44.立体几何（体积3） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（Ⅰ）当三棱锥的体积最大时，证明：平面平面；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
（Ⅰ）证明：如图，要使三棱锥的体积最大，则平面平面，所以平面．
又平面，所以．又，，平面，平面，
所以平面．又平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）解：如图，由题意知，，，而二面角的大小为，所以．
根据折叠过程可程，所以，
所以三棱锥的高，
所以三棱锥的体积．
2．如图，在三棱柱中，，，顶点在底面上的射影为的中点，为的中点，是线段上除端点以外的一点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积是三棱柱的体积的，求的值．
（1）证明：设的中点为，连接，，
点在底面上的射影为，平面，
又平面，平面平面，
，，平面平面，
平面，连接，
，，四边形为平行四边形，
得，
平面；
（2）解：由（1）得平面，，
，，
令，
，
，
又，
由已知可得，解得．
为的中点，即．
3．如图，已知圆的直径长为2，上半圆圆弧上有一点，，点是弧上的动点，点是下半圆弧的中点，现以为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接，，．
（Ⅰ）当平面时，求的长；
（Ⅱ）求三棱锥最大体积．
解：（Ⅰ）平面，平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质可得，
又，可得，
而，为正三角形，
得；
（Ⅱ）二面角为直二面角，且平面平面，
，平面，
平面，而，
当时，三棱锥的体积最大，
则．
4.如图，在圆锥中，为的直径，点在上，，．
（1）证明：平面；
（2）若直线与底面所成角的大小为，且底面圆的面积为，求三棱锥的体积．
（1）证明：如图，圆锥底面，，
为的直径，点在上，，
又，，
，、平面，
平面；
（2）解：底面圆的面积为，，，
在中，，，则，
，
为的中点，为的中点，，
又直线与底面所成角的大小为，，
则．
5．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是，的中，点，，，，，，点，分别是，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
（1）证明：，分别是，的中点，，
，
又，，且，
则四边形是平行四边形，得，
由，平面，平面，得平面，
由，平面，平面，得平面，
又，
平面平面；
（2）解：，是的中点，，
则，得，
是的中点，，得，
已知，为等边三角形，取的中点，连接，
得，．
，，，
，平面，而平面，得平面平面，
又平面平面，平面．
．
6．如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，．
（1）若，求证：平面．
（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值．
解：（1）证明：如图，取中点，连接，，在直三棱柱中，
，
，，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
由题意为正三角形，侧棱，，两两平行且都垂直于平面，
，，
，平面，，
平面，
又，
平面．
（2）正三棱柱的底面积，则体积．
下面一个几何体为四棱锥，底面积，
因为平面平面，过点作边上的高线，如图，
在平面与平面垂直的性质可得垂直于平面，
故四棱锥的高等于．
则，
从而，
．