=8,所以此时不能构成三角形;(2)当腰长为8,底边长为4时,易知可以构成三角形,此时等腰三角形的周长为8+8+4=20.综上可知,等腰三角形的周长为20.3.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个等腰三角形的各个内角的度数.【点拨】由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内部和在三角形外部.解:设在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D.(1)当高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,如图①所示.因为∠DBC=25°,所以∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=65°.所以∠A=180°-2×65°=50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时,如图②,当高在△ABC的内部时,因为∠ABD=25°,所以∠A=90°-∠ABD=65°.所以∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°.如图③,当高在△ABC的外部时,因为∠ABD=25°,所以∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°.所以∠BAC=180°-65°=115°.所以∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°.故这个等腰三角形各个内角的度数为65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.4.在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°.求∠B的度数.解:此题分两种情况讨论:(1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,∠ADE=40°,则∠A=50°.因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°.(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°,所以∠BAC=130°.因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-130°)÷2=25°.故∠B的度数为65°或25°.5.等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,一腰上的中线BD把其周长分成差为3 cm的两部分,求△ABC的腰长.解:因为BD为△ABC的边AC上的中线,所以AD=CD.(1)当(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=3 cm时,即AB-BC=3 cm.因为BC=5 cm,所以AB=5+3=8(cm).(2)当(BC+CD+BD)-(AB+AD+BD)=3 cm时,即BC-AB=3 cm.因为BC=5 cm,所以AB=5-3=2(cm).但是当AB=2 cm时,三边长分别为2 cm,2 cm,5 cm.而2+2<5,不合题意,应舍去.故△ABC的腰长为8 cm.6.已知O为等边△ABD的边BD的中点,AB=4,E,F分别为射线AB,DA上的动点,且∠EOF=120°.若AF=1,求BE的长.解:(1)当点F在DA上时,如图①所示,作OM∥AB交AD于点M.因为△ABD为等边三角形,所以∠A=∠ABD=∠D=60°,AD=BD=AB=4.因为OM∥AB,所以∠DMO=∠A=60°,∠DOM=∠ABD=60°.所以△DOM为等边三角形,∠OMF=∠BOM=120°.所以MO=OD=MD.因为OD=OB=2,所以OM=OB=DM=2.因为∠EOF=120°,所以∠BOE=∠MOF.又因为∠OBE=180°-60°=120°,所以∠OBE=∠OMF.所以△OMF≌△OBE(ASA).所以BE=MF.因为AF=1,所以FM=1.所以BE=1.当点F在DA的延长线上时,如图②所示,作OM∥AB交AD于点M.同(1)可得△OMF≌△OBE,DM=2,AD=4,所以BE=FM.因为AF=1,所以FM=3.所以BE=3.综上所述,BE的长为1或3.

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