51.立体几何（线面角3） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份51.立体几何（线面角3） 2022届高三数学一轮复习大题练，共12页。
（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，为中点，求与面所成角的正弦值．
（1）证明：取中点，由于是正三角形，所以，
又因为为矩形，而三棱柱中，所以，
从而面，则，所以．
（2）解：面面，面，设，
如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，0，，，0，，，0，，，，，
面法向量即为，设面法向量为，
则，
所以所给二面角余弦为，所以．
此时，面法向量为，
所求角的正弦值为：，
所以，所成角的正弦值为．
2．图1是直角梯形，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：如图1，连接，由题意可知，，
因为且，
所以四边形为菱形，
连接交于点，则，
在中，，
所以，
在图2中，，
因为，
所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设，，，
则，，
因为，
则，
解得，
故点，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
又，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
3．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
（1）证明：连接，交于点，
因为，，
所以，，
因为，则，
则，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：取的中点，连接，，
因为为正三角形，则，，
因为为直角梯形，，，，
故四边形为矩形，
则，又，，平面，
所以平面，又平面，
故平面平面，
所以为二面角的平面角，
故，且，设，
由余弦定理可得，，
所以，
整理可得，解得或（舍，
过点作，交于点，
因为，且平面，
故平面，又平面，
则平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，
故即为点到平面的距离，
又，平面，平面，
所以平面，
故即为点到平面的距离，
因为，
则，
所以，
即，解得，
又，
故直线与平面所成角的正弦值为．
4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点．
（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由．
（1）证明：因为是圆的直径，点是圆周上一点，
所以，即，
又在圆柱中，母线底面，底面，所以，
又，平面，平面，
所以平面；
（2）解：设圆柱底面半径为，母线为，
则，解得，
在中，过作交于点，
由（1）知平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
若与不重合，则即为直线与平面所成的角；
若与重合，直线与平面所成的角为，
设，，
在中，，
在中，，
，
于是
，
当且仅当，即，即时等号成立，
故时，直线与平面所成的角的正弦值最大，最大值为1．
5．在四棱锥中，，，，为等腰直角三角形，，过的平面分别交线段，于，，在线段上，，不同于端点）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为的中点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，．
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）解：作于，连接，由三垂线定理有，
在中，，，，
在中，，，，
为的中点，为的中点，
，，．
平面平面，直线与平面所成角，即直线与平面所成角．
平面，，又，，
平面，平面平面，
过点作交于点，连接，则平面．
是直线与平面所成角，
，，．
直线与平面所成角的正弦值为．
6．如图1，在平面四边形中，，，且为等边三角形．设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，，设是的中点，连结，如图2．
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值．
解：（1）证明：在平面中，设、的延长线交于点，连结，
在中，设，则，，
，且，
，且为中点，
是中点，，
平面，平面，
平面．
（2）在图1中，是中点，即，，
在图2中，，，，
、平面，平面，
平面，平面平面，且是二面角的平面角，
二面角为，，
，
设为中点，连结，则，，且平面，
过作，则平面，
以为坐标原点，分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，
，0，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，平面平面，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，，，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．